Paradoks Diagonal

Ketika saya menjadi Maba (Mahasiswa Baru), saya membaca artikel kalau tidak salah judulnya ” Rumus Phytagoras keliru” di buletin Himatika (Himpunan Mahasiswa Matematika UGM). Artikel tersebut membahas Paradoks Diagonal

Apa itu?

Persegi satuanMisalkan kita mempunyai persegi dengan panjang sisi 1 satuan. Nah saya akan menunjukkan bahwa panjang diagonalnya sama dengan panjang 2 sisinya atau dengan kata lain 2 satuan. Caranya dengan mengubah 2 sisi oranye menjadi diagonal dengan cara penekukkan tak hingga banyaknya seperti gambar dibawah. Perlu diingat penekukkan tidak mempengaruhi panjang. Tali yang ditekuk, panjangnya tetap, iya kan?

Penekukkan Sisi

Dari gambar di atas terlihat semakin sering 2 sisi oranye ditekuk maka semakin meyerupai diagonal. Jika dilakukan tak hingga banyakknya penekukkan maka disimpulkan

panjang diagonal = panjang 2 sisi oranye = 2 satuan.

Padahal menurut rumus Phytagoras, panjang diagonal adalah √2 ≈ 1,41 satuan.

Apa yang salah?

Continue reading

Jembatan Keledai

Pons Asinorum dalam bahasa latin artinya Jembatan Keledai adalah istilah yang merujuk suatu persoalan yang bertujuan menguji kecerdasan siswa. Persoalan yang akan membedakan siswa yang cerdas dengan “keledai”. Pada abad pertengahan di Eropa yang dianggap Pons Asinorum adalah pernyataan 5 di buku Element jilid 1 karya Euclid

Pada Segitiga sama kaki, sudut-sudut di alas mempunyai besar yang sama dan jika sisi-sisi kaki diperpanjang maka sudut-sudut dibawah alas juga mempunyai besar yang sama

Saya akan mengunakan bukti yang dipakai Euclid

Bukti:

Sumber: Wikipedia

Sumber: Wikipedia

Diberikan segitiga sama kaki ABC dengan sisi kaki adalah AB dan BC serta diberikan garis BD dan CE yang memperpanjang sisi AB dan BC.

Akan dibuktikan

  1. ∠ABC = ∠ACB
  2. ∠FBC = ∠GCB

Ambil sembarang titik F pada BD kemudian ambil titik G pada CE sedemikian hingga AF = AG. Sekarang perharikan △AFC dan  △AGB Karena AF = AG dan AB = BC serta keduanya berbagi sudut yang sama di A maka berdasarkan sisi-sudut-sisi disimpulkan △AFC dan  △AGB kongkruen. Itu berarti diketahui

  • ∠ABG = ∠ACF
  • ∠AFC = ∠AGF

Karena AB = AC dan AF = AG maka BF = CG. Hal tersebut menyebabkan CF = BG. Berdasakan Sisi – sisi – sisi maka diketahui △BGC dan △BFC kongkruen. Hal tersebut menyebabkan ∠FBC = ∠GCB.

Karena ∠FBC = ∠GCB dan ∠ABG = ∠ACF maka haruslah  ∠ABC = ∠ACB

Bagaimana apa kalian berhasil melewati jembatan keledai?

Kurva Setan

Kurva Setan untuk a=0.8 dan b=1. Sumber: Wikipedia

Kurva Setan untuk a=0.8 dan b=1. Sumber: Wikipedia

Pada tahun 1750, Matematikawan Swiss Gabriel Cramer menerbitkan sebuah buku tentang kurva bidang judulnya l’Analyse des lignes courbes alg´ebriques. Dibuku tersebut, ada suatu kurva yang diberi nama kurva Setan yang diperoleh dari persamaan

y^{2}\left(y^{2}-a^{2}\right)=x^{2}\left(x^{2}-b^{2}\right)

