Derivative, Differentiation, Differentiable dan Differential. Apa bedanya?

Posted on
3

Derivative, Differentiation, Differentiable, Differential

4 istilah matematika yang sering membingungkan orang. Banyak orang yang sulit membedakan ke-4 istilah tersebut. Ya..jujur saya juga dulu demikian, habis bagaimana tidak bikin bingung soalnya namanya mirip-mirip dan ke-4nya saling berhubungan.

Buat kalian yang masih bingung atau rancu dengan ke-4 istilah tersebut. saya akan menjelaskan secara sederhana ke kalian.

Derivative itu turunan, turunan itu Derivative. Silahkan kalian buka buku kalulkus, turunan fungsi f dititik x didefinisikan

{\displaystyle f'\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}}

Selain notasi f'(x), turunan juga sering dinotasikan \frac{dy}{dx}. Jadi f'(x) dan \frac{dy}{dx}. menotasikan satu hal yang sama.

Tentu untuk mendapatkan nilai f'(x) ada prosesnya, ada caranya tidak tiba-tiba muncul dari langit. Nah.. proses perhitungan mencari nilai turunan disebut  Differentiation.

Jika fungsi f mempunyai turunan x, dengan kata lain nila f'(x) ada maka kita mengatakan f Differentiable di x. Jadi Differentiable itu bisa diterjemahkan menjadi terturun.

Yang terakhir Differential, atau lengkapnya persamaan Differential (Differential equation) adalah segala bentuk persamaan yang memuat turunan.

Contoh: 

\frac{dy}{dx}=8y+x^{2}

\left(1-y\right)\frac{dy}{dx}=\sin\left(y\right)+y^{2}e^{-3y}.

***

Nah…bagaimana kalian sudah tidak lagi bingung dengan ke-4 istilah tersebut, bukan?

Kontinyu dimanapun tetapi tak terturun dimanapun

Posted on
8

Di Tahun 1872, Weierstrass  mengejutkan dunia Matematika dengan menuliskan sebuah paper yang menunjukan ada fungsi kontinyu di semua titik di \mathbb{R} tetapi tidak tidak terturun dimanapun. Fungsi tersebut dinamakan sesuai dengan namanya yaitu Fungsi Weierstrass.

Definisi: Diberikan 0<a<1 dan b bilangan ganjil positif yang memenuhi 1+3\pi/2<ab (contoh: ambil a=1/2 dan b=11). Didefinsikan fungsi Weierstrass W:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, sebagai berikut:

{\displaystyle W\left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}a^{n}\cos\left(b^{n}\pi x\right)}

Sebuah fungsi berbentuk deret tak hingga

Sebelum Weierstrass menerbitkan papernya, mayoritas Matematikawan termasuk Dewa Matematika Gauss berkeyakinan bahwa fungsi kontinyu hanya gagal terturun di titik-titik tertentu saja, Contohnya fungsi |x| yang hanya tidak terturun di titik 0. Nah..Weierstrass lah dengan sukses membantah keyakinan mereka.

Teorema: Fungsi W kontinyu seragam di \mathbb{R} tetapi tidak terturun di titik manapun.

Ternyata fungsi W tidak hanya kontinyu melainkan kontinyu seragam. Faka ini juga mengejutkan para Matematikawan ternyata kontinyu seragam tidak menjamin keterturunan.

Bukti:

Continue reading →

Yang sebenarnya tentang Lemma Zorn dan Tuhan

Posted on
1

Salah satu tulisan saya paling populer adalah: Lemma Zorn dan Pembuktian keberadaan Tuhan. Saya yakin itu disebabkan oleh judulnya yang bombastis, pembuktian keberadaan tuhan. Tulisan saya tersebut sering digunakan para Theist  (yang percaya Tuhan) sebagai senjata untuk melawan para Atheist dalam perdebatan keberadaan Tuhan di forum-forum Internet.

Nah..sekarang pertanyaannya.

Apakah tulisan saya tersebut benar-benar membuktikan keberdaan Tuhan?

Mohon maaf, sama sekali tidak malah sebenarnya tulisan saya tersebut bisa digunakan untuk menyangkal Tuhan, nah lho?

Continue reading →

Akhir yang bahagia

Posted on
Reply

Setiap hari minggu pada musim dingin tahun 1933, di Budhapest. Sekelompok kecil Mahasiswa bertemu di taman kota atau di Kafe untuk berdiskusi tentang Matematika. Mahasiswa-mahasiswa yang biasanya mengikuti pertemuan adalah Paul Erdös, György (George) Szekeres, Esther Klein.

