Basis Topologi

Posted on November 14, 2010 by Nursatria

Kali ini saya mau kembali membahas Topologi.  Didalam aljabar Linier, kita tahu setiap ruang vektor mempunyai basis dan setiap vektor merupakan kombinasi linier dari anggota-anggota basis (Inget basis itu himpunan). Hal yang serupa, dalam ruang topologi, setiap himpuan terbuka merupakan gabungan dari anggota-anggota basis topologi

Definsi: Diberikan ruang topologi  \left(X,\tau\right), suatu koleksi  \beta dari himpunan-himpunan terbuka pada X dikatakan basis pada topologi \tau  jika setiap himpunan terbuka adalah gabungan dari elemen-elemen pada \beta.

Sedikit mengingatkan bahwa dalam teori Topologi yang dimaksud himpunan terbuka adalah elemen-elemen dari topologi \tau. Dengan kata lain \beta “membangun” \tau. Dari mana elemen-elemen \beta berasal? tentu saja dari \tau itu sendiri

Contoh: diberikan  X=\left\{ a,b,c,d,e,f\right\} dan

\tau_{1}=\left\{ X,\emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ c,d\right\} ,\left\{ a,c,d\right\} ,\left\{ b,c,d,e,f\right\} \right\}

maka \beta=\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ c,d\right\} ,\left\{ b,c,d,e,f\right\} \right\} adalah basis dari \tau_{1}, mengapa? karena setiap elemen di \tau_{1} merupakan gabungan elemen-elemen dari \beta . Apakah basisnya hanya \beta? Tidak, \tau_{1} juga merupakan basis dari dirinya sendiri.

Dari contoh diatas kita bisa simpulkan 2 hal:

  1. Setiap ruang topologi \left(X,\tau\right) maka topologi \taumenjadi basis bagi dirinya sendiri
  2. Basis dari suatu ruang topologi tidak harus tunggal dan tidak harus mempunyai kardinalitas yang sama. Nah ini berbeda dengan basis vektor, kita tahu bahwa basis-basis dari suatu ruang vektor selalu mempunyai kardinalitas yang sama, inilah yang disebut dengan dimensi pada ruang vektor. Pada teori Topologi ada istilah weight yaitu basis terkecil dari suatu ruang topologi dan tentu saja basis terbesar adalah topologi itu sendiri

Jika kita mempunyai \beta suatu koleksi dari himpunan-himpunan bagian pada X, Pertanyaannya, syarat-syarat apa saja yang harus dipenuhi \beta sehingga menjadi basis topologi? Jawabannya ada pada teorema berikut:

Teorema: Diberikan himpunan tak kosong X dan \beta suatu koleksi dari himpunan-himpunan bagian pada X, Koleksi \beta adalah basis topologi jika hanya jika memenuhi 2 hal berikut

  1. X=\cup_{B\in\beta}B
  2. Untuk sebarang  x\in X maka terdapat  B_{1},B_{2},B_{3}\in\beta dengan x\in B_{3} dan B_{3}\subseteq B_{1}\cap B_{2}

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

 

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Topologi and tagged , , , . Bookmark the permalink.

7 Responses to Basis Topologi

  1. bambang says:
    October 26, 2022 at 10:12

    Apakah setiap basis merupakan subbasis? Jelaskan!
    Apakah basis dari suatu topologi bersifat tunggal? Jelaskan!

    Reply
  2. uswatikhoiriah says:
    May 2, 2017 at 09:43

    Apa ya beda ruang bagian pada topologi dengan basis pada topologi

    Reply
  3. Uha says:
    December 14, 2010 at 10:41

    Kliatannya menarik ni..

    Reply
  4. zakimath says:
    November 19, 2010 at 16:59

    Konsep basis untuk topologi apakah memiliki motivasi yang sama seperti basis untuk ruang vektor atau modul ya? hmmm…

    Reply
    • Aria Turns says:
      November 19, 2010 at 20:32

      Mmm..pertanyaan yang menarik. Sejauh apa yang saya pahami keduanya mempunyai motivasi yang sama..

      Reply
      • Herry PS says:
        November 20, 2010 at 21:27

        ya tentu saja motivasinya sama, yakni untuk mengekspresikan setiap anggota di dalam ruang dengan menggunakan anggota basis itu. Tetapi perannya tentu beda, sebagai contoh elementer sistem bilangan real R sebagai ruang vektor atas dirinya sendiri mempunyai basis aljabar (basis Hamel), di lain pihak sebagai ruang topologi R juga mempunyai basis topologi (misalnya koleksi interval2 terbuka). Ini masuk kajian yang namanya ruang vektor topologi.

        Reply
  5. Homo-topi says:
    November 16, 2010 at 21:01

    Wah penjelasan loe terpaparkan dengan mudah bro!!! gue suka banget. Sebagai salaha satu contoh pada himpunan bilangan real R, bahwa himpunan bilangan real R dengan topologi biasanya mempunyai basis yag terdiri dari semua selang-selang buka terbatas. Heeeeee

    Reply

Silahkan, tinggalkan komentar