Semua Segitiga Adalah Sama Kaki

Teorema: Semua segitiga adalah sama kaki

Bukti: Ambil sembarang segitiga ΔABC.  Kemudian tarik garis bisektor (biru) pada sudut A dan buat garis bisektor tegak lurus  (hijau) pada sisi BC yang memotong di titik tengah P. Kita mendapatkan Q titik perpotongan kedua bisektor tersebut. Tarik garis tegak lurus dari Q ke AB yang akan berpotongan di R dan juga ke AC yang akan berpotongan di S.

 

 

Karena P titik tengah BC dan PQ tegak tulus dengan BC, berdasarkan dalil pythagoras, disimpulkan BQ dan CQ sama panjang, dengan kata lain |BQ| = |CQ|.

Continue reading

Advertisements
Posted in geometri, Uncategorized | Tagged , , | 2 Comments

Triple Pythagoras

Tentunya kalian sudah tahu tentang triple Pythagoras, yaitu 3 bilangan asli a, b & c yang memenuhi dalil Pythagoras, dengan kata lain memenuhi a2 + b2 = c2 . Triple Pythagoras yang umumnya sering muncul adalah (3, 4, 5). Jika (a, b, c) adalah triple Pythagoras, maka begitu juga dengan (ka, kb, kc) untuk suatu bilangan positif k. Dengan kata lain kelipatan dari triple Pythagoras juga merupakan triple Pythagoras,

  • (6, 8, 10), (9, 12, 15), (12, 16, 20) semuanya merupakan triple Pythagoras karena kelipatan dari  (3, 4, 5).

Membangun Triple Pythagoras

Euclid, sekitar 300 SM telah memberikan rumusan bagaiman amembetuk triple pythagoras dari sembarang 2 bilangan asli, rumus tersebut mengatakan

Untuk sembarang 2 bilangan asli m dan n dengan m > n > 0 maka

a=m^{2}-n^{2},\quad b=2mn,\quad c=m^{2}+n^{2}

merupakan Triple Pythagoras

Contoh:

Misalkan saya ambil m = 22, n =20 maka berdasarkan rumus diatas kita mendapatkan

a = 222 – 202 =84

b= 2×22×20 =880

c = 222 + 2002 = 884

Silahkan kalian cek dengan menggunakan kalkulator bahwa ( 84, 880, 884) merupakan Triple Pythagoras.

Bukti

Untuk membuktikan rumus di atas, tentu saja kita harus menggunakan dalil Pythagoras. jika a = m2 – n, b= 2mn maka

a^{2}+b^{2}=(m^{2}-n^{2})^{2}+(2mn)^{2}=m^{4}+2m^{2}n^{2}+n^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}=c^{2}

 

Posted in aljabar | Tagged , | Leave a comment

Logaritma itu keliru

log

Yang sudah atau sedang belajar logaritma, tentunya familiar dengan notasi alog b dengan a disebut bilangan pokok dan b disebut numerus. Nah.. apakah kalian tahu penulisan notasi seperti itu keliru. Di dunia internasional, logaritma dinotasikan loga b.

Jika anak SMA di Indonesia menuliskan 3log 9 = 2 maka anak SMA di Jepang, di USA, di Eropa akan menuliskan log3 9 = 2. Ya memang sich cuman masalah penulisan saja bukan sesuatu yang prinsip secara matematis tetapi kan pertanyaan yang muncul mengapa Indonesia menjadi  anti-mainstream dalam penulisan logaritma? Dari jaman saya SMA sampai saya jadi guru SMA, kekeliruan kecil ini tetap diajarkan, entah sampai kapan.

Posted in dll, Uncategorized | Tagged | Leave a comment

Berat Gajah sama dengan berat Semut

2272276_stock-photo-ant-and-elephantMisalkan

a = Berat Gajah dalam kg

x = Berat semut dalam kg

y = Berat gabungan keduanya dalam kg

diperoleh

a + x = y

a = y - x

a - y = - x

Kalikan dua sisi persamaan terakhir dengan a

a^2 - ay = -ax

karena a = y - x maka sisi kanan menjadi

a^2 - ay = -(y-x)x

a^2 - ay = x^2 -yx

Tambahkan kedua sisi dengan \left(\frac{y}{2}\right)^{2}

a^2 - ay + \left(\frac{y}{2}\right)^{2}  = x^2 -yx +-\left(\frac{y}{2}\right)^{2}

dapat ditulis

\left(a-\frac{y}{2}\right)^{2}=\left(x-\frac{y}{2}\right)^{2}

diperoleh

a-\frac{y}{2}=x-\frac{y}{2}

disimpulkan

a = x

Berat gajah sama dengan berat semut

Hayooo… dimana letak kesalahannya? 🙂

 

 

 

 

 

Posted in dll | Tagged , , , | 5 Comments

Digit Terakhir

Tentukan digit terakhir dari \sum_{n=1}^{100}n!

Tentu akan menghabiskan banyak waktu jika kita menghitunggnya secara manual. Nah…yang perlu diperhatikan bahwa untuk 5 maka n! memiliki faktor 2 dan 5 dengan kata lain kelipatan dari 10, itu artinya digit terakhirnya nol. Jadi untuk menjawab soal diatas kita cukup menghitung 1! + 2! + 3! + 4! = 33. Jawabannya adalah 3.

