Matematika di Film

Oliver Knill, seorang dosen Matematika di Harvard dengan tekun mengumpulkan adegan-adegan lebih dari 150 film yang berhubungan dengan metematika. Adegan-adegan tersebut diantarnya diambil dari film Jurassic Park, Star Trek, Mision Imposible III, Cast away.

Kalian bisa menonton semua adegan tersebut di sini, atau mengunduhnya dalam format Quicktime

Paradoks Pinokio

Saya yakin kalian sudah tahu cerita Pinokio, boneka kayu yang hidungnya akan memanjang, setiap kali ia berbohong.

Nah… saya mau bertanya ke kalian, menurut kalian apa yang akan terjadi jika Pinokio berkata:

Hidung saya akan memanjang.

JIka kalian berpendapat hidungnya tidak akan memanjang berarti si Pinokio berbohong. Lho Kok bisa, hidungnya tidak memanjang padahal ia berkata bohong??

Sebaliknya jika kalian berpendapat hidung Pinokio akan memnajang berarti ia berkata jujur. Nah lho kok ia berkata jujur tapi malah hidungnya memanjang??

Nah… gimana, bingung kan ?   :p

Paradoks Pinokio ini sami mawon dengan paradoks pembohong

Misteri bilangan sempurna semu

Di Postingan kali ini, saya mau meperkenalkan ke kalian, bilangan yang misterius bernama bilangan sempuna semu (Quasiperfect numbers) . Kenapa saya katakan misterius?

Karena sampai detik ini tidak diketahui apakah bilangan sempuna semu itu ada atau tidak.

Untuk memahami apa itu bilangan sempurna semu pertama-tama kita harus paham bilangan sempurna.

Bilangan Sempurna.

Sebenarnya saya sudah pernah mengulas tentang bilangan sempurna, tetapi tak apa saya akan membahasnya kembali secara singkat.

Bilangan sempurna  (Perfect numbers) adalah bilangan bulat positif yang merupakan hasil dari penjumlah faktor-faktornya kecuali bilangan itu sendiri,

Contoh bilangan sempurna adalah

• 6,  karena faktor-faktor dari 6 adalah {1.2.3.6} dan 6=1+2+3.
• 28 karena 28=1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Bilangan sempurna semu

Bilangan sempurna semu (QuasiPerfect numbers) adalah bilangan bulat positif yang merupakan hasil dari penjumlahan faktor-faktornya kecuali bilangan itu sendiri dan 1.

Jadi Bilangan sempurna semu mirip dengan Bilangan sempurna, bedanya pada bilangan sempurna semu kita menghilangkan 1 dari penjumlahan faktor-faktornya.

Seperti yang sudah saya katakan diatas. Sampai detik ini tidak diketahui apakah bilangan sempurna semu itu ada atau tidak.

Para Matematikawan percaya, jika bilangan sempurna itu ada haruslah lebih besar dari dan mempunyai 7 faktor prima berbeda.

Kemungkinan terlahir tanggal 29 febuari

Tidak terasa, sekarang sudah bulan maret. Kita tahu bulan febuari kemarin ada 29 hari. Tanggal 29 febuari adalah tanggal istimewa kerena tidak selalu muncul tiap tahun.Tahun yang ada tanggal 29 febuarinya kita sebut tahun kabisat. Nah…pernahkah terbesit dipikiran kalian pertanyaan:

Berapa kemungkinan seseorang terlahir tangggal 29 febuari?

Untuk menjawab pertanyaan tersebut, pertama-tama kita harus tahu dulu apa itu tahun kabisat? Banyak orang berpikiran tahun kabisat itu tahun yang habis dibagi 4. Okey itu tidak salah tetapi kurang lenggkap ada 1 syarat lain, yaitu: Jika suatu tahun habis dibagi 100 (Note: tahun yang habis dibagi 100 juga habis dibagi 4) bukanlah tahun kabisat KECUALI habis dibagi 400.

