Liburan Ke Jogja

JogjaTiga orang sahabat yaitu Bombom, Caca dan Dodo liburan ke Jogja. Ketika meraka kembali pulang’ mereka menceritakan pengalaman jalan-jalan di Jogja kepada temen-temannya.

Bombom: Kami jalan-jalan di Malioboro tetapi tidak ke benteng Vredeburg. Kami juga melihat Kraton.

Caca: Kami ke Malioboro dan juga ke Benteng Vredeburg tetapi kami tidak ke Kraton dan tidak juga ke Taman sari.

Dodo: Kami tidak ke Malioboro tetapi ke Kraton.

Asumsi setiap anak hanya berbohong sekaili. Apa sebenarnya yang mereka kunjungi di Jogja?

Continue reading

Semua Sama Jenis

Bayangkan kamu, kakakmu, adikmu dan sepupu bermain kartu. Sepupumu mengocok sepak kartu remi dan membagikan habis kartu sehingga masing-masing mendapatkan 13 kartu. Kamu membuka kartu-kartumu dan kamu tercengang kaget. 13 kartumu adalah sekop, komplit plit plit! Semua kartu sekop.

Sumber: australiancardgames.com.au

Sumber: australiancardgames.com.au

Kamu terlalu terpesona untuk meneruskan permainan lalu kamu memamerkan kartu-kartumu kepada 3 pemain lain. Karena kamu tahu meraka akan terpesona sama seperti kamu. Namun kemudian masing-masing dari ketiga pemain lain meletakkan kartu-kartunya diatas meja. Setiap kali ada menunjukkan kartu-kartunya, semua tercengang kaget. Ternyata setiap pemain memegang seperangkat lengkap jenis kartu yang berbeda. Kakakmu memegang 13 kartu hati, Adikmu memegang kartu 13 wajik, sedangkan sepupumu memegang kartu 13 kartu kriting.

Nah.. sekarang pertanyaannya

Berapa kemungkinan tersebut terjadi? Berapa kemungkian 4 pemain kartu, masing-masing medapatkan 13 kartu yang merupakan seperangkat lengkap jenis kartu yang berbeda dari pengocokan acak?

Continue reading

Perbedaan Matematika dengan Berhitung

Gauss

Gauss

Tadi siang adalah pertemuan pertama saya dengan siswa-siswa baru kelas X. Di depan mereka, saya mengatakan bahwa Matematika berbeda dengan berhitung. Ya.. memang berhitung merupakan bagian (kecil) dari Matematika tetapi Matematika BUKAN berhitung.

Apa perbedaan Matematika dengan berhitung ?

Saya menjelaskannya melalui cerita tentang Carl Friedrich Gauss (1777–1855).

Di Jerman sekitar tahun 1700-an, ada seorang bocah SD berumur 7 tahun, bernama Carl Friedrich Gauss dihukum oleh gurunya karena bandel. Bocah tersebut disuruh menjumlahkan semua bilangan dari 1 sampai 100. Dengan kata lain ia disuruh menghitung

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100.

Gurunya berpikir dia akan butuh waktu lama untuk menghitung, namun tanpa disangka-sangka bocah tersebut mampu menjawab dengan cepat dan juga tepat. Hal tersebut membuat gurunya tercengang. Bagaimana caranya ia menghitung?

Continue reading

Perbedaan angka, bilangan dengan nomer

BilanganSebenarnya sudah cukup banyak yang ngebahas ini di Internet tetapi gak papa dech saya akan tetap membahasnya karena lagi gak ada ide tulisan lain :)

Dalam kehidupan sehari-hari mungkin kita menganggap bilangan dengan angka adalah 2 hal yang sama  tetapi menurut matematika, itu adalah 2 hal yang berbeda. JIka kita alihbahasakan ke inggris, bilangan = number dan angka = digit baru terlihat perbedaannya.

Angka adalah elemen-elemen penyusun dari bilangan, dengan kata lain bilangan tersusun dari angka-angka. Sehari-hari kita menggunakan bilangan yang berbasis 10 angka. Hanya ada 10 angka yang kita gunakan, yaitu :

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9

Contoh:

  • 245 adalah bilangan yang tersusun dari 3 angka yaitu 2, 4 dan 5
  • 1.045 adalah bilangan yang tersusun dari 4 angka yaitu 1, 0, 4 dan 5

Jadi angka itu bagaikan huruf sedangkan bilangan bagaikan kata.

Sudah pahamkan bedanya bilangan dengan angka? Selanjutnya nomer, misalkan temanmu berkata.

Rumah saya nomer 3 di Jalan Angsa.

Itu artinya rumah temanmu berada di posisi ke-2 dari urutan rumah-rumah di jalan Angsa. Jadi nomer adalah cara kita melabelkan posisi-posisi pada suatu urutan dengan bilangan.

Review The God Delusion

The God DelusionDi awal bulan puasa kemarin, seorang sahabat Willy  memposting sebuah foto di Facebook. Foto buku The God Delusion, edisi terjemahan. Saya kaget ternyata buku kontroversial tersebut ada edisi bahasa Indonesianya. Saya bertanya kepadanya darimana dia membelinya. Willy membeli dari seseorang bernama Janno Pieter, kemudian saya juga membeli ke Janno.