Pada satu pertemuan, Esther Klein memberikan tantangan kepeda pesarta diskusi untuk memecahkan masalah pada geometri bidang yang baru saja ia temukan. Bayangkan ada 5 titk yang terletak pada bidang datar. Peletakan 5 titik tersebut bebas asalkan tidak ada 3 titik yang segaris. jika 4 titik di hubungkan dengan garis maka akan membentuk segi empat. Esther menyadari jika diberikan 5 titik dengan tidk ada 3 titik yang segaris maka 4 dari 5 titik akan selalu bisa membentuk segi-empat yang cembung (convex).

Continue reading →

Hore, Mbah Google sekarang bisa gambar grafik fungsi

Posted on
3

Di Blognya, Google mengumumkan bahwa sekarang ia mampu menggambar grafik fungsi. Tinggal ketik saja fungsinya pada kolom pencarian maka walah akan muncul grafik interaktif pada halaman pencarian. Tidak hanya satu fungsi, tapi Google mampu menggambar banyak fungsi sekaligus tinggal pisahkan saja dengan koma. Sayang belum ada penjelasan fungsi-fungsi apa saja yang didukung oleh Google tetapi saya lihat Goggle sanggup menhgambar fungsi-fungsi yang umum digunakan seperti Trigonometri, suku banyak, eksponensial, logaritma.

Saat ini baru grafik 2-D, semoga kedepan google sanggup menggambar grafik 3-D.

Kita lihat saja fitur-fitur Matematika apalagi yang akan dimunculkan Goole. Apakah ini artinya Google bakal menjadi saingan WolframAlpha?

Oya coba kalian ketik: (sqrt(cos(x))*cos(200x)+sqrt(abs(x))-0.7)*(4-x*x)^0.01, sqrt(9-x^2), -sqrt(9-x^2) from -4.5 to 4.5 , pada kolom pencarian Google dan lihat apa yang terjadi :)

Perbedaan definisi fungsi kontinyu di kalkulus dan di Analisis Real

Posted on
9

Buku kalkulus yang saya punya adalah Kalkulus dan Geoemtri Analisis, Purcell, edisi Terjemahan, sedangkan buku analisi real yang saya punya: Introduction to Real Analysis, Bartle. Saya baru ngeh baru sadar ternyata definisi fungsi kontinyu pada kedua buku tersebut berbeda dan perbedaan tersebut tidak ekuivalen. Setelah saya melakukan penelusuran di Internet, saya sampai pada satu kesimpulan definisi fungsi kontinyu di kalkulus berbeda dengan yang ada di Analisis Real.

Kalkulus mengatakan

Diberikan A\subseteq\mathbb{R}, f:A\rightarrow\mathbb{R} dan c\in A. Fungsi f dikatakan kontinyu di titik c, jika berlaku: f(c) terdefinsi dan \lim_{x\rightarrow c}f\left(x\right)=f(c)

Sekarang kita jabarkan  \lim_{x\rightarrow c}f\left(c\right)=c kedalam bentuk epsilon-delta, diperoleh pernyataan.

Untuk sebarang \epsilon >0 terdapat \delta >0 sedemikian hingga, jika 0<|x-c|<\delta dengan x\in A maka |f(x)-f(c)|<\epsilon.

Sedangkan Analisis real berkata

Diberikan A\subseteq\mathbb{R}, f:A\rightarrow\mathbb{R} dan c\in A. Fungsi f dikatakan kontinyu di titik c, jika berlaku pernyataan berikut.

Untuk sebarang \epsilon >0 terdapat \delta >0 sedemikian hingga, jika |x-c|<\delta dengan x\in A maka |f(x)-f(c)|<\epsilon.

Dimana letak perbedaannya?

Kalkulus mengatakan 0<|x-c|<\delta, itu artinya jarak x ke c tidak boleh nol. Dengan kata lain x haruslah berbeda dengan c (x\neq c)

Sedangkan analisis Real mengatakan |x-c|<\delta, itu artinya jarak x ke c boleh nol. Dengan kata lain boleh saja x=c.  Jadi definsi kekontinyuan di analisis real tidak serupa dengan \lim_{x\rightarrow c}f\left(x\right)=f(c)

 Apa akibat dari perbedaan ini?

Continue reading →

Bidadari di ranah Matematika

Posted on
3


Cantik banget, bukan? Jujur, sebagai laki-laki saya benar-benar terpana dengan kecantikannya. Siapa dia? Namanya Julia Ruscher, dia bukan artis, bintang film atau pun foto model. Dia adalah Matematikawati Jerman dengan bidang keahlian Proses Stokastik .

