Hasilnya selalu irasional

Akar dari suatu bilangan asli n, dinotasikan \sqrt{n} adalah suatu bilangan real r sedemikian hingga r^{2}=n. Jika r adalah bilangan asli makan n dikatakan Kuadrat (atau ada yang menyebutnya kuadrat sempuna). Nah itu berarti bilangan non-kuadrat adalah bilangan asli yang jika diakarkan hasilnya bukan bilangan asli.

Contoh: Dengan mengunakan kalkulator, dapat dengan mudah kita ketahui akar dari 5, 7, 12, dan 18 bukan lah bilangan asli.

Kalau bukan bilanga asli itu berarti ada 2 kemungkinan hasil dari akar bilangan tidak kuadrat: berbentuk pecahan atau bilangan irasional.

Dalam postingan ini, akan saya buktikan bahwa akar dari bilangan  non-kuadrat selaau merupakan  bilangan irasional

Andaikan ada bilangan non-kuadrat D yang akarnya berbentuk pecahan \frac{x}{y}. Dengan \frac{x}{y} pecahan bentuk paling sederhana.

Akan dibuktikan bahwa \frac{x^2}{y^2} mustahil bilangan asli.

Untuk kasus x=1 maka jelas \frac{x^2}{y^2} mustahil bilangan asli.

Untuk kasus x>1

Karena \frac{x}{y} pecahan bentuk paling sederhana maka x dan y adalah relatif prima (yaitu fpb keduanya adalah 1). Berdasarkan teorema fundamental aritmatika, setiap bilangan asli yang lebih besar  dari 1 selalu mempunyai faktor prima yang unik. Andaikan x mempunyai faktor prima p_{1,}p_{2},\ldots,p_{i} dan y mempunyai faktor prima p_{i+1,}p_{i+2},\ldots,p_{i+j}, diperoleh

\frac{x}{y}=\frac{p_{1}\times p_{2}\times\ldots\times p_{i}}{p_{i+1}\times p_{i+2}\times\ldots\times p_{i+j}}

Tidak ada satupun elemen dari \left\{ p_{i+1},p_{i+2}\ldots,p_{i+j}\right\} yang membagi \left\{ p_{i+1},p_{i+2}\ldots,p_{i+j}\right\} . Dengan mudah diketahui

\frac{x^{2}}{y^{2}}=\frac{p_{1}\times p_{1}\times p_{2}\times p_{2}\times\ldots\times p_{i}\times p_{i}}{p_{i+1}\times p_{i+1}\times p_{i+2}\times p_{i+2}\times\ldots\times p_{i+j}\times p_{i+j}}

bukan lah bilangan asli kareana tidak ada satupun faktor prima dari y^2 yang membagi faktor prima dari x^2

***

Berapapun akar dari 5, 7, 12, dan 18. Kita tahu satu hal yang pasti kesemuanya adalah bilangan irasional

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in irasional and tagged , , , . Bookmark the permalink.

9 Responses to Hasilnya selalu irasional

  1. ruqayah says:

    Assalamu”alaikum..
    tolong di bantu menyelesaikannya ya..

    buktikan bahwa tidak ada bilangan rasional t sedemikian hingga t^2=3..

  2. qoyyimah says:

    coba donk pembuktian phi ,e dan akar adalah bilangan rasional

  3. bagoes prayoga says:

    apakah akar 8 adalah bilangan irasional…???? buktikan!!!!

  4. ImamRahmanto says:

    Coba dong selesaikan ini.
    Buktikan bahwa tidak ada bilangan rasional r sehingga r^2=2

  5. jauh says:

    kira2 klo bilangan irasional + bilangan irasional apa hasilnya selalu irasional ya???

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s