akar 2

Posted on September 1, 2008 by Aria Turns

$\sqrt{2}=1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807...$

Boleh dibilang $\sqrt{2}$ adalah bilangan irasional pertama yang ditemukan oleh manusia. Ditemukan tanpa sengaja oleh pythagoras melalui rumus pythagorasnya yang terkenal

sisi miring dari segitiga siku-siku dengan sisi yang lain 1 satuam

Konon munurut legenda Pythagoras tidak percaya bahwa $\sqrt{2}$ adalah bilangan irasional, bahkan dia percaya tidak ada bilangan irasional, semua bilangan real adalah bilangan rasional. Sampai suatu saat seseorang bernama Hippapus membuktikan bahwa bilangan irasional itu ada. Pythagoras marah lalu bersama murid-muridnya Pythagoras menenggelamkan Hippapus hingga mati (wuih..kalo gitu Pytagoras pembunuh dong).

Pembuktian $\sqrt{2}$ adalah Irasioanal

Untuk membuktikan $\sqrt{2}$ adalah Irasioanal kitab menggunakan metode kontadiksi (proof by contradiction). Yaitu dengan mengasumsikan bawha lawan dari pernyataan/dalil adalah benar lalu menunjukkan bahwa asumsi tersebut salah yang artinya pernyataan.dalil tersebut benar.

kita asumsikan bahwa $\sqrt{2}$ adalah rasional artinya ada bilangan bulat a dan b dimana $\sqrt{2}= a/b$ , dengan a dan b relative prima (FPB a dan b adalah 1), maka

$(\sqrt{2 )^2}= (a/b)^2$

$2=a^2/b^2$

$2b^2=a^2$

Maka $a^2$ adalag genap karena sama dengan $2b^2$ , yang menyebabkan $a$ juga genap ( akar dari bilangan genap juga genap) maka ada bilangan bulat k, dimana $a=2k$ , subtitusi ke persamaan diatas kita peroleh

$2b^2=(2k)^2$

$2b^2=4k^2$

$b^2=2k^2$

Maka $b^2$ genap, yang mengakibatkan $b$ juga genap,

Jadi kita bisa menyimpulkan a dan b adalah genap habis dibagi 2 padahal menurut asumsi a dan b adalah relative prime, terjadi kontadiksi maka pengamsumsian kita salah, yang berarti $\sqrt{2}$ terbukti bilngan irasional

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

33 thoughts on “akar 2”

Dino on September 1, 2008 at 9:05 pm said:

Aku bingung setelah b diganti k..

Reply ↓
vlisa on September 2, 2008 at 8:55 am said:

Aku jadi ingat masa sekolah yang sudah puluhan tahun kutinggalkan….salam.

Reply ↓
rudi on September 2, 2008 at 4:36 pm said:

bner…jadi inget cara buktiin akar dua tu bilangan irasional.dulu lupa.

Reply ↓
tanahsirah on September 2, 2008 at 9:06 pm said:

Aduh bingung dech lihat bilngan2 kek gitu.

Reply ↓
Yusuf on September 11, 2008 at 11:55 am said:

Alllow ….Selamat n sukses selalu!

Aku baru aja baca blog mu ini setelah direkomendasikan oleh dosenku (http://www.ririsatria.net/)

Ini dia yang aku cari, matematikanya yang nyantai n asyik.

keep the good work!

Reply ↓
Jovie on October 12, 2008 at 1:40 pm said:

wow…keren banget nih jago matematika….

Reply ↓
afasmt on December 4, 2008 at 2:20 am said:

Halo bang Aria dkk,

Saya dari Turki mampir dulu di MIMOS (LIPInya Malaysia). Saya buka blog ini, wow ramai sekali commentsnya, saya turut senang karena misi bang Aria mencerdaskan anak bangsa terwujud. Maaf, karena kunjungan short research saya sangat padat sehingga saya absen berkomentar. Tapi aktifitas saya sebagai jurnalis amatiran jalan terus. Ini ada tulisan saya mudah2an membantu bang Aria dkk untuk membantu adik2 kecil gemar ngitung akar bilangan yang sempat saya tanyakan dulu itu.

http://www.penulislepas.com/v2/?p=496

Saya di Malaysia sekitar 2 minggu lagi setelah itu pulang ke tanah air, sudah kangen sama Nadya dan Denaya.

Sukses ya ….

Reply ↓
afasmt on December 4, 2008 at 3:10 am said:

Oh ya bang Aria komentar saya di harian penulislepas.com

http://www.penulislepas.com/v2/?p=1105

ada yang berhubungan dengan ESQ (di komentar kedua) yang ramai didiskusikan itu.

Saya setuju dengan bang Aria, kita harus membenahi salah kaprah yang terjadi selama ini.

Salam…

Reply ↓
Aria Turns on December 4, 2008 at 9:53 am said:

@ afasmt
Halo..pak Rohedi, ditunggu oleh2nya ya

Reply ↓
Yari NK on December 18, 2008 at 9:42 pm said:

Aha… iya…. kunci pengertian pembuktian ini adalah… antara dua bilangan genap tidak akan pernah bisa menjadi coprime ya??

Reply ↓
rini on January 12, 2009 at 6:51 pm said:

gak nyambung sih, tapi sy penasaarn je..
maksunya berbeda sendiri itu apa ya???

