Teorema kecil Fermat

Posted on November 15, 2008 by Nursatria

Sudah beberapa hari terakhir search engine ngirim visitor ke blog ini dengan keyword “teorema kecil Fermat”. Padahal gak ada postingan di blog ini mengenai teorema tersibut. Oleh Karna itu saya akan menulis mengenai teorema kecil Fermat. Teorema tersebut  berkata

Untuk setiap a bilangan bulat dan p prima maka a^{p}-a habis dibagi oleh p

Contoh

a=3 dan p=7 maka 3^7-3=2187-3=2184 dan bisa kita lihat 2184/7=312

Denga kata lain teorema tersebut mengatakan bahwa a^p dibagi p maka sisanya adalah a atau bisa kita tulis dalam bentuk modular

a^{p}\equiv a\,(mod\, p)

Bukti

Ada beberapa metode dalam membuktikan teorema kecil fermat tapi saya akan mengunakan matematika induksi dan teorema binomial.

Sebelum membuktikan teorema tersebut saya ingin menunjukan (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}\,(mod\, p)

Kenapa bisa begitu?

Inget teorema binomial mengatakan (x+y)^{p}=\overset{p}{\underset{i=0}{\sum}}\left({p\atop i}\right)x^{p-i}y^{i}

dan \left({p\atop i}\right)=\frac{p!}{i!(p-i)!}

jadi untuk 0<i<p diperoleh \left({p\atop i}\right)\equiv0\,(mod\, p)

Nah..balik lagi ke pembuktian teorema. Kita tahu bahwa 1^{p}\equiv1\,(mod\, P) adalah benar, selanjutnya diasumsikan benar untuk k^{p}\equiv k\,(mod\, P), untuk k bilangan bulat positif selanjutnya akan dibuktikan benar untuk k+1

menurur teorema binomial yang telah kita bicarakan maka

(k+1)^{p}\equiv k^{p}+1^{p}\,(mod\, p)

adalah benar.

Bukti komplit

QED

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in pembuktian, Teori Bilangan and tagged , , , . Bookmark the permalink.

6 Responses to Teorema kecil Fermat

  2. Restu Palayoga says:
    December 26, 2013 at 20:53

    mas aria, pembuktiannya untuk kesimpulannya masih belum saya mengerti. jika udah dapat persamaan untuk k+1
    apa hubungannya ke fermat? tolong beri penjelasan sedikit. maap merepotkan.
    thx.

    Reply
  3. annisa says:
    May 31, 2009 at 21:27

    mengapa jika kita mencari 2 angka terakhir dari bilangan 2 pangkat 1000 diminta menggunakan dalil kecil fermat sedangkan yang kita tahu bahwa dalil fermat hanya membicarakan tentang a angkat p kongruen a (mod p) dimana p adalah bil prima.sementara 1000 bukan bil prima.

    Reply
  4. medaliemas says:
    March 29, 2009 at 20:52

    Ada bukti yang menarik dengan interpretasi kombinatorika. Buktinya ada di Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_Fermat%27s_little_theorem#Proof_by_counting_bracelets

    Teorema ini juga memiliki generalisasi yaitu Teorema Euler: http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_theorem

    Reply

Silahkan, tinggalkan komentar