Sekarang saya mau mereview buku tersebut. The God Delusion adalah karya Profesor Biologi Evolusi sekaligus tokoh Atheisme dunia, Richard Dawkins untuk selanjutnya saya singkat RD. Dari judulnya sudah bisa terlihat bahwa buku tersebut hendak mengatakan bahwa Tuhan hanyalah delusi, hanyalah khayalan semata. Sejak pertama kali buku tersebut terbit pada tahun 2006. Buku tersebut membuat kehebohan dimana-mana. Di Turki, penerjemah buku tersebut hampir saja dituntut masuk penjara karena dianggap telah melecehkan Agama. Di Indonesia, The God Delusion diterjemahkan oleh Zaim Rofiqi (saya tidak tahu, siapa dia) dan diterbitkan oleh penerbit Banana asal Depok

Pada Bab Pendahuluan. RD jelas-jelas mengatakan bahwa buku yang dia tulis mengajak pembacanya untuk menjadi Atheis.

Buku ini dimaksudkan untuk memunculkan kesadaran terhadap kenyataan bahwa menjadi seorang athies merupakan keinginan realistis, suatu keinginan yang berani dan mengesankan. Anda bisa menjadi seorang Atheis yang bahagia, waras, bermoral dan puas secara intelektual

Bab I: Orang Tak beriman yang sangat Religius. Di Bab ini RD mengatakan kita bisa saja merasa takjub, terpesona, “WOW” terhadap fenomena-fenomena alam tanpa perlu menyangkut-pautkan kepada Tuhan. Di bab ini, RD memperkenalkan istilah Agama Einsteinian. Seperti yang dikatakan Albert Einstein.

Continue reading

Paradoks Diagonal

Ketika saya menjadi Maba (Mahasiswa Baru), saya membaca artikel kalau tidak salah judulnya ” Rumus Phytagoras keliru” di buletin Himatika (Himpunan Mahasiswa Matematika UGM). Artikel tersebut membahas Paradoks Diagonal

Apa itu?

Persegi satuanMisalkan kita mempunyai persegi dengan panjang sisi 1 satuan. Nah saya akan menunjukkan bahwa panjang diagonalnya sama dengan panjang 2 sisinya atau dengan kata lain 2 satuan. Caranya dengan mengubah 2 sisi oranye menjadi diagonal dengan cara penekukkan tak hingga banyaknya seperti gambar dibawah. Perlu diingat penekukkan tidak mempengaruhi panjang. Tali yang ditekuk, panjangnya tetap, iya kan?

Penekukkan Sisi

Dari gambar di atas terlihat semakin sering 2 sisi oranye ditekuk maka semakin meyerupai diagonal. Jika dilakukan tak hingga banyakknya penekukkan maka disimpulkan

panjang diagonal = panjang 2 sisi oranye = 2 satuan.

Padahal menurut rumus Phytagoras, panjang diagonal adalah √2 ≈ 1,41 satuan.

Apa yang salah?

Continue reading

Jembatan Keledai

Pons Asinorum dalam bahasa latin artinya Jembatan Keledai adalah istilah yang merujuk suatu persoalan yang bertujuan menguji kecerdasan siswa. Persoalan yang akan membedakan siswa yang cerdas dengan “keledai”. Pada abad pertengahan di Eropa yang dianggap Pons Asinorum adalah pernyataan 5 di buku Element jilid 1 karya Euclid

Pada Segitiga sama kaki, sudut-sudut di alas mempunyai besar yang sama dan jika sisi-sisi kaki diperpanjang maka sudut-sudut dibawah alas juga mempunyai besar yang sama

Saya akan mengunakan bukti yang dipakai Euclid

Bukti:

Sumber: Wikipedia

Sumber: Wikipedia

Diberikan segitiga sama kaki ABC dengan sisi kaki adalah AB dan BC serta diberikan garis BD dan CE yang memperpanjang sisi AB dan BC.

Akan dibuktikan

  1. ∠ABC = ∠ACB
  2. ∠FBC = ∠GCB

Ambil sembarang titik F pada BD kemudian ambil titik G pada CE sedemikian hingga AF = AG. Sekarang perharikan △AFC dan  △AGB Karena AF = AG dan AB = BC serta keduanya berbagi sudut yang sama di A maka berdasarkan sisi-sudut-sisi disimpulkan △AFC dan  △AGB kongkruen. Itu berarti diketahui

  • ∠ABG = ∠ACF
  • ∠AFC = ∠AGF

Karena AB = AC dan AF = AG maka BF = CG. Hal tersebut menyebabkan CF = BG. Berdasakan Sisi – sisi – sisi maka diketahui △BGC dan △BFC kongkruen. Hal tersebut menyebabkan ∠FBC = ∠GCB.

Karena ∠FBC = ∠GCB dan ∠ABG = ∠ACF maka haruslah  ∠ABC = ∠ACB

Bagaimana apa kalian berhasil melewati jembatan keledai?

Kurva Setan

Kurva Setan untuk a=0.8 dan b=1. Sumber: Wikipedia

Kurva Setan untuk a=0.8 dan b=1. Sumber: Wikipedia

Pada tahun 1750, Matematikawan Swiss Gabriel Cramer menerbitkan sebuah buku tentang kurva bidang judulnya l’Analyse des lignes courbes alg´ebriques. Dibuku tersebut, ada suatu kurva yang diberi nama kurva Setan yang diperoleh dari persamaan

y^{2}\left(y^{2}-a^{2}\right)=x^{2}\left(x^{2}-b^{2}\right)

Kurva tersebut dinamakan Setan karena merepresentasikan permaianan tradisonal eropa Diabolo. Dalam bahasa itali, Diabolo artinya setan. Permainan Diabolo menyerupai permainan yoyo terdiri dari balok kayu berbentuk jam pasir dan 2 tongkat yang terhubung dengan tali. Untuk lebih jelasnya tentang permainan Diabolo, silahkan saksikan video berikut:

Referensi: H.S.Nieman, The Devil’s Curve, Agustus 2009 http://wwwmath.uni-muenster.de/u/simeon.nieman/Folder/DevilsCurve.pdf