63 Persen

Ada 1 fakta statistik yang menarik:

Jika suatu kejadian peluang terjadinya adalah 1 banding n maka setelah n percobaan peluang munculnya kejadian tersebut adalah sekitar 63%

Sebagai contoh

  • Jika peluang tertabrak meteor di luar rumaha adalah 1 banding 10.000 maka ketika kamu keluar rumah sebanyak 10.000 kali maka peluang kamu tertabrak meteor adalah 63%
  • Jika peluang menang lotre adalah 1 banding sejuta maka  jika kamu beli kupon lotre sebanyak sejuta lembar secara acak maka peluangg menangmu adalah 63%
  • Berdasarkan data di sini, peluang mengalami kecelakan mobil adalah 1 banding 77, itu artinya jika kamu telah nail mobil sebanyak 77 kali maka peluang kamu mengalami kecelakaan mobil adalah 63%

The Math

Okey sekarang penjelasan matematisnya. Misalkan peluang munculnya kejadian A adalah P\left(A\right)=\frac{1}{n}

Jika kamu mencoba n kali maka kemungkinan muculnya A paling tidak satu kali adalah

1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}

Andaikan n →∞ maka 

\lim_{n\rightarrow\infty}1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}=1-\frac{1}{e}\approx0.6321\approx63\%

Advertisements
Posted in probabilitas | Tagged , , , | Leave a comment

Kelipatan 4

Fantastic_Four_2015_poster

Sumber: Wikipedia

Pada postingan sebelumnya telah dibahas kelipatan 9, sekarang akan dibahas kelipatan 4. Ada dalil yang mengatakan

Suatu bilangan merupakan kelipatan 4 (dengan kata lain habis dibagi 4), jika 2 angka terakhirnya juga kelipatan 4.

Sebagai contoh, ambil bilangan 3.457.865.489.732. Haha… berapa tuch? Gede banget, saya cuman asal nulis aja, tapi coba lihat 2 angka terakhirnya: 32. Jelas 32 habis dibagi 4 maka bilangan tersebut juga habis dibagi 4. Gak percaya? silahkan cek dengan kalkulator 🙂

Na… selanjutnya, mari kita buktikan dalilnya

Bukti:

Kita tahu bahwa 100 itu kelipatan 4, itu berakibat semua bilangan yang kelipatan 100 juga kelipatan 4, itu berakibat 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000, … dst juga kelipatan 4. Dengan kata lain 10^k habis dibagi 4 dengan k\geq2 .

Pada postingan sebelumya telah dibahas bahwa untuk setiap bilangan asli N dengan k angka dapat ditulis

N=a_{k}10^{k-1}+a_{k-1}10^{k-2}+\ldots+a_{3}10^{2}+a_{2}10+a_{1}

Nah.. deret a_{k}10^{k-1}+a_{k-1}10^{k-2}+\ldots+a_{3}10^{2} sudah pasti habis dibagi 4 ( mengapa? ).  Itu berarti supaya bilangan N habis dibagi 4 maka syaratnya a_{2}10+a_{1} juga harus habis dibagi 4. Dengan kata lain 2 angka terakhirnya juga harus kelipatan 4.

Posted in Teori Bilangan | Tagged , | Leave a comment

Kelipatan 9

Coba kalian perhatikan

15503-illustration-of-a-nine-of-hearts-playing-card-pv

Sumber: freestockphotos.biz

9 × 2 = 18 = 1 + 8 = 9

9 × 3 = 27 = 2 + 7 = 9

:

9 × 784573 = 7061157 = 7 + 0 + 6 + 1 +1 +5 + 7 = 27

:

9 × 3125912 = 28133208 = 2 + 8 +1 + 3 +3 +2 + 0 + 8 = 27

Terlihatkan polanya.

