Review Buku: Lingkaran

LingkaranJumat, 6 maret 2015, saya mendapatkan paket dari bandung dikirim oleh Prof Hendra Gunawan Guru Besar Matematika ITB. Isi paketnya adalah buku karya beliau yang baru saja terbit. Ini untuk pertama kalinya saya mendapatkan buku langsung dari penulisnya. Judul bukunya adalah:

Lingkaran

Menguak misteri bilangan π, bangun datar dan bangun ruang terkait dengan lingkaran.

Ya… buku matematika tetapi BUKAN buku pelajaran, BUKAN buku teks kuliah BUKAN pula buku kumpulan rumus atau soal. Kalau bukan itu semua lalu prof Hendra menuliskan buku matematika seperti apa? Saya menyebutnya buku dongeng Matematis, yaitu buku yang mendongengkan konsep-konsep matematis dengan bahasa sederhana. Jika kita melihat situs amazon.com sudah banyak buku-buku serupa tentunya berbahasa Inggris, sedangkan  buku dongeng matematis yang berbahasa Indonesia dan ditulis oleh orang Indonesia bukan sekedar terjemahan, sejauh yang saya tahu baru ada buku karya Prof Hendra ini. Dari judul bukunya sudah bisa terlihat konsep matematis apa yang didongengkan Prof Hendra. Tidak hanya menceritakan konsep matematis, prof Hendra juga menceritakan sejarahnya. Buku tersebut terbagi menjadi tiga bagian.

Continue reading

Tangent 90 derajat

Trigonometri itulah materi yang sekarang saya ajarkan kepada kelas X, saya mengatakan bahwa tan 90° adalah tak terdefinsi tetapi guru matematika yang lain di kelas X lain mengatakan bahwa tan 90° nilainya tak terhingga.

Lalu mana yang benar? Nilai tan 90° itu tak terdefinisi atau tak terhingga?

Diketahui sin 90° = 1 dan cos 90° = 0 serta persamaan {\displaystyle \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}}.

Diperoleh

{\displaystyle \tan90^{\circ}=\frac{\sin90^{\circ}}{\cos90^{\circ}}=\frac{1}{0}}.

Jelas 1/0 itu tak terdefinsi, tidak ada jawabannya. Karena mustahil memotong 1 apel menjadi 0 bagian.

So… itu berarti yang mengatakan tan 90° = ∞ adalaha suatu kekeliruan. Eh… tunggu dulu, jangan buru-buru menyimpulkan seperti itu. Yang mengatakan  tan 90° = ∞ juga mempunyai argumentasi.

Mari kita lihat argumentasi yang mengatakan tan 90° = ∞.

Continue reading

Lingkaran dan segitiga siku-siku

Salah satu teorema tertua di Matematika adalah Teorema Thales, diambil dari nama filsuf Yunani Thales dari Militus ( 624 – 546 SM). Teorema tersebut mengatakan:

Teorema Thales: Jika AC adalah diameter lingkarann maka sudut di B adalah sudut siku-siku

Teorema Thales: Jika A, B dan C adalah tiga titik pada lingkaran dengan garis AC adalah diameter lingkaran maka segitiga ABC adalah segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku terletak di B.

Bukti:

pembuktian Thales'_TheoremPerhatikan gambar di kiri. Diketahui OA = OB = OC, ∆OBA dan ∆OBC adalah segitiga sama kaki. (mengapa?) Berdasarkan kesamaan sudut kaki dari segitiga sama kaki diperoleh ∠OBC = ∠OCB and ∠BAO = ∠ABO. Dinotasikan α = ∠BAO and β = ∠OBC, diperoleh 3 sudut dari segitiga ∆ABC adalah α, α+β, dan β. Karena jumlah sudut segitiga adalah 180º, diperoleh

α + (α+β) + β = 180º

2α + 2β = 180º

2(α + β) = 180º

∴ α + β = 90º

Sumber gambar: Wikipedia

limit sin (x) / x

Di semester 2, siswa kelas XI jurusan IPA mempelajari limit trigonometri, salah satu persamaan yang mereka dapat adalah

{\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=1}

Di buku paket matematika kelas XI IPA yang digunakan murid-murid saya sudah terdapat pembuktian dari persamaan diatas. Akan tetapi menurut saya pembuktiannya masih terlalu rumit untuk tingkat sma, karena mengunakan teorema apit yang belum dipelajari di tingkat SMA.

