limit sin (x) / x

Di semester 2, siswa kelas XI jurusan IPA mempelajari limit trigonometri, salah satu persamaan yang mereka dapat adalah

{\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=1}

Di buku paket matematika kelas XI IPA yang digunakan murid-murid saya sudah terdapat pembuktian dari persamaan diatas. Akan tetapi menurut saya pembuktiannya masih terlalu rumit untuk tingkat sma, karena mengunakan teorema apit yang belum dipelajari di tingkat SMA.

Oleh sebab itu saya bertanya-tanya ada tidak pembuktian dari persamaan diatas yang hanya mengunakan konsep-konsep matematis yang familiar untuk siswa SMA. Bertanyalah saya ke mbah Google, oh teryata ada pembuktain yang hanya mengunakan konsep radian, lingkaran unit (lingkaran dengan jari-jari 1 satuan), juring dan busur.

Didalam limit trigonometri, umumnya besaran sudut yang digunakan adalah radian. Kita tahu ada 2 besaran sudut yaitu derajat dan radian. Dalam derajat 1 putaran penuh = 360º sedangkan dalam radian 1 putaran penuh = 2π rad. Jika suatu juring pada lingkaran unit membentuk sudut θ rad maka busur yang terbentuk mempunyai panjang θ satuan

Perhatikan gambar berikut:

Continue reading

Pangkat Irasional

Kita tahu bilangan rasional adalah bilangan yang dapat diekspresikan dalam bentuk m/n, dengan m dan n adalah bilangan bulat serta n ≠ 0.

Di SMA, kita sudah diajarkan perpangkatan rasional.

a^{\frac{m}{n}}=\left(a^{m}\right)^{\frac{1}{n}}=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{m}

Contoh:  8^{\frac{2}{3}}=\left(8^{2}\right)^{\frac{1}{3}}=64^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{64}=4

Sekarang bagaimana menghitung pangkat irasional?

Kita tahu bilangan irasional adalah bilangan yang TIDAK dapat diekspresikan dalam bentuk m/n, dengan m dan n adalah bilangan bulat serta n ≠ 0. Contoh bilangan irasional  adalah π, √2 atau e.

Bagaimana menghitung 2^{\sqrt{2}} atau 3^{\pi}?

Untuk menghitung pangkat irasional, kita mengunakan konsep limit. Diberikan p bilangan irasional dan x adalah bilangan rasional yang teramat dekat dengan p maka nilai a^x akan sangat dengan a^p. Dalam notasi limit dapat ditulis sebagai berikut:

{\displaystyle a^{p}=\lim_{x\rightarrow p}a^{x},\quad x\in\mathbb{Q}}

Itu berarti kita tidak benar-benar menghitung nilai 2^{\sqrt{2}}, yang kita lakukan adalah mencari bilangan rasioanal x yang amat dekat dengan √2, kemudian menghitung nilai 2^x karena hasilnya akan teramat dekat dengan 2^{\sqrt{2}}.

Akar i

Postingan kali ini bisa dikatakan jawaban saya dari pertanyaan seorang pembaca bernama Nugroho. Kita tahu bilangan imajiner dinotasikan i adalah akar dari -1

i=\sqrt{-1}.

Nah..sekarang apa jadinya jika i yang sudah merupakan bentuk akar, kita akarkan kembali.

Berapa \sqrt{i} ?

Untuk menjawabnya, kta akan menggunakan rumus de moviere untuk akarke-n.

Diberikan sembarang bilangan kompleks tak nol yang ditulis dalam bentuk polar z=\left|z\right|\cos\theta+i\sin\theta maka berlaku

{\displaystyle \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{\left|z\right|}\cos\frac{\theta+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\theta+2k\pi}{n}}\quad k=0,2,\ldots,n-1

Diketahui dalam bentuk polar, i=\cos\frac{1}{2}\pi+i\sin\frac{1}{2}\pi, masukkan kerumus diatas, diperoleh

{\displaystyle \sqrt{i}=\cos\frac{\frac{1}{2}\pi+2k\pi}{2}+i\sin\frac{\frac{1}{2}\pi+2k\pi}{2}}