Jumlah angka dari bilangan kelipatan 9 juga merupakan kelipatan 9

Bukti:

Continue reading

Posted in Teori Bilangan, Uncategorized | Tagged , | 1 Comment

Jika Andi Tampan

36733985_1766637263444541_8723499201503166464_n

Halo apa kabar? Pasti kalian sudah kangen ama tulisan matematika saya haha…

Setelah sekian lama vakum, saya sudah berniat untuk kembali rutin menulis di sini. Semoga niat saya benar-benar bisa dijalalankan tidak hanya slogan saja 🙂

Saya bahas yang ringan-ringan dulu sebagai pemanasan.  Mungkin kalian sudah pernah melihat soal di atas.  Nah.. sekarang mari kita bahas bersama.

Ada 2 premis

Premis A: Jika Andi tampan maka Ratna suka pada Andi

Premis B: Ratna suka kepada Edo.

Apa kesimpulannya? Kalau premis 2 berkata Ratna tidak suka kepada Andi maka berdasarkan Modus tollens, kita bisa menarik kesimpulan Andi tidak tampan alias jelek. Jadi jawabannya yang A dong. Eh… ntar dulu, saya mau bertanya:

Apakah Ratna suka kepada Eko itu artinya Ratna tidak suka pada Andi?

Err… belum tentukan. Jadi  jawabannya adalah E, tidak dapat disimpulkan

Penjelasan lainnya, premis A membahas tentang Andi sedangkan Premis B membahas Edo. Kalian lihat 2 premis itu tidak ada hubungannya, jadi kita tidak bisa menarik kesimpulan dari 2 premis tersebut.

Posted in Logika | Tagged , , | Leave a comment

Semua Segitiga Adalah Sama Kaki

Teorema: Semua segitiga adalah sama kaki

Bukti: Ambil sembarang segitiga ΔABC.  Kemudian tarik garis bisektor (biru) pada sudut A dan buat garis bisektor tegak lurus  (hijau) pada sisi BC yang memotong di titik tengah P. Kita mendapatkan Q titik perpotongan kedua bisektor tersebut. Tarik garis tegak lurus dari Q ke AB yang akan berpotongan di R dan juga ke AC yang akan berpotongan di S.

 

 

Karena P titik tengah BC dan PQ tegak tulus dengan BC, berdasarkan dalil pythagoras, disimpulkan BQ dan CQ sama panjang, dengan kata lain |BQ| = |CQ|.

Continue reading

Posted in geometri, Uncategorized | Tagged , , | 2 Comments

Triple Pythagoras

Tentunya kalian sudah tahu tentang triple Pythagoras, yaitu 3 bilangan asli a, b & c yang memenuhi dalil Pythagoras, dengan kata lain memenuhi a2 + b2 = c2 . Triple Pythagoras yang umumnya sering muncul adalah (3, 4, 5). Jika (a, b, c) adalah triple Pythagoras, maka begitu juga dengan (ka, kb, kc) untuk suatu bilangan positif k. Dengan kata lain kelipatan dari triple Pythagoras juga merupakan triple Pythagoras,

  • (6, 8, 10), (9, 12, 15), (12, 16, 20) semuanya merupakan triple Pythagoras karena kelipatan dari  (3, 4, 5).

Membangun Triple Pythagoras

Euclid, sekitar 300 SM telah memberikan rumusan bagaiman amembetuk triple pythagoras dari sembarang 2 bilangan asli, rumus tersebut mengatakan

Untuk sembarang 2 bilangan asli m dan n dengan m > n > 0 maka

a=m^{2}-n^{2},\quad b=2mn,\quad c=m^{2}+n^{2}

merupakan Triple Pythagoras

Contoh:

Misalkan saya ambil m = 22, n =20 maka berdasarkan rumus diatas kita mendapatkan

a = 222 – 202 =84

b= 2×22×20 =880

c = 222 + 2002 = 884

Silahkan kalian cek dengan menggunakan kalkulator bahwa ( 84, 880, 884) merupakan Triple Pythagoras.

