Mencari FPB tanpa pemfaktoran

Ketika SD, kita diajarakan mencari FPB (Faktor Persekutuan terBesar) dengan cara pemfaktoran. Nah… kali ini saya kan tunjukan cara lain mencari FPB tanpa pemfaktoran yang dinamakan Algoritma Euclid. Algoritma ini sudah ada 300 sm diambil dari nama matematikawan Yunani kuno, Euclid yang membuat Algoritma tersebut. Mungkin Algoritma Euclid adalah algoritma yang pertama kali dibuat Manusia.

Algoritma

Kita akan mencari FPB dari A dan B dangan A > B. Pertama-tama kita bagi A dengan B. Bilangan yang lebih kecil membagi bilangan yang lebih besar

A ÷ B = C sisa D

Artinya A dibagi B hasilnya adalah C dengan sisa D, kemudian sisa D ini membagi B

B ÷ D = E sisa F

lalu F membagi D

D ÷ F = G sisa H

Begitu seterusnya sampai kita mendapatkan sisa nol. Nah.. pembagi terakhir merupakan FPB dari A dan B

Continue reading

Pencarian jarak prima

Yitang Zhang,

Yitang Zhang,

Di Matematika ada banyak masalah yang belum terpecahkan (Unsolved problem) Mengapa belum terpecahkan? Karena metode-metode yang ada gagal memecahkannya. Dengan kata lain dibutuhkan metode baru atau bahkan konsep matematis baru untuk memecahkannya.

Beberapa masalah yang belum terpecahkan punya pernyataan yang sederhana. Artinya mudah dipahami oleh orang awam bahkan anak SD sekalipun. Salah satu contohnya adalah Dugaan Prima kembar (Twin Prime conjecture)

Prima kembar adalah pasangan prima berurutan yang jarakny adalah 2.

contoh: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31)

Semakin besar bilangan, prima kembar semakin sulit ditemukan Sampai saat ini prima kembar terbesar adalah

(65516468355 · 2333333 – 1, 65516468355 · 2333333 +1)

Yang ditemukan pada 25 desember 2011.

Dugaan Prima kembar mengatakan

Continue reading

Penjumlahan Pecahan

Kali ini saya mau bicara tentang penjumlahan pecahan

\frac{2}{5}+\frac{1}{5}=\ldots

Penjumlahan pecahan dengan penyebut yang sama, Anak kelas 4 SD sekalipun bisa menjawabnya yaitu \frac{3}{5} tetapi bukan itu yang ingin saya tanyakan. Yang ingin saya tanyakan mengapa Penjumlahan pecahan dengan penyebut yang sama, kita hanya menjumlahkan pembilangnya saja sedangkan penyebutnya kita biarkan saja, tidak dijumlahkana? Dengan kata lain mengapa \frac{2}{5}+\frac{1}{5}=\frac{3}{5} bukannya \frac{3}{10}?

Sumber: Wikipedia

Sumber: Wikipedia

Untuk menjawabnya kita harus paham pengertian pecahan. Pecahan \frac{a}{b} dengan a disebut pembilang dan b disebut penyebut adalah perbandingan a bagian sama besar dengan b total keseluruhan bagian yang membentuk satu kesatuan. Dengan kata lain \frac{a}{b} artinya kamu memecah suatu hal menjadi b pecahan sama besar kemudian kamu mengambil a pecahan. Karena penyebut b adalah total bagian sama besar yang menyusun suatu hal, kita bisa mengarikan b sebagai ukuran pecahan yaitu b kali lebih kecil dari ukuran utuhnya.  Kamu mengambil ¼ kue artinya kamu mengambil sepotong kue yang ukurannya 4 kali lebih kecil dibadingkan ukuran kue utuhnya.

