Maksimal, Maksimum, Minimal, Minimum, Apa bedanya?

Di dalam Poset ada 2 pasang definisi yang serupa, mirip tetapi mempunyai arti yang berbeda dan sering membuat orang bingung. Yang pertama adalah maksimal dengan maksimun, yang kedua adalah minimal dengam minimum.

Dalam kamus bahasa maksimal dan maksimun itu sami mawon tetapi dalam poset mereka berdua sedikit berebeda, begitu pula dengan minimal dengam minimum.

Maksimal vs Maksimum

Definisi: Diberikan ,elemen  dilatakan elemen maksimal jika TIDAK ADA   sedemikian hingga .

Jadi elemen dalam suatu poset dikatakan maksimal jika tidak ada elemen lain yang lebih besar dari . Dengan kata lain   adalah elemen maksimal jika tidak lebih kecil dari semua elemen di suatu Poset.

Sekarang kita bahas elemen maksimum

Definisi: Diberikan ,elemen  dilatakan elemen maksimum atau disebut juga  elemen terbesar jika untuk semua   berlaku 

Sesuai dengan namanya elemen maksimun adalah elemen tersebar, artinya semua elemen didalam poset akan selalu lebih kecil atau sama dengan elemen maksimun tersebut.

Sekarang kita masuk ke contoh, supaya lebih jelas

Contoh 1: Diberikan poset   dengan  dan relasi urutan  yang didefinisikan (yaitu membagi ), untuk .

Dari contoh 1, bilangan 6,7,8,9 dan 10 adalah elemen maksimal, karena tidak ada bilangan di yang dapat dibagi oleh  6,7,8,9 dan 10 kecuali oleh diri mereka sendiri. Selanjutnya, apa elemen maksimumnya? Tidak ada, poset   tidak mempunyai elemen maksimum, karena tidak ada bilangan di yang dapat dibagi oleh semua bilangan pada himpunan tersebut.

Contoh 2:  Diberikan poset   dengan  dan relasi urutan  yang didefinisikan (yaitu membagi ), untuk .

Bilangan 256 merupakan elemen maksimum sekaligus maksimal pada . Mengapa?

Minimal vs Minimum

Kebalikan dari maksimal adalah minimal

Definisi: Diberikan , elemen  dilatakan elemen minimal jika TIDAK ADA   sedemikian hingga .

Jadi elemen dalam suatu poset dikatakan minimal jika tidak ada elemen lain yang lebih kecil dari . Dengan kata lain   adalah elemen minimal jika tidak lebih besar dari semua elemen di suatu Poset.

Sedangkan elemen minimum merupakan kebalikan dari elemen maksimum

Definisi: Diberikan ,elemen  dilatakan elemen minimum atau disebut juga elemen terkecil jika untuk semua   berlaku .

Suatu elemen pada poset dikatakan mimimum atau terkecil, jika untuk semua eleme pada poset tersebut akan selalu lebih besar atau sama dengan elemen minimum tersebut

Pada contoh 1, bilangan 2 dan 3 merupakan elemen minimal, karena tidak ada bilangan di yang merupakan faktor dari 2 dan 3 kecuali diri mereka sendiri. Poset   tidak mempunyai elemen minimum, karena tidak ada bilangan di yang menjadi faktor dari semua bilangan pada himpunan tersebut.

Sedangkan pada contoh 2, bilangan 2 adalah elemen minimum sekaligus minimal. Mengapa?

Dari apa yang sudah kita bahas dapat disimpulkan sebagai berikut

1. Elemen maksimal dan mimimal tidak harus tunggal
2. Elemen maksimum dan minimum tunggal
3. Elemen maksimum dengan sendirinya merupakan elemen maksimal, begitupula elemen minimum adalah elemen minimal, tetapi sebaliknya tidak berlaku.

Bagaimana kalian sudah jelas bendanya maksimal dengan maksimum dan minimal dengan minimum, atau malah tambah bingung 🙂