Ternak Sang Dewa Matahari bag 2

Okey ini sambungan postingan kemarin. Telah dibahas bahwa bagian pertama Masalah Ternak archimedes mempunyai tak hingga solusi yaitu

P = 10.366.482k
H = 7.460.514k
K = 4.149.387k
B = 7.358.060k
p = 7.206.360k
h = 4.893.246k
k = 5.439.213k
b = 3.515.820k

dengan k sebarang bilang bulat positif. Nah di bagian kedua (paragraf ke-2) ada kondisi tambahan

Ketika sapi jantan putih bercampur dengan yang hitam, meraka berdiri teguh di kedalaman dan keluasan yang sama di dataran Thrinacia

Umumnya orang menafsirkan sebagai berikut

Ternak Sang Dewa Matahari

Pada tahun 1769. Seorang filsuf jerman Gotthold Ephraim Lessing yang saat itu berkerja sebagai pustakawan di Perpustaakan  Herzog August, Wolfenbüttel, Jerman, sebuah perpustakan yang banyak menyimpan manuskrip kuno latin dan Yunani. Ia menemukan surat berbentuk Epigram yang ditulis oleh Archimedes ditujukan kepada Eratosthenes. Tahun 1773 ia berhasil menerjemahkan surat tersebut, isinya sebagai berikut:

Wahai, orang Asing, jika kau cukup tekun dan bijak. Mampukah kau menghitung banyaknya ternak (Dewa) Matahari yang terkadang merumput pada sebidang tanah di Thrinacian dari Sisilia. Dibagi menjadi empat kawanan warna yang berbeda, satu susu putih, kedua hitam terang, ketiga kuning dan terakhir belang-belang. Di setiap kawanan terdapat sapi jantan perkasa yang jumlahnya sesuai dengan perbandingan berikut: Pahamilah, orang asing bahwa sapi jantan Putih setara dengan setengah dan sepertiga dari yang hitam bersama semua yang kuning. Sedangkan yang hitam setara dengan seperempat dan seperlima dari yang belang-belang sekali lagi bersama semua yang kuning. Amati lebih lanjut bahwa sapi jantan yang tersisa adalah yang belang-belang setara dengan seperenam dan sepertujuh dari yang putih serta semua yang kuning. Berikutnya perbandingan yang betina: Yang putih tepat setara sepertiga dan seperempat seluruh kawanan berwarna hitam. Sedangkan yang hitam setara seperempat dan seperlima dari yang belang-belang ketika semuanya termasuk yang jantan merumput bersama-sama. Sekarang yang belang-belang dalam empat bagian yang sama jumlahnya dengan seperlima dan seperenam kawanan kuning. Terakhir yang kuning jumlahnya setara dengan seperenam dan sepertujuh kawanan putih. Jika engkau dapat mengatakan secara akurat, Wahai orang asing, jumlah ternak Matahari, memberikan secara terpisah jumlah makan  yang cukup bagi  sapi jantan dan betina menurut setiap warna, engkau tidak disebut tidak terampil atau bodoh menghitung, tetapi engkau tidak termasuk golongan orang-orang bijak.

Tapi pahami juga semua kondisi ini mengenai ternak Matahari. Ketika sapi jantan putih bercampur dengan yang hitam, meraka berdiri teguh di kedalaman dan keluasan yang sama di dataran Thrinacia, membentang jauh dalam segala cara, dipenuhi dengan jumlah mereka. Sekali lagi, ketika sapi jantan belang-belang dan kuning dikumpulkan menjadi satu kawanan mereka berdiri sedemikian rupa sehingga jumlah mereka, mulai dari satu, tumbuh perlahan-lahan lebih besar sampai selesai bilangan segitiga,  tidak ada sapi jantan warna lain di tengah-tengah mereka dan tidak ada satupun dari mereka kurang. Jika engkau mampu, Wahai orang asing , untuk mengetahui semua hal ini dan mengumpulkan mereka dalam pikiran Anda, memberikan semua hubungan, haruslah engkau Diangkat, dimahkotai dengan kemuliaan dan mengetahui bahwa engkau telah menjadi  sempurna dalam golongan kebijaksanaan ini.