Mana dari angka-angka ini yang berbeda sendiri:
2___3___6___7___8___9

Soal Kedua:
Mana dari angka-angka ini yang berbeda sendiri:
146___328___542___782___964

Soal Ketiga:
Mana dari angka-angka ini yang berbeda sendiri:
10001___20153___39845___41587___58790___68798

Soal Keempat:
Mana dari angka-angka ini yang berbeda sendiri:
1537___4674___6601___8159___8651___9266

Soal Kelima:
Mana dari angka-angka ini yang berbeda sendiri:
1156___2025___3136___4489___5776___6084___7921

Reply ↓
Aria Turns on January 12, 2009 at 10:26 pm said:

@ rini
biasanya sich kalo kayak gitu liat polanya ntar ada yang beda..
tapi gak tau juga ding lagi malez mikir hehe

Reply ↓
syasya on February 15, 2009 at 12:17 pm said:

wah,jadi bingung juga liat pembuktiannya…

aku juga dapet tugas dari dosen ttg ini.

oh iya aku mau dunk rumus2 buat ngitung akar akar yang lain

makasih ya

Reply ↓
Aria Turns on February 15, 2009 at 11:39 pm said:

@ syasya
Rumus ngitung akar? waduh jujur saya udah lupa tuch
apa yang saya tulis diatas bukun rumus mencari akar 2 tetapi membuktikan bahwa akar 2 adalah bilangan irasional

Reply ↓
Marcell on March 31, 2009 at 6:28 pm said:

terus gimana kalau akar 13. berarti kita asumsikan bahwa akar 13 rasional, maka 13b2 = a2.
ruas kiri tidak ganjil ataupun genap, gimana ?

Reply ↓
watchmath on April 1, 2009 at 12:01 am said:

Dengan faktorisasi bilangan prima kita bisa mendapatkan hasil yang lebih umum: $\sqrt{p}$ irrasional untuk setiap bilangan prima.
Msalkan rasional, maka dengan mengkuadratkan didapat $pb^2=a^2$ .
Karena $p$ membagi $a^2$ , $p$ harus muncul sebagi faktor dari $a$ , akibatnya $a^2$ paling tidak memiliki faktor $p^2$ . Karena di ruas kiri baru muncul satu faktor $p$ , maka $p$ juga haruslah merupakan faktor dari $b$ .

Akibatnya ruas kiri memiliki faktor $p^n$ dengan ganjil dan ruas kanan memiliki faktor $p^m$ dengan $m$ genap. Karena faktorisasi prima bersifat tunggal, ini tidak mungkin terjadi.

Reply ↓
sukses on September 20, 2009 at 9:47 pm said:

Subhanallah!!!

keren abizzzzzzzzzzz penjelasannya!!!!

jujur ana seneng banget deh!!!

mau dong belajar banyak tentang MTK.
soalnya ana mahasiswa smster awal jurusan matematika.
mohon bantuannya!!
: )

Reply ↓
mr. T on October 5, 2009 at 10:53 am said:

Nice…penjelasannya cukup sikat dan dapat di jadikan refrensi thx…

Reply ↓
Nida on October 22, 2009 at 8:48 pm said:

nuhun pisan cuii…..

Reply ↓
Defita on August 26, 2010 at 10:30 am said:

saya masih bingung…

Reply ↓
Pingback: Bilangan Irasional – SMP N 3 Arjosari
Pingback: Mengenal Bilangan Rasional dan IrasionalMengenal Bilangan Rasional dan Irasional – SMP N 3 Arjosari
wahyu nurudin on September 25, 2010 at 9:38 am said:

kalau sqrt(3) bagaimana pembuktiannya? kan ada banyak angka lain seperti akar 5,7,17 dll.

Reply ↓
- Aria Turns on September 27, 2010 at 11:06 am said:
  
  Silahkan anda lihat di
  http://www.grc.nasa.gov/WWW/k-12/Numbers/Math/Mathematical_Thinking/irrationality_of_3.htm
  Kalo secara general silahkan lihat
  http://ariaturns.wordpress.com/2010/09/27/hasilnya-selalu-irasional/
  
  Reply ↓
vera on October 1, 2010 at 3:33 pm said:

kenapa a dan b relative prima?

Reply ↓
- Aria Turns on October 1, 2010 at 4:09 pm said:
  
  karea a/b bentuk pecahan yg paling sederhana
  
  Reply ↓
Pingback: akar 2 | Free E-Book
@chyutenhok on July 31, 2011 at 3:38 pm said:

klo jwban dri bilangan rasional ni brapa 24,3125125125? cpetan Y,,,,plus cra kerjanya?

Reply ↓
@chyutenhok on July 31, 2011 at 3:43 pm said:

mksdnya bgaiman cra merubah bentuk desimal ke pecahan bila bilangan berbentuk rasional contoh 24,3125125125 bgaimana crany itu? plus cra kerjanya?

Reply ↓
Virnie Kefin Virnie on August 21, 2011 at 3:49 pm said:

sip..sgat mmbantu

Reply ↓
aisyah on November 6, 2011 at 11:39 am said:

Kalau yang akar 3??? O_o

Reply ↓
- Aria Turns on November 6, 2011 at 3:59 pm said:
  
  Serupa kok ama yang diatas, coba sendiri yach
  
  Reply ↓
santi on April 22, 2012 at 10:56 am said:

wah benar benar membantu

Reply ↓