Oleh sebab itu saya bertanya-tanya ada tidak pembuktian dari persamaan diatas yang hanya mengunakan konsep-konsep matematis yang familiar untuk siswa SMA. Bertanyalah saya ke mbah Google, oh teryata ada pembuktain yang hanya mengunakan konsep radian, lingkaran unit (lingkaran dengan jari-jari 1 satuan), juring dan busur.

Didalam limit trigonometri, umumnya besaran sudut yang digunakan adalah radian. Kita tahu ada 2 besaran sudut yaitu derajat dan radian. Dalam derajat 1 putaran penuh = 360º sedangkan dalam radian 1 putaran penuh = 2π rad. Jika suatu juring pada lingkaran unit membentuk sudut θ rad maka busur yang terbentuk mempunyai panjang θ satuan

Perhatikan gambar berikut:

Continue reading

Pangkat Irasional

Kita tahu bilangan rasional adalah bilangan yang dapat diekspresikan dalam bentuk m/n, dengan m dan n adalah bilangan bulat serta n ≠ 0.

Di SMA, kita sudah diajarkan perpangkatan rasional.

a^{\frac{m}{n}}=\left(a^{m}\right)^{\frac{1}{n}}=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{m}

Contoh:  8^{\frac{2}{3}}=\left(8^{2}\right)^{\frac{1}{3}}=64^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{64}=4

Sekarang bagaimana menghitung pangkat irasional?

Kita tahu bilangan irasional adalah bilangan yang TIDAK dapat diekspresikan dalam bentuk m/n, dengan m dan n adalah bilangan bulat serta n ≠ 0. Contoh bilangan irasional  adalah π, √2 atau e.

Bagaimana menghitung 2^{\sqrt{2}} atau 3^{\pi}?

Untuk menghitung pangkat irasional, kita mengunakan konsep limit. Diberikan p bilangan irasional dan x adalah bilangan rasional yang teramat dekat dengan p maka nilai a^x akan sangat dengan a^p. Dalam notasi limit dapat ditulis sebagai berikut:

{\displaystyle a^{p}=\lim_{x\rightarrow p}a^{x},\quad x\in\mathbb{Q}}

Itu berarti kita tidak benar-benar menghitung nilai 2^{\sqrt{2}}, yang kita lakukan adalah mencari bilangan rasioanal x yang amat dekat dengan √2, kemudian menghitung nilai 2^x karena hasilnya akan teramat dekat dengan 2^{\sqrt{2}}.

Akar i

Postingan kali ini bisa dikatakan jawaban saya dari pertanyaan seorang pembaca bernama Nugroho. Kita tahu bilangan imajiner dinotasikan i adalah akar dari -1

i=\sqrt{-1}.

Nah..sekarang apa jadinya jika i yang sudah merupakan bentuk akar, kita akarkan kembali.

Berapa \sqrt{i} ?

Untuk menjawabnya, kta akan menggunakan rumus de moviere untuk akarke-n.

Diberikan sembarang bilangan kompleks tak nol yang ditulis dalam bentuk polar z=\left|z\right|\cos\theta+i\sin\theta maka berlaku

{\displaystyle \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{\left|z\right|}\cos\frac{\theta+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\theta+2k\pi}{n}}\quad k=0,2,\ldots,n-1

Diketahui dalam bentuk polar, i=\cos\frac{1}{2}\pi+i\sin\frac{1}{2}\pi, masukkan kerumus diatas, diperoleh

{\displaystyle \sqrt{i}=\cos\frac{\frac{1}{2}\pi+2k\pi}{2}+i\sin\frac{\frac{1}{2}\pi+2k\pi}{2}}