Continue reading

Lubang Hitam 123

Sumber: techtimes.com

Sumber: techtimes.com

Sekarang kita akan bermain-main angka. Kita mulai dengan sembarang bilangan, saya akan mengambil bilangan besar, misal:

3.489.056.701.245.607

Kemudian kita akan menghitung munculnya angka genap , ganjil dan total angka. Bilangan diatas memiliki 9 genap (ingat, 0 itu genap), 7 ganjil dan totalnya ada 16 angka. Kita mendapatkan bilangan baru yaitu 9716. Ulangi lagi hitung banyaknya ganjil, genap dan total angka dari 9761 kita mendapatkan 134, ulangi kembali kita mendapatkan 123, ulangi lagi, kita kembali medapatkan 123. Oh ternyata 123 tetap menghasilkan 123.

Mari kita coba bilangan lain.

3.456 → 224 → 303 → 123

555 → 033 → 123

23 → 112 → 123

3 → 011 → 123

Oh… ternyata semua bilangan yang kita coba hasil akhirnya selalu 123. Mmm… 123 bagaikan lubang hitam yang menghisap semua bilangan di semesta ini kedirinya. Nah.. sekarang mari kita buktikan.

Continue reading

Prima Mersenne

Marin mersenne sumber: Wikipedia

Marin mersenne sumber: Wikipedia

Prima Mersenne dinotasikan M_p adalah bilangan prima yang mempunyai bentuk 2^p-1 dengan p juga bilangan prima. Berikut adalah 5 prima Mersenne yang pertama:

M_2=2^2-1=3, M_3=2^3-1=7, M_5=2^5-1=31 , M_7=2^7-1=127 dan M_13=2^13-1=8191

Prima Mersenne mempunyai beberapa fakta menarik sebagai berikut:

1.  Baru diketahui 48 prima Mersenne

Sampai tulisan ini ditulis, hanya ada jkt48 prima Mersenne, yang kita ketahui.  Prima Mersenne ke- 48 adalah M_{57.885.161} ditemukan 25 januari 2013. Prima Mersenne ke-48 juga merupakan bilangan prima terbesar yang saat ini kita ketahui. Konon katanya untuk menuliskan M_{57.885.161} dibutuhkan 4.647 halaman dengan 75 digit per baris dan 50 baris per halaman. Silahkan klik di sini untuk melihat ke-48 prima Mersenne

2. Berhingga atau tidak berhingga?

Sampai detik ini para Matematikawan tidak mengetahui apakah prima Mersenne mempunyai jumlah berhingga atau tak berhingga? Banyak yang menduga prima Mersenne mempunyai jumlah tak hingga banyaknya tetapi sampai detik ini belum ada yang mampu membuktikan secara matematis dugaan tersebut.

Continue reading

Bilangan Ganjil dan Kubik

Sumber: Halaman FB WE Love Math

Sumber: Halaman FB WE Love Math

Pola bilangan yang amat cantik, bukan? Pola tersebut mengatakan bahwa n^3 bisa dibentuk dari penjumlahan bilangan ganjil berurutan sebanyak n buah. Konon katanya pola tersebut ditenukan oleh Nicomachus dari Geresa, Jordania sekitar abad pertama masehi. Bentuk umum dari pola di atas adalah:

n^{3}=\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+3\right)+\left(n^{2}-n+5\right)+\ldots+\left(n^{2}-n+\left[2n-1\right]\right)

 Nah.. sekarang mari kita buktikan.

Dalam notasi sum, sisi kanan persamaan diatas dapat ditulis menjadi

{\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}n^{2}-n+2k-1}

{\displaystyle =\left(\sum_{k=1}^{n}n^{2}-n\right)+\left(\sum_{k=1}^{n}2k-1\right)}

{\displaystyle =n\left(n^{2}-n\right)+\left(\sum_{k=1}^{n}2k-1\right)}

Berdasarkan teorema bilangan ganjil, diperoleh

{\displaystyle =n\left(n^{2}-n\right)+n^{2}}

{\displaystyle =n^{3}}

Prima dan 6

Di postingan sebelumnya, saya membahas hubungan bilangan prima dengan 24, sekarang saya akan membahas hubungan bilangan prima dengan 6.

