Kelipatan 9

Coba kalian perhatikan

15503-illustration-of-a-nine-of-hearts-playing-card-pv

Sumber: freestockphotos.biz

9 × 2 = 18 = 1 + 8 = 9

9 × 3 = 27 = 2 + 7 = 9

:

9 × 784573 = 7061157 = 7 + 0 + 6 + 1 +1 +5 + 7 = 27

:

9 × 3125912 = 28133208 = 2 + 8 +1 + 3 +3 +2 + 0 + 8 = 27

Terlihatkan polanya.

Jumlah angka dari bilangan kelipatan 9 juga merupakan kelipatan 9

Bukti:

Pertama-tama perhatikan bahwa semua bilangan asli N dengan k angka dapat ditulis:

N=a_{k}10^{k-1}+a_{k-1}10^{k-2}+\ldots+a_{1}10^{0}

Sebagai contoh 1267 bilangan dengan 4 angka dapat ditulis

1267=1\cdot10^{3}+2\cdot10^{2}+6\cdot10^{1}+7\cdot10^{0}

Selanjutnya perhatikan

10 = 1 + 9 = 1 + 9 × 1

100 = 1 + 99 = 1 + 9 × 11

:

:

1.000.000 = 1 + 999.999 = 1 + 9 × 111.111

Jadi secara umum 10^n dapat ditulis

10^{n}=1+9k_{n}

dengan k_n adalah barisan 1 sebanyak n.

Berikutnya kita ambil sembarang bilangan kelipatan 9 sebut saja namanya mawar 9M, dari apa yang sudah dibahas di atas, 9M dapat ditulis

9M=a_{k}10^{k-1}+a_{k-1}10^{k-2}+\ldots+a_{1}10^{0}

=a_{k}\left(1+9k_{n-1}\right)+a_{k-1}\left(1+9k_{n-2}\right)+\ldots+a_{1}\left(1+9k_{0}\right)

Oh ya, k_0=0, jika kamu bertanya

=\left(a_{k}+a_{k}9k_{n-1}\right)+\left(a_{k-1}+a_{k-1}9k_{n-2}\right)+\ldots+a_{1}

=\left(a_{k}+a_{k-1}+\ldots a_{1}\right)+\left(a_{k}9k_{n-1}+a_{k-1}9k_{n-2}+\ldots+a_{2}9k_{1}\right)

Kita mendapatkan

9M=\left(a_{k}+a_{k-1}+\ldots a_{1}\right)+9\left(a_{k}k_{n-1}+a_{k-1}k+\ldots+a_{2}k_{1}\right)

\left(a_{k}+a_{k-1}+\ldots a_{1}\right)=9M-9\left(a_{k}k_{n-1}+a_{k-1}k+\ldots+a_{2}k_{1}\right)

\left(a_{k}+a_{k-1}+\ldots a_{1}\right)=9\left(M-\left(a_{k}k_{n-1}+a_{k-1}k+\ldots+a_{2}k_{1}\right)\right)

So.. jelas \left(a_{k}+a_{k-1}+\ldots a_{1}\right) yang merupakan penjumlahan angka-angka dari bilangan kelipatan 9 juga merupakan kelipatan 9.

 

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Teori Bilangan, Uncategorized and tagged , . Bookmark the permalink.

One Response to Kelipatan 9

  1. Pingback: Kelipatan 4 | Aria Turns

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s