Untuk k=0, diperoleh:

\sqrt{i}=\cos\frac{1}{4}\pi+i\sin\frac{1}{4}\pi\approx0,7071+0,7071i

sedangkan, untuk k=1, diperoleh:

\sqrt{i}=\cos\frac{5}{4}\pi+i\sin\frac{5}{4}\pi\approx-0,7071-0,7071i

Jadi nilai \sqrt{i}, ada 2? Ya, secara umum akar ke-n dari suatu bilangan kompleks, \sqrt[n]{z} akan mempunyai nilai sebanyak n. Mengapa bisa begitu? err… saya jelaskan lain kali aja yach :)

Ketunggalan Tafsir

Sumber: wikimedia.org

Sumber: wikimedia.org

Beberapa hari yang lalu ketika saya mengajar di kelas, tiba-tiba seorang siswa bertanya ke saya

Bapak, mengapa suka matematika?

Sebenarnya saya pernah membuat postingan yang merupakan jawaban dari pertanyaan diatas, tetapi entah kenapa, saya menjawab denga jawaban yang berbeda dengan yang pernah saya tulis.

Saat itu secara reflek saya menjawab:

Karena matematika mempunyai ketunggalan tafsir.

Tentunya kalian sudah familiar dengan dalil Pythagoras, suatu rumus yang menerangkan hubungan sisi-sisi dari segitiga siku-siku yang kalian pelajari di SMP. Diambil dari nama matematikawan Yunani kuno yang hidup 500 SM. Konon katanya dia lah yang pertama kali membuktikannya meskipun demikian ada bukti-bukti masyarakat babylonia yang hidup 2000 SM sudah memahami rumus tersebut.

Continue reading

Mustahil ada yang bisa

ada yang bisa

Klik gambar untuk memperbesar

Nemu di halaman FB Meme Comic Indonesia (MCI). Gambar tersebut mendapat lebih dari 1.000 komentar. Saya perkirakan mayoritas komentator adalah anak-anak selolah dan belum ada satupun yang bisa menyelesaikan tantangan yang diberikan MCI .

Seandainya pelajaran matematika di sekolah diajarkan Teori Graf, tentu saja mereka para komentator dengan mudah menjawab TIDAK ADA yang bisa. Karena tantangan tersebut serupa dengan permasalahan jembatan Konigsberg yang sudah pernah saya bahas.

Graf adalah himpunan titik dan garis. So…Teori Graf adalah cabang matematika yang mempelajari titik-titik yang terhubung dengan garis. Saya berpendapat Teori Graf seharusnya dipelajari di tingkat SMA Karena dengan mempelajari teori graf akan membuka wawasan para siswa bahwa matematika tidak hanya berkutat dengan angka saja. Selain itu di Teori Graf banyak hak menarik serta banyak terapannya didunia nyata.

Review Film: The Imitation Game

The Imitation GameBiasanya review film, saya tulis di FB tetapi untuk review film yang tadi siang saya tonton, saya tuliskan disini karena masih ada sangkut-pautnya dengan matematika. The Imitation Game adalah film Biografi dari Alan Turing (23 Juni 1912 – 7 June 1954) , seorang Matematikawan, pemecah kode terhebat sepanjang sejarah dan dianggap bapak Komputer.

Film tersebut dibuka dengan kalimat yang amat kuat

Are you paying attention?

Yang memberikan pesan kepada penontonnya bahwa film yang mereka tonton bukanlah film biasa.  Ya.. memang benar ,The Imitation Game bukankah film biasa melainkan film berkualitas oscar, apalagi akting dari benedict cumberbatch si pemeran Alan turing, bener-benar luar biasa layak dapat Oscar.

Secara garis besar film ini menceritakan, Alan turing yang memimpin tim kecil nan rahasia, tim tersebut mempunyai misi memecahkan sandi-sandi Enigma saat perang dunia II berlangsung.

Continue reading