Untuk k=0, diperoleh:

\sqrt{i}=\cos\frac{1}{4}\pi+i\sin\frac{1}{4}\pi\approx0,7071+0,7071i

sedangkan, untuk k=1, diperoleh:

\sqrt{i}=\cos\frac{5}{4}\pi+i\sin\frac{5}{4}\pi\approx-0,7071-0,7071i

Jadi nilai \sqrt{i}, ada 2? Ya, secara umum akar ke-n dari suatu bilangan kompleks, \sqrt[n]{z} akan mempunyai nilai sebanyak n. Mengapa bisa begitu? err… saya jelaskan lain kali aja yach :)

Ketunggalan Tafsir

Sumber: wikimedia.org

Sumber: wikimedia.org

Beberapa hari yang lalu ketika saya mengajar di kelas, tiba-tiba seorang siswa bertanya ke saya

Bapak, mengapa suka matematika?

Sebenarnya saya pernah membuat postingan yang merupakan jawaban dari pertanyaan diatas, tetapi entah kenapa, saya menjawab denga jawaban yang berbeda dengan yang pernah saya tulis.

Saat itu secara reflek saya menjawab:

Karena matematika mempunyai ketunggalan tafsir.

Tentunya kalian sudah familiar dengan dalil Pythagoras, suatu rumus yang menerangkan hubungan sisi-sisi dari segitiga siku-siku yang kalian pelajari di SMP. Diambil dari nama matematikawan Yunani kuno yang hidup 500 SM. Konon katanya dia lah yang pertama kali membuktikannya meskipun demikian ada bukti-bukti masyarakat babylonia yang hidup 2000 SM sudah memahami rumus tersebut.

Continue reading

Mustahil ada yang bisa

ada yang bisa

Klik gambar untuk memperbesar

Nemu di halaman FB Meme Comic Indonesia (MCI). Gambar tersebut mendapat lebih dari 1.000 komentar. Saya perkirakan mayoritas komentator adalah anak-anak selolah dan belum ada satupun yang bisa menyelesaikan tantangan yang diberikan MCI .

Seandainya pelajaran matematika di sekolah diajarkan Teori Graf, tentu saja mereka para komentator dengan mudah menjawab TIDAK ADA yang bisa. Karena tantangan tersebut serupa dengan permasalahan jembatan Konigsberg yang sudah pernah saya bahas.

Graf adalah himpunan titik dan garis. So…Teori Graf adalah cabang matematika yang mempelajari titik-titik yang terhubung dengan garis. Saya berpendapat Teori Graf seharusnya dipelajari di tingkat SMA Karena dengan mempelajari teori graf akan membuka wawasan para siswa bahwa matematika tidak hanya berkutat dengan angka saja. Selain itu di Teori Graf banyak hak menarik serta banyak terapannya didunia nyata.

Review Film: The Imitation Game

The Imitation GameBiasanya review film, saya tulis di FB tetapi untuk review film yang tadi siang saya tonton, saya tuliskan disini karena masih ada sangkut-pautnya dengan matematika. The Imitation Game adalah film Biografi dari Alan Turing (23 Juni 1912 – 7 June 1954) , seorang Matematikawan, pemecah kode terhebat sepanjang sejarah dan dianggap bapak Komputer.

Film tersebut dibuka dengan kalimat yang amat kuat

Are you paying attention?

Yang memberikan pesan kepada penontonnya bahwa film yang mereka tonton bukanlah film biasa.  Ya.. memang benar ,The Imitation Game bukankah film biasa melainkan film berkualitas oscar, apalagi akting dari benedict cumberbatch si pemeran Alan turing, bener-benar luar biasa layak dapat Oscar.

Secara garis besar film ini menceritakan, Alan turing yang memimpin tim kecil nan rahasia, tim tersebut mempunyai misi memecahkan sandi-sandi Enigma saat perang dunia II berlangsung.