Kurva tersebut dinamakan Setan karena merepresentasikan permaianan tradisonal eropa Diabolo. Dalam bahasa itali, Diabolo artinya setan. Permainan Diabolo menyerupai permainan yoyo terdiri dari balok kayu berbentuk jam pasir dan 2 tongkat yang terhubung dengan tali. Untuk lebih jelasnya tentang permainan Diabolo, silahkan saksikan video berikut:

Referensi: H.S.Nieman, The Devil’s Curve, Agustus 2009 http://wwwmath.uni-muenster.de/u/simeon.nieman/Folder/DevilsCurve.pdf

Teorema Pernikahan

Sumber: huffpost.com

Sumber: huffpost.com

Mumun adalah seorang mak comblang, dia hendak menjodohkan 4 laki-laki kepada 4 perempuan. Dia bertanya kepada para laki-laki, siapa perempuan yang mereka sukai kemudian Mumun membuat diagram sebagai berikut.

Diagram 1

Diagram 1

Tanda garis adalah kesukaan. Adi dan Galuh sama-sama suka Citra. Bejo menyukai 2 perempuan sekaligus yaitu Ajeng dan Dea, sedangkan Didit naksir Berliana.

Apakah Mumun bisa menjodohkan mereka semua? Apakah terjadi kesesuaian? Yaitu semua laki-laki dan perempuan mendapatkan pasangan tanpa ada satupun yang tertinggal. Mmm… sepertinya tidak mungkin karena Adit dan Galuh menyukai perempuan yang sama. Karena tidak ada kesesuaian, Mumun menyuruh meraka semua kembali berkencan satu-sama lain, Mumun berharap para lelaki mengubah pikirannya. Oh.. stratregi Mumun tepat, dia memperbarui diagramnya sebagai berikut

Continue reading

Mencari FPB tanpa pemfaktoran

Ketika SD, kita diajarakan mencari FPB (Faktor Persekutuan terBesar) dengan cara pemfaktoran. Nah… kali ini saya kan tunjukan cara lain mencari FPB tanpa pemfaktoran yang dinamakan Algoritma Euclid. Algoritma ini sudah ada 300 sm diambil dari nama matematikawan Yunani kuno, Euclid yang membuat Algoritma tersebut. Mungkin Algoritma Euclid adalah algoritma yang pertama kali dibuat Manusia.

Algoritma

Kita akan mencari FPB dari A dan B dangan A > B. Pertama-tama kita bagi A dengan B. Bilangan yang lebih kecil membagi bilangan yang lebih besar

A ÷ B = C sisa D

Artinya A dibagi B hasilnya adalah C dengan sisa D, kemudian sisa D ini membagi B

B ÷ D = E sisa F

lalu F membagi D

D ÷ F = G sisa H

Begitu seterusnya sampai kita mendapatkan sisa nol. Nah.. pembagi terakhir merupakan FPB dari A dan B

Continue reading

Kursi di Pesawat

pesawatAda pesawat berkapasitas 100 kursi penumpang dan 100 penumpang yag mengantri naik ke pesawat tersebut. Buat yang pernah naik pesawat tentu saja tahu bahwa penumpang pesawat memegang boarding pass yang mencantumkan nomer kursi dimana dia duduk. Penumpang pertama adalah Jendral egois nan bengis, dia duduk sembarangan, tanpa mempedulikan nomer kursi di boarding passnya. Karena dia Jendral tidak ada satupun yang berani menegurnya. Penumpang-penumpang berikutnya mulai memasuki pesawat dan duduk di kursinya. Jika kursinya ternyata telah diduki sang Jendaral maka penumpang tersebut akan bersikap sama dengan sang Jendral, duduk di sembarang kursi. Begitu polanya, penumpang duduk di kursinya sendiri atau duduk di sembarang kursi jika kursinya sudah diduduki penumpang lain. Kemudian masuklah penumpang terakhir yaitu penumpang ke-100. Nah..menurutmu

Berapa kemungkinan pemumpang terakhir duduk dikursinya sendiri?