Posted in kalkulus | Tagged , , | 2 Comments

Menuggu Bus atau Jalan

 

Jadi suatu hari Justin Gejune Chen, matematikawan dari California Institute of Technology harus berjalan ke rumah koleganya Scott Duke Kominers, matematikawan dari Harvard University. Sebenarnya ada rute bus yang melalui rumah Scott tetapi jadwal kedatangan bus tidak menentu. Terkadang kalo om Justine lagi males jalan dia memilih menunggu bus di halte meskipun datangnya bus tidak menentu.

Kejadian ini membuat om Justine bertanya-tanya solusi mana yang terbaik, jalan kaki ke rumah om Scott atau naik bus meskipun datangnya bus hanya Tuhan dan sopir bus yang tahu. Kita mungkin pernah mengalami situasi yang dialami om Justine. Kita lelah menunggu bus yang tak kunjung datang kemudian memutuskan untuk berjalan kaki ke tempat tujuan. Tentu saja dengan asumsi tempat tujuan kita masih masuk akal dijangkau dengan berjalalan kaki. Tentu saja hal yang konyol saya capek menunggu bus ke bandung di terminal Barangsiang, Bogor kemudian memutuskan jalan kaki Bogor – Bandung.

Continue reading

Posted in dll | Tagged , , , | 4 Comments

Bintang Trigonometri

2014-04-20-alisons-triangle

Gak sengaja nemu diagram yang menarik di sini. Diagram trigonometri yang berbentuk bintang ini mencerminkan semua persamaan trigonometri dalam bentuk x ÷ y = z  atau x × y = z, dengan x, y dan z adalah fungsi trigonometri dasar dengan besar sudut t.

Untuk sembarang 3 sudut bertetangga pada bintang, hasil kali sudut kanan dan kiri adalah sudut yang di tengah, Jika sudut yang yang ditengah dibagi sudut yang dikanan atau dikiri maka maka hasilnya sudut tetangga yang lain

Contoh kita ambil 3 sudut bertetangga

tan t, sin t , cos t

maka diperoleh

tan t × cos t = sin t

sin t ÷  tan t = cos t

sin t ÷ cos t = tan t

Ada 18 persamaan trigonometri yang bisa kamu dapatkan. Mmm… menarik bukan?!

 

Posted in kalkulus | Tagged , , , | Leave a comment

Selamat Idul Fitri 1438 H

Selamat Idul Fitri

Boleh dikatakan kesalahan terbesar saya di blog ini adalah jarang posting. Tahun 2017 sudah di pertengahan jalan tetapi saya hanya menghasilkan kurang dari 10 postingan, padahal dulu dalam sebulan bisa lebih dari 10 poltingan. Oleh karena itu saya memohon maaf atas rendahnya produktivitas saya dan kesalahan-kesalahan saya lainnya.

Mohon maaf lahir batin

Semoga saya bisa produktif lagi seperti dahulu kala

Posted in Non Math | Tagged | 1 Comment

Menggugat Doa

doa

Sumber: Dream.co.id

Tulisan ini judulnya bombastis yach? “Menggugat Doa”. Bukan, bukan saya yang menggugat doa melainkan Francis Galton. Pada tahun 1872, Om Galton mengamati jemaat Gereja di Inggris yang berdoa setiap hari minggu untuk kesehatan keluarga kerajaan. Om Galton bertanya-tanya apakah doa tersebut manjur? Jika manjur, seharusnya usia anggota keluarga kerajaan lebih panjang dari kelompok masyarakat lainnya.  Kemudian dia melakukan penelitian, diperoleh data sebagai berikut.

data doa

Data yang dikumpulkan om Galton justru berkata sebaliknya. Para keluarga kerajaan memiliki usia yang paling pendek dibandingkan kelompok masyarakat lainnya. Yang usiannya paling panjang adalah para gentry, kelompok elite, kelas atas. Btw bukankah seharusnya keluarga kerajaan dengan sendirinya masuk ke kelas gentry ? Yang ngerti budaya atau sejarah Inggris mungkin bisa memberikan penjelasan.

Continue reading

Posted in dll | Tagged , , | 2 Comments

Argument Ketidaktahuan

Jadi ceritanya hari rabu kemarin ( 26/04/17) saya beserta guru matematika sma se-bogor melakukan kunjungan ke UPI Bandung dengan menggunakan 1 bus besar. Kami ada kuliah singkat dengan Prof Tatang. Topik yang beliau sampaikan tentang Pembelajaran Matematika yang efektif ( Bukan, bukan ini yang mau saya ceritakan). Kuliah selesai jam 13:00, kami lalu melanjutkan perjalan ke cihampelas. Gak usah ditanya ngapain ke cihampelas yach 🙂 . Pukul 17:30, barulah kami melanjutkan perjalan pulang ke Bogor. Di tengah perjalan pulang terjadi kehebohan kecil, heboh dengan foto berikut

ciwalk

Klik Gambar untuk memperjelas

Foto di atas diambil di Ciwalk, 2 ibu yang ada di foto adalah peserta rombongan dengan kata lain guru matematika. Nah.. yang bikin heboh adalah sosok hitam tidak jelas di kanan foto.

Menurutmu siapa / apa sosok hitam tidak jelas tersebut?

Continue reading

Posted in Logika | Tagged , , , | 2 Comments