Lingkaran dan segitiga siku-siku

Salah satu teorema tertua di Matematika adalah Teorema Thales, diambil dari nama filsuf Yunani Thales dari Militus ( 624 – 546 SM). Teorema tersebut mengatakan:

Teorema Thales: Jika AC adalah diameter lingkarann maka sudut di B adalah sudut siku-siku

Teorema Thales: Jika A, B dan C adalah tiga titik pada lingkaran dengan garis AC adalah diameter lingkaran maka segitiga ABC adalah segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku terletak di B.

Bukti:

pembuktian Thales'_TheoremPerhatikan gambar di kiri. Diketahui OA = OB = OC, ∆OBA dan ∆OBC adalah segitiga sama kaki. (mengapa?) Berdasarkan kesamaan sudut kaki dari segitiga sama kaki diperoleh ∠OBC = ∠OCB and ∠BAO = ∠ABO. Dinotasikan α = ∠BAO and β = ∠OBC, diperoleh 3 sudut dari segitiga ∆ABC adalah α, α+β, dan β. Karena jumlah sudut segitiga adalah 180º, diperoleh

α + (α+β) + β = 180º

2α + 2β = 180º

2(α + β) = 180º

∴ α + β = 90º

Sumber gambar: Wikipedia

limit sin (x) / x

Di semester 2, siswa kelas XI jurusan IPA mempelajari limit trigonometri, salah satu persamaan yang mereka dapat adalah

{\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=1}

Di buku paket matematika kelas XI IPA yang digunakan murid-murid saya sudah terdapat pembuktian dari persamaan diatas. Akan tetapi menurut saya pembuktiannya masih terlalu rumit untuk tingkat sma, karena mengunakan teorema apit yang belum dipelajari di tingkat SMA.

Oleh sebab itu saya bertanya-tanya ada tidak pembuktian dari persamaan diatas yang hanya mengunakan konsep-konsep matematis yang familiar untuk siswa SMA. Bertanyalah saya ke mbah Google, oh teryata ada pembuktain yang hanya mengunakan konsep radian, lingkaran unit (lingkaran dengan jari-jari 1 satuan), juring dan busur.

Didalam limit trigonometri, umumnya besaran sudut yang digunakan adalah radian. Kita tahu ada 2 besaran sudut yaitu derajat dan radian. Dalam derajat 1 putaran penuh = 360º sedangkan dalam radian 1 putaran penuh = 2π rad. Jika suatu juring pada lingkaran unit membentuk sudut θ rad maka busur yang terbentuk mempunyai panjang θ satuan

Perhatikan gambar berikut:

Continue reading

Bilangan Ganjil dan Kubik

Sumber: Halaman FB WE Love Math

Sumber: Halaman FB WE Love Math

Pola bilangan yang amat cantik, bukan? Pola tersebut mengatakan bahwa n^3 bisa dibentuk dari penjumlahan bilangan ganjil berurutan sebanyak n buah. Konon katanya pola tersebut ditenukan oleh Nicomachus dari Geresa, Jordania sekitar abad pertama masehi. Bentuk umum dari pola di atas adalah:

n^{3}=\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+3\right)+\left(n^{2}-n+5\right)+\ldots+\left(n^{2}-n+\left[2n-1\right]\right)

 Nah.. sekarang mari kita buktikan.

Dalam notasi sum, sisi kanan persamaan diatas dapat ditulis menjadi

{\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}n^{2}-n+2k-1}

{\displaystyle =\left(\sum_{k=1}^{n}n^{2}-n\right)+\left(\sum_{k=1}^{n}2k-1\right)}

{\displaystyle =n\left(n^{2}-n\right)+\left(\sum_{k=1}^{n}2k-1\right)}

Berdasarkan teorema bilangan ganjil, diperoleh

{\displaystyle =n\left(n^{2}-n\right)+n^{2}}

{\displaystyle =n^{3}}

Kebalikan Teorema Pythagoras

akar-2Kemarin di Twitter, saya di mention Prof Hendra Gunawan, beliau baru saja menerbitkan bab 4 dari buku yang sedang ditulisnya berjudul Gara-Gara Hantu Lingkaran. Bab 4 menceritakan  karya terbesar Euclid di bidang matematika yaitu “Stoicheia” (Ind. “Elemen”), buku matematika .yang terdiri dari 13 jilid, membahas geometri dan dasar-dasar teori bilangan. Menurut Prof Hendra, jilid I dari buku tersebut membahas Teorema Pythagoras dan kebalikannya!

Seperti apa kebalikan dari Teorema Pythagoras ?

Kita semua tahu Teorema Pythagoras mengatakan: Jika suatu segitiga siku-siku dengan panjang sisi miring c serta a dan b adalah panjang dua sisi lainya maka berlaku a2 + b2 = c, Tinggal kita balik saja dalilnya menjadi:

Jika sutau segitiga △ ABC dengan panjang sisi a, b dan c serta berlaku a2 + b2 = c2 maka segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku.

