limit sin (x) / x

Di semester 2, siswa kelas XI jurusan IPA mempelajari limit trigonometri, salah satu persamaan yang mereka dapat adalah

{\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=1}

Di buku paket matematika kelas XI IPA yang digunakan murid-murid saya sudah terdapat pembuktian dari persamaan diatas. Akan tetapi menurut saya pembuktiannya masih terlalu rumit untuk tingkat sma, karena mengunakan teorema apit yang belum dipelajari di tingkat SMA.

Oleh sebab itu saya bertanya-tanya ada tidak pembuktian dari persamaan diatas yang hanya mengunakan konsep-konsep matematis yang familiar untuk siswa SMA. Bertanyalah saya ke mbah Google, oh teryata ada pembuktain yang hanya mengunakan konsep radian, lingkaran unit (lingkaran dengan jari-jari 1 satuan), juring dan busur.

Didalam limit trigonometri, umumnya besaran sudut yang digunakan adalah radian. Kita tahu ada 2 besaran sudut yaitu derajat dan radian. Dalam derajat 1 putaran penuh = 360º sedangkan dalam radian 1 putaran penuh = 2π rad. Jika suatu juring pada lingkaran unit membentuk sudut θ rad maka busur yang terbentuk mempunyai panjang θ satuan

Perhatikan gambar berikut:

Continue reading

Ganti simbol “=” dengan “->” pada penulisan limit

Diberikan fungsi h:=x+3, nah apa kalian tahu bedanya

{\displaystyle \lim_{x\rightarrow2}h=\lim_{x\rightarrow2}x+3=5}

dengan

{\displaystyle h\left(2\right)=2+3=5} ?

Yang pertama mengatakan jika fungsi h diberikan input yang nilainya mendekati 2 maka akan menghasilkan output yang nilainya mendekati 5 sedangkan yang kedua mengatakan jika diberikan input 2 maka fungi h akan menghasikan output 5.

Seorang matematikawan pastilah tahu bahwa \lim_{x\rightarrow a}f\left(a\right)=L dan f\left(a\right)=L adalah 2 hal yang amat berbeda. Sedangkan, banyak orang awam yang rancu dengan  kedua hal tersebut.

Nah..menurut saya solusinya agar orang awam tidak rancu dengan 2 hal tersebut adalah mengganti simbol “=” pada penulisan limit dengan simbol “→” (anak panah). Jadi kita menuliskan limit sebagai berikut

{\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)\rightarrow L}

Pergantian simbol “=” dengan “→” untuk menegaskan bahwa f(x) mendekati L jika x mendekati a. Tentunya, Orang awam akan mudah mengetahui \lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)\rightarrow L berbeda dengan f\left(a\right)=L. Selain itu pergantian simbol “=” dengan “→” menurut saya akan mempermudah orang untuk memahami konsep limit.

Nah..bagaimana,  apa kalian sependapat dengan opini saya?

———————————————————————————————————————————————

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

barisan konvergen

Kali ini saya mau membahas barisan dan kekonvergenan

Barisan

 

Definisi: Suatu barisan (pada bilangan real) adalah suatu fungsi pada \mathbb{N} himpuan bilangan asli dengan range-nya (daerah hasilnya) dalam \mathbb{R}.

Dengan kata lain barisan pada \mathbb{R}. memasangkan setiap bilangan asli n=1,2,3,.. ke suatu bilangan real. Bilangan real yang diperoleh disebut nilai dari barisan. Umumnya suatu bilangan real yang dipasangkan ke suatu n\in\mathbb{N} dinotasikan x_{n}. Sedangkan barisan X:\,\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R} dinotasikan X=\left(x_{n},n\in\mathbb{N}\right).

Contoh

X=\left(2n,\, n\in\mathbb{N}\right) adalab barisan 2, 6, 8, 10, …

X=\left(\frac{1}{n},\, n\in\mathbb{N}\right) adalah barisan 1, 1/2, 1/3,…

X=\left(3,\, n\in\mathbb{N}\right) adalah barisan konstantanta 3, 3, 3,..

Konvergen

Para matematikawan menyadari ada barisan-barisan yang mempunyai sifat semakin besar n maka nilai x_{n} akan mendekati suatu nilai L. Sebagai contoh Y=\left(\frac{1}{n},\, n\in\mathbb{N}\right). Semakin besar n maka y_{n} akan mendekati nol tetapi tidak pernah mencapai nol. (kenapa?).  Jika x_{n} mendekati L seiring membesarnya n lalu kita notasikan \epsilon sebagai jarak antara x_{n} dengan L, dengan mudah kita ketahui nilai \epsilon akan semakin kecil jika n membesar. Begitu pula sebaliknya \epsilon akan membesar jika n mengecil. Pertanyaannya adalah berapa minimal n sedemikan hingga jika diambil suatu \epsilon, jarak x_{n} dengan L akan selalu kurang dari \epsilon?

Continue reading

Penjelasan Definisi Limit (lagi)

Sebenernya saya sudah pernah menulis penjelasan definisi Limit tapi karena ada beberapa orang yang bilang penjelasan saya masih membingungkan. Okey, kali ini saya menjelas kan lagi mengenai limit dengan cara yang lebih sederhana.

{\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\, f(x)=L}

Didefinisikan sebagai berikut

untuk sebarang bilangan real \epsilon>0 (\epsilon dibaca epsilon) maka  terdapat bilangan real  \delta>0 (\delta dibaca delta) dimana 0<|x-a|<\delta yang berakibat  |f(x)-L|<\epsilon

atau dalam bahas simbol ditulis

(\forall\epsilon>0\;\exists\delta>0)\;0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\epsilon

Apa maksud dari definisi tersebut? Apa maksud dari L adalah limit fungsi f di a. Nah sekarang perhatikan gambar

 

limit

Suatu fungsi f di a dikatakan mempunyai limit di L jika memenuhi hal-hal sebagai berikut

Continue reading

Himpunan persekitaran dan titik limit

Untuk membantu memudahkan memahami definisi limit fungsi yang saya bahas kemarin maka kali ini saya akan membahas mengenai himpunan persekitaran dan titik limit

Himpunan Persekitaran

Diberikan himpunan A, untuk sebarang x\in A dan konstanta real positif r, himpunan

{\displaystyle N_{r}(x)=\left\{ a\in A;\:|x-a|<r\right\} }

disebut himpunan persekitaran dari titik x dengan jari-jari/radius r. Untuk memahaminya pehatikan gambar berikut

persekitaran

Continue reading

Definisi limit

Seinget saya, saya belajar limit waktu kelas 2 sma (kelas XI sma), entah kalau kurikulum yang sekarang kelas berapa  anak sekolah belajar limit.

Nah..sekarang saya mau nanya apa kalian tahu apa itu limit sebenarnya? apa maksud dari {\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\, f(x)=L}?

{\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\, f(x)=L} didefinisikan sebagai berikut

untuk sebarang bilangan real \epsilon>0 (\epsilon dibaca epsilon) maka  terdapat bilangan real  \delta>0 (\delta dibaca delta) dimana 0<|x-a|<\delta yang berakibat  |f(x)-L|<\epsilon

Atau dalam bahasa simbol ditulis

(\forall\epsilon>0\;\exists\delta>0)\;0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\epsilon

Jadi nilai \delta tergantung dari \epsilon. Untuk lebih mudah memahami difinisi yang abstarak diatas perhatikan gambar berikut

limit

Continue reading