Membalikkan Permukaan Bola

Bayangkan, ada bola yang terbuat dari materi ajaib, yang permukan bolanya dapat menembus dirinya sendiri. Nah pertanyaannya adalah:

Dapatkah kalian membalikkan permukaan bola tersebut, permukaan luar menjadi dalam, yang dalam jadi luar dengan syarat: tanpa merobek dan tanpa menimbulkan sudut tajam selama proses berlangsung?

Mungkin kalian akan berpikir hal tersebut mudah saja, tinggal dorong bagain atas bola ke bawah dan dorong bagian bawah ke atas. Okey, permukaan bola akan membalik tetapi menimbulkan sudut tajam selama proses berlangsung. Jadi melanggar sayarat.

Jadi gimana dong, bisa atau enggak kita melakukan hal tersebut?

Tenang saja teorema Smale menjamin kita bisa melakukannya. Secara Informal, Teorema Smale menyatakan:

Di Dunia matematatis, kita bisa membalikkan permukaan bola dengan ketentuan-ketentuan berikut: permukaan bolah boleh menembus dirinya sendiri, tidak boleh dirobek, tidak boleh terjadi sudut / lipatan tajam selama proeses berlangsung. (prosesnya dinamakan Eversion)

Meskipun ada teorema yang menjamin tetapi ternyata memvisualisasikan eversion bukanlah hal yang mudah. Silahkan lihat video diatas bagaimana hal tersebut divisualisasikan.

Secara formal teorema Smale mengatakan:

Teorema Smale: Terdapat korespondensi 1-1 dari kelas-kelas homotopy regular dari Imersi (immersions) $S^{2}\rightarrow\mathbb{R}^{3}$

Akibat: Sebarang dua Imersi dari $S^{2}$ pada $\mathbb{R}^{3}$ merupakan homotopic regular.

Permukaan bola adalah ….

Istilah matematikanya adalah sphere yaitu himpunan semua titik-titikyang berjarak $r$ dari titik pusat pada suatu ruang Euclidean.

$S^{n-1}=\left\{ \left(x_{1},x_{2},\ldots x_{n}\right)\in\mathbb{R}^{n}|x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}=r\right\} \subseteq\mathbb{R}^{n}$

Untuk selanjutnya saya akan menuliskan (n-1)-sphere sebagai permukaan bola di dimensi n.

permukaan bola

Imersi Lingkaran

Suatu Imersi (immersions) $f:\, S^{1}\rightarrow\mathbb{R}^{2}$ adalah fungsi dari lingkaran ke bidang yang daerah hasilnya (image) tidak terdapat sobekan atau sudut tajam tetapi boleh berpotongan dengan dirinya sendiri.

Secara matematis: $f$ adalah fungsi $C^2$ (Fungsi halus orde ke-2) tanpa menghilangkan turunan pertama.

Imersi lingkaran

Bukan Imersi Lingkaran

Imersi 2-sphere

Suatu Imersi $f:\, S^{2}\rightarrow\mathbb{R}^{3}$ adalah fungsi dari 2-sphere ke ruang yang daerah hasilnya selalu berdimensi 2, dan tidak terdapat sobekan maupun lipatan tajam tetapi boleh berpotongan dengan dirinya sendiri. Secara matematis $f$ adalah fungsi $C^2$ , sedemikian hingga daerah hasil dari

$df_{x}:\, TS_{x}^{2}\rightarrow T\mathbb{R}_{f\left(x\right)}^{3}\approx\mathbb{R}^{3}$

selalu berdimensi 2, untuk semua $x\in S^{2}$ .

Imersi 2-sphere

bukan Imersi 2-Sphare

Homotopy Regular

Adalah cara untuk mengkelompokkan Imersi. Homotopy regular adalah keluarga kontinyu dari Imersi $h_{t}:\, S^{2}\rightarrow\mathbb{R}^{3}$ yang diparameterkan oleh bilangan real $t\in\left[0,1\right]$ . Dua Imersi $f,g:\, S^{2}\rightarrow\mathbb{R}^{3}$ dikatakan Homotopic Regular, jika terdapat Homotopy Regular $h_t$ dengan $h_0=f$ dan $h_1=g$

Yang menarik, Teorema Smale ternyata tidak berlaku di lingkaran, tidak berlaku pada imersi $f:\, S^{1}\rightarrow\mathbb{R}^{2}$

Referensi: Turning spheresinside-out, Mark Grant, Durham University

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika

View all posts by Nursatria →

	R.E.M on HOAKS tentang Ka’Bah
	Trias on Berat Gajah sama dengan berat…
	Trias on Triple Pythagoras
	Trias on Triple Pythagoras
	danioyo on Penjumlahan seluruh bilangan…