Bukti:

Dikontruksikan segitiga siku-siku △ DEF dengan panjang sisi non-miring a dan b maka menurut Pythagoras berlaku

sisi miring² = a2 + b2

Bedasarkan asumis yang diketahui, diperoleh sisi miring² =  c2 = a2 + b. Itu berarti △ DEF mempunyai panjang sisi-sisi yang sama dengan △ ABC, disimpulkan △ ABC dan △ DEF kongkruen

QED

Prima dan 6

Di postingan sebelumnya, saya membahas hubungan bilangan prima dengan 24, sekarang saya akan membahas hubungan bilangan prima dengan 6.

Tahukah kalian, bahwa setiap bilangan prima yang lebih besar daripada 3 mempunyai bentuk 6n +1 ( kelipatan enam tambah satu ) atau 6n – 1 ( kelipatan enam kurang satu ) .

Contoh

  • 5 = 6 × 1 – 1
  • 7 = 6 × 1 + 1 
  • 11 = 6 × 2 – 1 
  • 13 = 6 × 2 + 1 
  • 17 = 6 × 3 – 1 
  • 19 = 6 × 3 + 1 

Sekarang mari kita buktikan

Bukti:

Suatu bilangan bulat postif m yang lebih besar daripada 3, jika dibagi 6 akan mempunyai bentuk m = 6n + r dengan n bilangan bulat non negatif dan r adalah sisa yang nilainya salah satu dari : 0, 1, 2, 3,  4, atau 5.

  • Jika nilai r adalah 0, 2 atau 4 maka m adalah bilangan genap, artinya bukan bilangan prima
  • Jika nilai r adalah 3 maka m habis dibagi 3, artinya bukan bilangan prima.

So… supaya m prima maka nilai r nya harus bernilai

  • 1 ( berbentuk m = 6n + 1, kelipatan 6 ditambah 1)

atau

  • 5 (berbentuk m = 6n +5 = 6(n + 1) -1,  kelipatan 6 dikurang 1)

QED

Satu hal yang perlu kalian ingat, sebaliknya belum tentu berlaku, bilangan yang berbentuk 6n + 1 atau 6n – 1 belum tentu prima. Contohnya 25 = 6 × 4 +1, padahal 25 bukan prima.

Referensi:  primes.utm.edu

Teorema Isoperimetrik

lingkaranKonon katanya Masyarakat Yunani Kuno sudah mengetahui bahwa lingkaran mempunayai luas terbesar diantara senua bangun datar lainya yang mempunyai keliling yang sama. Inilah yang disebut dengan Teorema Isoperimetrik ( Iso =  Sama, perimetrik = Keliling). Misalkan terdapat trapesium, segi-17, dan lingkaran, ketiganya mempunyai keliling yang sama, Teorema Isoperimetrik menjamin lingkaranlah yang mempunyai luas terbesar daripada trapesium dan segi-17.

Meskipun Yunani kuno yang hidup lebih dari 2300 tahun lalu sudah mengetahui fakta matematis tersebut akan tetapi Teorema Isoperimetrik baru bisa dibuktikan pada abad 19. Secara formal Teorema Isoperimetrik  menyatakan:

Teorema Isoperimetrik: Untuk semua C kurva sederhana tertutup di \mathbb{R}^{2} dengan keliling P dan luas A berlaku

{\displaystyle A\leq\frac{P^{2}}{4\pi}}

Pertidaksamaan diatas akan menjadi persamaan jika hanya jika C adalah lingkaran.

Teorema Isoperimetrik sering juga diseput Pertidaksamaan Isoperimetrik karena memuat pertidaksamaan. Nah sekarang mari kita buktikan.

Continue reading

x^y=y^x

x^y=y^x

Jelas, jika x=y, apapun bilangan, minumnya teh botol sosro akan selalu memenuhi persamaan diatas tetapi itu sama sekali tidak menarik. Dengan mudah diketahui 2^4=4^2, dengan kata lain 2 dan 4 adalah solusi pasangan bilangan bulat berbeda dari persamaan diatas. Nah..sekarang pertanyaannya adalah solusi pasangan bilangan bulat berbeda selain 2 dan 4?

Diasumsikan x dan y adalah bilangan bulat, diperoleh bilangan rasional k=y/x. itu berarti y=kx, masukkan ke persamaan diperoleh

x^{kx}=\left(kx\right)^{x}

\left(x^{k}\right)^{x}=\left(kx\right)^{x}

berakibat

x^{k}=kx

x^{k-1}=k

Kita mendapatkan solusi umum

{\displaystyle x=k^{\frac{1}{k-1}},\: y=k\cdot k^{\frac{1}{k-1}}=k^{\frac{k}{k-1}}}

Karena k adalah bilangan rasional maka \frac{1}{k-1} adalah bilangan rasional juga. Diasumsikan  \frac{p}{q}=\frac{1}{k-1} dalam bentuk yang paling sederhana, dengan kata lain p dan q relatif prima. Diperoleh:

k-1=\frac{q}{p},\: k=\frac{p+q}{p},\,\frac{k}{k-1}=\frac{p+q}{q}

Masukkan ke solusi umum, diperoleh:

{\displaystyle x=\left(\frac{p+q}{p}\right)^{p/q},\, y=\left(\frac{p+q}{p}\right)^{\frac{p+q}{q}}}

Kita mengininkan x dan y adalah bilangan bulat maka haruslah (p+q)/p, p/q dan (p+q)/q juga merupakan bilangan bulat. Karena p dan q relatif prima maka p+q juga relatif prima terhadap p dan q.  So satu-satunya kemungkinan hanyalah p = q = 1.