I Love You

Nemu di Google plus. Gmana menurut kalian keren, bukan?

Pelari yang Kesepian

Bayangkan, ada pelari yang akan berlari pada lintasan lari berbentuk lingkaran dengan keliling 1 km. Setiap pelari mempunyai kecepatan konstan yaitu km/jam dan semua pelari mempunyai kecepatan yang berbeda-beda. Semua pelari akan memulai lari pada garis start dan pada waktu bersamaan. Pada waktu jam seorang pelari akan mempunyai jarak ke garis start sebesar km, dengan  adalah bagian pecahan dari bilangan .

Contoh: Pelari mempunayai kecepatan 3 km/jam. dalam waktu 1,25 jam. Ia telah berlari sebanyak 3,75 putaran. Itu berarti jarak dia ke garis start adalah  km.

Jadi jarak maksimal pelari dengan garis start adalah kurang dari 1 km. Seorang pelari dikatakan kesepian jika jaraknya ke garis start minimal km.

Nah… yang jadi pertanyaan adalah

Derivative, Differentiation, Differentiable dan Differential. Apa bedanya?

Derivative, Differentiation, Differentiable, Differential

4 istilah matematika yang sering membingungkan orang. Banyak orang yang sulit membedakan ke-4 istilah tersebut. Ya..jujur saya juga dulu demikian, habis bagaimana tidak bikin bingung soalnya namanya mirip-mirip dan ke-4nya saling berhubungan.

Buat kalian yang masih bingung atau rancu dengan ke-4 istilah tersebut. saya akan menjelaskan secara sederhana ke kalian.

Derivative itu turunan, turunan itu Derivative. Silahkan kalian buka buku kalulkus, turunan fungsi dititik didefinisikan

Selain notasi , turunan juga sering dinotasikan . Jadi  dan . menotasikan satu hal yang sama.

Tentu untuk mendapatkan nilai  ada prosesnya, ada caranya tidak tiba-tiba muncul dari langit. Nah.. proses perhitungan mencari nilai turunan disebut  Differentiation.

Jika fungsi mempunyai turunan , dengan kata lain nila ada maka kita mengatakan  Differentiable di . Jadi Differentiable itu bisa diterjemahkan menjadi terturun.

Yang terakhir Differential, atau lengkapnya persamaan Differential (Differential equation) adalah segala bentuk persamaan yang memuat turunan.

Contoh: 

.

***

Nah…bagaimana kalian sudah tidak lagi bingung dengan ke-4 istilah tersebut, bukan?

Kontinyu dimanapun tetapi tak terturun dimanapun

Di Tahun 1872, Weierstrass  mengejutkan dunia Matematika dengan menuliskan sebuah paper yang menunjukan ada fungsi kontinyu di semua titik di  tetapi tidak tidak terturun dimanapun. Fungsi tersebut dinamakan sesuai dengan namanya yaitu Fungsi Weierstrass.

Definisi: Diberikan dan bilangan ganjil positif yang memenuhi  (contoh: ambil dan ). Didefinsikan fungsi Weierstrass , sebagai berikut:

Sebuah fungsi berbentuk deret tak hingga

Sebelum Weierstrass menerbitkan papernya, mayoritas Matematikawan termasuk Dewa Matematika Gauss berkeyakinan bahwa fungsi kontinyu hanya gagal terturun di titik-titik tertentu saja, Contohnya fungsi yang hanya tidak terturun di titik 0. Nah..Weierstrass lah dengan sukses membantah keyakinan mereka.

Teorema: Fungsi kontinyu seragam di tetapi tidak terturun di titik manapun.

Ternyata fungsi tidak hanya kontinyu melainkan kontinyu seragam. Faka ini juga mengejutkan para Matematikawan ternyata kontinyu seragam tidak menjamin keterturunan.

Bukti: