Teorema Marden

The Most Marvelous Theorem in Mathematics

Itulah pendapat Dan Kalman terhadap Teorema Marden. Ya… saya sependanpat dengannya, Teorema Marden amatlah Cantik memberikan hubungan geometris sederhana antara akar-akar suku banyak derajat tiga di bilangan kompleks dengan akar-akat turunannya. Sebelum membahas Teorema Marden, saya mau membahas mengenai

Ellips Steiner

Dalam Geometri, Ellips Steiner adalah ellips yang termuat didalam segitiga dan menyinggung ketiga sisi segitiga di titik tengah.

Ellips Steiner ini tunggal, dalam artian mustahil suatu segitiga mempunyai 2 ellips Steiner yang berbeda posisi

Teorema Marden

Teorema Marden: Diberikan segitiga di bidang komples dengan ketiga titik sudutnnya merupakan akar-akar dari suku banyak derajat tiga berkoefisien kompleks maka terdapat  Ellips Steiner pada dengan kedua titik fokusnya merupakan akar-akar dari (turunan pertama dari  ).

Andaikan kita punya segitiga yang dibentuk dari akar-akar  suku banyak derajat tiga berkoefisien kompleks. Dengan mudah kita ketahui bahwa adalah suku banyak berderajat 2. Menurut teorema fundamental aljabar,   mempunyai 2 akar. Berdasarkan Teorema Gauss- Lucas, kedua akar   berada didalam . Nah.. Teorema Marden berbicara tentang posisi akat-akar  .  Teorema Marden mengatakan akar-akar akan menjadi 2 titik fokus bagi Ellips Steiner pada .

Contoh: Diberikan segitiga pada bidang kompleks dengan kordinat titik-titik sudutnyasebgai berikut: dan  ). Selanjutnya kita cari

Diperoleh  yang mempunyai akar .

Jadi 2 titik fokus ellips Steiner pada adalah  dan .

Sebagai Ilustrasinya lihat gambar berikut:

Garis hitam adalah segitiga dan 2 titik biru adalah akar-akar dari

Sumber gambar: Wikipedia.org dan MAA.org