Oh sekarang jelas sudah bahwa

{\displaystyle x=\left(\frac{1+1}{1}\right)^{1/1}=2,\, y=\left(\frac{1+1}{1}\right)^{\frac{1+1}{1}}=4}

Satu-satunya pasanangan bilangan bulat berbeda yang menjadi solusi dari persamaan diatas.

Teorema Sisa Cina

Sumber: ciee.org

Sumber: ciee.org

Saya punya soal cerita sebagai berikut

Alkisah seorang Nenek pergi ke pasar dengan membawa keranjang berisi telur.Di pasar keranjang tersebut ditaruh di bawah, tanpa sengaja seorang pemuda menginjak keranjang tersebut sehingga pecah semua telur yang berada didalam keranjang. Pemuda tersebut berniat menganti kerugian dan bertanya kepada si nenek berapa jumlah telur di keranjang. Akan tetapi si Nenek tidak ingat berapa jumlah telur di keranjang.  Si Nenek hanya ingat jika jumlah telur tersebut dibagi 3 maka sisanya 2 telur. Jika dibagi 5 maka sisanya 3 telur dan jika dibagi 7 maka sisanya 2 telur.

Berapa jumlah telur terkecil yang mungkin dimiliki si Nenek?

Jika kita ubah kedalam bahasa matematis, soal tersebut meminta kita mencari solusi dari sitem linear kongkruen

x\equiv2\pmod3

x\equiv3\pmod5

x\equiv2\pmod7

Bagaimana mencari solusi dari sistem linear kongkruen?

Continue reading

Pembuktian Sang Presiden

James  Garfield, Presiden AS ke-20 yang membuktikan Teorema Phytagoras. Sumber: Wikipedia

James Garfield, Presiden AS ke-20 yang membuktikan Teorema Phytagoras. Sumber: Wikipedia

Teorema Pythagoras, siapa yang tidak mengenal Teorema ini? Teorema Pythagoras membahas hubungan spesial ketiga sisi segitiga siku-siku sering ditulis  a2 + b2 = c2   dengan c adalah sisi miring sedangkan a dan b adalah dua sisi lainnya Kalian tahu? ada ratusan cara pembuktian Teorema Pytagoras. Terdapat Buku berjudul The Pythagorean Proposition yang   membahas 367 cara pembuktian Teorema Pytagoras. Woow…banyak sekali pembuktiannya, bukan?

Dari sekian banyak pembuktian Teorema Pythagoras ternyata salah satunya ditulis oleh Presiden Amerika Serikat (AS) yaitu James Abram Garfield, Presiden AS ke-20. Konon katanya sebelum masuk ke ranah politik, James Garfield bercita-cita menjadi Profesor Matematika, pembuktiannya ditulis 5 tahun sebelum dia terpilih menjadi Presiden.

Pembuktiannya sebagai berikut:

Continue reading

01 dan 99

Coba kalian perhatikan:

99^{1}=\mathbf{99}

99^{2}=98\mathit{01}

99^{3}=9702\mathbf{99}

99^{4}=960596\mathit{01}

99^{5}=95099004\mathbf{99}

99^{6}=9414801494\mathit{01}

Sudah terlihat kan polanya? Untuk n genap maka 99^n berakhir di 01, sedangkan untuk n ganjil maka 99^n berakhir di 99.

Sekarang mari kita buktikan bahwa pola tersebut berlaku untuk semua bilangan bulat positif n

Untuk pembuktiannya kita akan menggunakan aritmatika modular. Salah satu teorema adalam aritmatika modular menyatakan

Teorema: jika a\equiv b\pmod k maka a^n\equiv b^n\pmod k

Pertama-tama kita buktikan untuk n genap.

Diketahui 99\equiv -1\pmod {100} berdasakan teorema diatas diperoleh 99^n\equiv -1^n\pmod {100}.

Karena n genap maka 1=-1^n, diperoleh

 99^n\equiv 1\pmod {100}.

Itu berarti untuk n genap, 99^n adalah kelipatan 100 lebih 1. Oleh karena itu 99^n pastilah berakhir di 01.

Selanjutnya, untuk n ganjil.

Untuk n ganjil maka -1=-1^n.

Gunakan teorema diatas diperoleh

99^{n}\equiv-1^{n}\pmod{100}\rightarrow99^{n}\equiv-1\pmod{100}

Jadi untuk n ganjil, 99^n adalah kelipatan 100 kurang 1, yang berarti  99^n berakhir di 99

\square

Dengan cara yang sama kita bisa membuktikan pola untuk 9^n, 999^n bahkan secara umum 999\ldots9^{n}