Tahukah kalian, bahwa setiap bilangan prima yang lebih besar daripada 3 mempunyai bentuk 6n +1 ( kelipatan enam tambah satu ) atau 6n – 1 ( kelipatan enam kurang satu ) .

Contoh

  • 5 = 6 × 1 – 1
  • 7 = 6 × 1 + 1 
  • 11 = 6 × 2 – 1 
  • 13 = 6 × 2 + 1 
  • 17 = 6 × 3 – 1 
  • 19 = 6 × 3 + 1 

Sekarang mari kita buktikan

Bukti:

Suatu bilangan bulat postif m yang lebih besar daripada 3, jika dibagi 6 akan mempunyai bentuk m = 6n + r dengan n bilangan bulat non negatif dan r adalah sisa yang nilainya salah satu dari : 0, 1, 2, 3,  4, atau 5.

  • Jika nilai r adalah 0, 2 atau 4 maka m adalah bilangan genap, artinya bukan bilangan prima
  • Jika nilai r adalah 3 maka m habis dibagi 3, artinya bukan bilangan prima.

So… supaya m prima maka nilai r nya harus bernilai

  • 1 ( berbentuk m = 6n + 1, kelipatan 6 ditambah 1)

atau

  • 5 (berbentuk m = 6n +5 = 6(n + 1) -1,  kelipatan 6 dikurang 1)

QED

Satu hal yang perlu kalian ingat, sebaliknya belum tentu berlaku, bilangan yang berbentuk 6n + 1 atau 6n – 1 belum tentu prima. Contohnya 25 = 6 × 4 +1, padahal 25 bukan prima.

Referensi:  primes.utm.edu

a + b = ab

Perhatikan persamaan berikut

a + b = ab

Jika kita ambil a  = b = 2 , jelas adalah solusi dari persamaan diatas. Dengan kata lain (2,2) adalah pasangan solusi bulat dari persamaan diatas. Nah.. sekarang pertanyaannya:

Adalah  pasangan solusi bilangan bulat positif lain selain (2, 2) ? Syukur2 bukan pasangan kembar.

Untuk menjawabnya, kita lakukan saja manipulasi aljabar.

a + b = ab

a = ab -b

a = b ( a – 1 )

a / ( a – 1) = b.

Supaya b adalah bilangan bulat positif maka haruslah a – 1 = 1. So.. a = 2, itu berarti b = 2 juga. Sekarang jelas ( 2, 2) adalah satu-satunya pasangangan solusi bilangan bulat positif.

Itu tadi di dalam bilangan bulat positif, sedangkan di dalam bilangan real persamaan diatas mempunyai tak hingga banyaknya pasangan solusi, yang mempunyai bentuk umum ( a, a /( a – 1 ) ) dengan a adalah bilangan real.

Sebagai contoh : Jika a= 10 maka ( 10, 10/9 ).

Dengan kata lain, telah kita tunjukan bahwa didalam bilangan real ada tak hingga banyaknya pasangan bilangan yang jika di jumlah dan di kalikan mempunyai hasil yang sama.

Pembagian Pecahan

pembagian simbolKetika SD, kita diajari cara pembagian  pecahan adalah dengan mengubah pembagian menjadi perkalian lalu di pecahan kedua kita tukar posisi penyebut dengan pembilangnya.

Contoh:   \frac{3}{4}\div\frac{2}{4}=\frac{3}{4}\times\frac{4}{2}=\frac{12}{8}

Secara umum rumus pembagian pecahan adalah

\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}

dengan a,b,c dan d adalah bilangan bulat tak nol

Mengapa demikian?

Pertama-tama saya ingin memberitahukan 1 fakta matematis yang disembunyikan oleh guru matematika kalian. hehe.. lebay, bahwa pembagain sebenarnya adalah perkalian. Lho kok bisa??

a dibagi b itu sebenarnya berarti a dikali invers (perkalian) dari b, dinotasikan b^{-1}

a\div b=a\times b^{-1}

Apa itu invers?

Diberikan bilangan tak nol a maka  a^{-1} adalah suatu bilangan sedemikian hingga berlaku

Continue reading