Bukti

Untuk membuktikan rumus di atas, tentu saja kita harus menggunakan dalil Pythagoras. jika a = m2 – n, b= 2mn maka

a^{2}+b^{2}=(m^{2}-n^{2})^{2}+(2mn)^{2}=m^{4}+2m^{2}n^{2}+n^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}=c^{2}

 

Posted in aljabar | Tagged , | Leave a comment

Logaritma itu keliru

log

Yang sudah atau sedang belajar logaritma, tentunya familiar dengan notasi alog b dengan a disebut bilangan pokok dan b disebut numerus. Nah.. apakah kalian tahu penulisan notasi seperti itu keliru. Di dunia internasional, logaritma dinotasikan loga b.

Jika anak SMA di Indonesia menuliskan 3log 9 = 2 maka anak SMA di Jepang, di USA, di Eropa akan menuliskan log3 9 = 2. Ya memang sich cuman masalah penulisan saja bukan sesuatu yang prinsip secara matematis tetapi kan pertanyaan yang muncul mengapa Indonesia menjadi  anti-mainstream dalam penulisan logaritma? Dari jaman saya SMA sampai saya jadi guru SMA, kekeliruan kecil ini tetap diajarkan, entah sampai kapan.

Posted in dll, Uncategorized | Tagged | Leave a comment

Berat Gajah sama dengan berat Semut

2272276_stock-photo-ant-and-elephantMisalkan

a = Berat Gajah dalam kg

x = Berat semut dalam kg

y = Berat gabungan keduanya dalam kg

diperoleh

a + x = y

a = y - x

a - y = - x

Kalikan dua sisi persamaan terakhir dengan a

a^2 - ay = -ax

karena a = y - x maka sisi kanan menjadi

a^2 - ay = -(y-x)x

a^2 - ay = x^2 -yx

Tambahkan kedua sisi dengan \left(\frac{y}{2}\right)^{2}

a^2 - ay + \left(\frac{y}{2}\right)^{2}  = x^2 -yx +-\left(\frac{y}{2}\right)^{2}

dapat ditulis

\left(a-\frac{y}{2}\right)^{2}=\left(x-\frac{y}{2}\right)^{2}

diperoleh

a-\frac{y}{2}=x-\frac{y}{2}

disimpulkan

a = x

Berat gajah sama dengan berat semut

Hayooo… dimana letak kesalahannya? 🙂

 

 

 

 

 

Posted in dll | Tagged , , , | 5 Comments

Digit Terakhir

Tentukan digit terakhir dari \sum_{n=1}^{100}n!

Tentu akan menghabiskan banyak waktu jika kita menghitunggnya secara manual. Nah…yang perlu diperhatikan bahwa untuk 5 maka n! memiliki faktor 2 dan 5 dengan kata lain kelipatan dari 10, itu artinya digit terakhirnya nol. Jadi untuk menjawab soal diatas kita cukup menghitung 1! + 2! + 3! + 4! = 33. Jawabannya adalah 3.

Posted in kalkulus | Tagged , , | 2 Comments

Menuggu Bus atau Jalan

 

Jadi suatu hari Justin Gejune Chen, matematikawan dari California Institute of Technology harus berjalan ke rumah koleganya Scott Duke Kominers, matematikawan dari Harvard University. Sebenarnya ada rute bus yang melalui rumah Scott tetapi jadwal kedatangan bus tidak menentu. Terkadang kalo om Justine lagi males jalan dia memilih menunggu bus di halte meskipun datangnya bus tidak menentu.

Kejadian ini membuat om Justine bertanya-tanya solusi mana yang terbaik, jalan kaki ke rumah om Scott atau naik bus meskipun datangnya bus hanya Tuhan dan sopir bus yang tahu. Kita mungkin pernah mengalami situasi yang dialami om Justine. Kita lelah menunggu bus yang tak kunjung datang kemudian memutuskan untuk berjalan kaki ke tempat tujuan. Tentu saja dengan asumsi tempat tujuan kita masih masuk akal dijangkau dengan berjalalan kaki. Tentu saja hal yang konyol saya capek menunggu bus ke bandung di terminal Barangsiang, Bogor kemudian memutuskan jalan kaki Bogor – Bandung.

Continue reading

Posted in dll | Tagged , , , | 4 Comments