Continue reading

Deret Nol

S = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + …

Menurutmu berapa jumlah deret tak hingga yang semua sukunya nol? Jumlahnya nol juga, ya boleh tetapi akan saya tunjukkan bahwa jumlahnya bisa saja satu, lho kok bisa satu?

Kita tahu bahwa 1 – 1 = 0, sekarang perhatikan

S = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + …

S = (1- 1) + (1- 1)  + (1- 1) + (1- 1)  + (1- 1)  + (1- 1)  + …

Kemudian kita geser kurungnya, diperoleh

S = 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + …

S = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + ….

S = 1

Telah kita tunjukkan bahwa

1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + …

Continue reading

Katalog Gerhana 5.000 Tahun NASA dan Rukyat

Sumber: theskyscrapers.org

Sumber: theskyscrapers.org

Apa kalian tahu bahwa NASA memiliki katalog gerhana (Matahari dan Bulan) 5 millenium (5.000 tahun) dari tahun 2.000 SM sampai 3.000 M. Dengan katalog tersebut kita tahu bahwa pada tanggal 6 mei 2.999, pukul 23:23:57 akan terjadi gerhana matahari total di 71º LU, 177º BT dengan durasi 3 menit 25 detik. Wuiih… keren, kan? Astronomi mampu memperkirakan kemunculan gerhana, ribuan tahun yang akan datang dengan informasi mendetail.

Sebenarnya kalau mau umat muslim bisa meniru NASA membuat katalog serupa yaitu katalong hilal Ramadhan dalam jangka waktu tertentu. Bayangkan jika kita punya katalog tersebut, kita tidak perlu susah-susah melaksanakan sidang Istbat. Btw ada yang tahu berapa biaya sidang Istbat? Berapa yang harus dikeluarkan negara untuk melakukan pengamatan Hilal di semua provinsi di Indonesia? Sepertinya tidak sedikit. Nah… meskipun secara astronomi pembuatan Katalog Hilal Ramadhan bukanlah hal yang sulit dilakukan tetapi hal tersebut terhalang oleh hadist yang mengatakan Hilal harus dilihat dengan mata.

Continue reading

Pencarian jarak prima

Yitang Zhang,

Yitang Zhang,

Di Matematika ada banyak masalah yang belum terpecahkan (Unsolved problem) Mengapa belum terpecahkan? Karena metode-metode yang ada gagal memecahkannya. Dengan kata lain dibutuhkan metode baru atau bahkan konsep matematis baru untuk memecahkannya.

Beberapa masalah yang belum terpecahkan punya pernyataan yang sederhana. Artinya mudah dipahami oleh orang awam bahkan anak SD sekalipun. Salah satu contohnya adalah Dugaan Prima kembar (Twin Prime conjecture)

Prima kembar adalah pasangan prima berurutan yang jarakny adalah 2.

contoh: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31)

Semakin besar bilangan, prima kembar semakin sulit ditemukan Sampai saat ini prima kembar terbesar adalah

(65516468355 · 2333333 – 1, 65516468355 · 2333333 +1)

Yang ditemukan pada 25 desember 2011.

Dugaan Prima kembar mengatakan

Continue reading

Mengapa Indomaret dan Alfamart bersebelahan?

Di postingan sebelumnya saya membahas Kesetimbangan Nash. Saya mengatakan bahwa kesetimbangan Nas ada dimana-mana. Nah.. salah satu kesetimbangan Nash yang tanpa sadar sering kita temui adalah Indomaret dan Alfamart. Mereka selalu bersebelahan, kan? Jika ada Indomaret maka didekatnya ada alfamart bahkan sering ditemui mereka benar-benar bersebelahan, padahal keduanya saling bersaing. Mengapa demikian? Jawabnnya adalah kestimbangan Nash. Silahkan tonton video penjelasannya dibawah