Sulit dipercaya bukan? Ada wanita berparas amat rupawan mendalami matematika

Saya yakin kalau di Indonesia, dia pasti udah jadi bintang film atau minimal bintang iklan :) ,

Oya ada Videonya di Youtube, cekidot:

Tangga Setan

Posted on
Reply

Fungsi Cantor adalah fungsi yang spesial karena fungsi tersebut kontinyu, naik dari 0 menuju 1 tetapi memepunyai turunan nol hampir disemua titik, selain itu fungsi cantor mempunyai julukan seram yaitu Tangga setan (Devil’s staircase).

Sebelum kita mendefinisikan fungsi Cantor, kita harus mengkontruksikan interval-interval sebagai berikut:

  1. Diberikan interval tertutup [0,1], kemudian bagi menjadi 3 bagian sama panjang lalu hilangkan bagian tengahnya yaitu: interval terbuka I^1_1=\left(1/3,2/3\right).
  2. Diperoleh 2 interval tertutup [0,1/3] dan [2/3,1], lakukan hal serupa kepada 2 interval tertutup tadi, hilangkan interval terbuka I_{1}^{2}=\left(1/9,2/9\right) dan I_{2}^{2}=\left(7/9,8/9\right).
  3. Interval tersisa adalah \left[0,1/9\right],\left[2/9,1/3\right],\left[2/3,7/9\right] dan \left[8/9,1\right], lakukan hal serupa, hilangkan interval terbuka I_{1}^{3}=\left(2/27,3/27\right),I_{2}^{3}=\left(7/27,8/27\right) dan I_{4}^{3}=\left(25/27,26/27\right).

Lanjutkan terus langkah diatas, sampai langkah ke-n, interval yang dihilangkan adalah I_{1}^{n},I_{2}^{n},\ldots,I_{k}^{n},\ldots,I_{2^{n-1}}^{n}.

Jika I adalah gabungkan semua I_k^n maka komplemen I adalah himpunan Cantor C.

Continue reading →

Pembuktian hasil kali Gradien 2 garis yang saling tegak lurus adalah -1

Posted on
10

Pada postingan Gradien garis mendatar dan Garis tegak, saya sering mendapat pertanyaan

Mengapa hasil kali Gradien 2 garis yang saling tegak lurus adalah -1?

Dalam postingan ini saya akan menjawab pertanyaan diatas.

Diberikan 2 garis p dan q yang saling tegak lurus. Tanpa mengurangi generalitas (Without loss of generality) diasumsikan kedua garis berpotongan dititik awal O(0,0). Karena sebenarnya kedua garis dapat digeser kemana saja tanpa merubah gradient. Andaikan terdapat titik A(x_1,y_1) pada garis p dan titik B(x_2,y_2) pada garis q, seperti ditunjukan pada gambar diatas. Diperoleh gradien garis p adalah y_1/x_1 dan gradien garis q adalah y_2/x_2.

Kita akan membuktikan y_{1}/x_{1}\left(y_{2}/x_{2}\right)=-1

Continue reading →

Himpunan kosong adalah persekitaran, berapa jari-jarinya?

Posted on
2

Pada diskusi di postingan Ruang 2-metrik, saya mengatakan

himpunan kosong itu persekitaran lho

Kemudian pernyataan saya ini mendapat pertanyaan dari Mimin

emmmm…apabila himpunan kosong itu persekitaran, berapa jari-jarinya??

setiap persekitaran itu pasti ada jari-jarinya..

Untuk menjawabnya mari kita lihat kembali definisi persekitaran.

Definsi: Diberikan ruang metrik (X,d), untuk sebarang a\in X dan konstanta real r>0, himpunan

N_{r}\left(a\right)=\left\{ x\in X|d\left(x,a\right)<r\right\}

disebut persekitaran (Neighbourhood) titik a dengan jari-jari r. Himpunan N_{r}\left(a\right) sering pula disebut Bola terbuka (Open Ball) dengan titik pusat a dan jari-jari r.

Jadi himpunan N_{r}\left(a\right) berisikan semua titik yang jaraknya ke titik a kurang dari r. Dengan kata lain

\forall x\in N_{r}\left(a\right)\Rightarrow d\left(x,a\right)<r

Begitupula jika ada yang mengatakan himpunan kosong adalah persekitaran dari titik a dengan jari-jari r, itu artinya:

\forall x\in\emptyset\Rightarrow d\left(x,a\right)<r

Antiseden dari Kalimat implikasi diatas bernilai salah, karena kita tahu himpunan kosong tidak mempunyai anggota. Dalam ilmu logika, tidak peduli apa kosekuennya, kalimat implikasi akan selalu bernilai benar, jika antisedennya bernilai salah. Itu berarti berapapun nilai r pernyataan \forall x\in\emptyset\Rightarrow d\left(x,a\right)<r akan selalu bernilai benar.

Kesimpulan: Himpunan kosong adalah persekitaran titik a dengan jari-jari berapapun