Continue reading

Saya menolak Hukuman Mati

fastcompany.com

fastcompany.com

Pertama-tama Saya ingin mengatakan bahwa tulisan saya ini tidak ada sangkut-pautnya dengan matematika. Jadi jika kamu mencari tentang matematika maka bacalah tulisan saya yang lain. Mumpung sedang ramai tentang eksekusi mati 6 terpidana Narkoba, saya akan mengutarakan pendapat saya tentang hukuman mati. Saya tidak setuju eksekusi Mati.

Mengapa saya tidak setuju?

1. Bagaimana jika terjadi kesalahan?

Inilah pertanyaan terbesar saya tentang eksekusi mati. Bagaimana jika negara salah mengeksekusi mati seseorang? Di wikipedia ada artikel berjudul Wrongful execution tentang orang tak bersalah yang dieksekusi mati oleh negara beserta contoh-contoh kasusnya. Lalu apa yang dilakukan negara ketika mengetahui telah salah mencabut nyawa sesorang? Artikel tersebut berkata Negara hanya membebaskan segala tuduhan (exoneration) dan meminta maaf. Apakah itu cukup?? HELLO, ANDA SUDAH CABUT NYAWA ORANG, LHO.

Jika negara salah memenjarakan seorang, salah memasung kemerdekaan seseorang maka negera bisa mengembalikan lagi kemerdekaannya tapi jika salah mencabut nyawa seorang, apa Negara bisa mengembalikan lagi nyawanya????

Continue reading

dapat 1, darimana?

Pembuktian matematikaKemarin di sekolah, beberapa siswa kelas 12 bertanya soal kepada saya.

\sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{2}

Katanya hasilnya 1 . Jika kita mengecek dengan kalkulator, kita akan meedapatkan 1 juga. Nah… darimana nilai 1 ini diperoleh? Itu pertanyaaan mereka.

Awalnya saya sempat kesusahan, beberapa cara yang dicoba hanya membawa saya ke jalan buntu tapi saya akhirnya saya tahu mengapa.

Pertama tama kita ubah 3 menjadi 3 = 1+ (√2)² , diperoleh

\sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{2}=\sqrt{1+\left(\sqrt{2}\right)^{2}+2\sqrt{2}}-\sqrt{2}

selanjutnya subtitusi x = √2, diperoleh

=\sqrt{1+x^{2}+2x}-x

=\sqrt{x^{2}+2x+1}-x

=\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}-x

=x+1-x

=1

Ah…akhirnya 1 , siap dihidangkan :)

Paradoks Sang Maha kuasa

penciptaanSebagai guru Matematika SMA, materi favorit saya adalah Logika. Karena materi ini membuat siswa untuk berpikir bukan berhitung dan banyak hal-hal yang “mind blowing” yang bisa saya berikan ke Siswa. Pada kurikulum 206 (KTSP), materi ini diberikan di semerster 2 kelas X. Btw untuk  kurikulum 2013 materi logika disampaikan ke kelas berapa dan semester berapa?

Di semester 2 sekarang, sekolah saya kembali mengunakan KTSP, jadilah saya kembali mengajarkan logika kepada siswa kelas 10. Hari sabtu kemarin (10/01/15) untuk pertama kalinya saya memberikan konsep paradoks kepada siswa kelas 10, meskipun sebenarnya konsep ini tidak ada dalam silabus logika.  Tidak apalah itung-itung memberikan wawasan baru untuk anak.

Kepada siswa kelas 10, Saya mengatakan bahwa yang namaya paradoks adalah pernyataan yang bisa benar sekaligus salah secara bersamaan.  Apa pun nilai kebenarannya, paradoks selalu menimbulkan pertentangan / kontradiksi. Awalnya saya hanya memberikan 2 contoh paradoks yaitu paradoks pembohong dan paradoks Pinokio. Meskipun sempat ragu, akhirnya saya memutuskan memberikan contoh  ke-3 yaitu Paradoks paling kontroversial. Paradoks Sang Maha kuasa (Omnipotence Paradox)

Tuhan yang maha kuasa mampu menciptakan batu yang teramat berat sehingga DIA sendiri tidak mampu mengangkatnya.

Apa nilai kebenaran dari pernyataan di atas?

Continue reading