Soal no 8

soal no8

Di postingan Membahas Soal-soal kelas 7 SMP, saya mengatakan bahwa soal no 8 akan dibahas di postingan tersendiri. Inilah postingan tersendiri itu. Bagaimana membuktikan soal diatas?  Jujur saya tidak tahu. Haha.. saya yang sarjana Matematika tidak bisa mengerjakan soal untuk kelas 7 SMP, memalukan bukan? 🙂

Yang akan saya lakukan adalah membuktikan bentuk umumnya. Karena jika kita membuktikan bentuk umumnya maka dengan sendirinya akan membuktikan soal ini.

Jika sisi kiri diubah kedalam bentuk produk dan sisi kanan dirasionalkan maka ketidaksamaan pada soal akan menjadi:

{\displaystyle \prod_{i=1}^{1004}\frac{2n-1}{2n}<\frac{\sqrt{2009}}{2009}}

Bentuk umumnya adalah

{\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\frac{2n-1}{2n}<\frac{\sqrt{2n+1}}{2n+1}}

Nah.. bentuk umum inilah yang akan saya buktikan. Caranya? Dengan menggunakan Induksi Matematika

Langkah I:  Akan dibuktikan untuk n=1.

Itu berarti kita akan membandingkan

\frac{1}{2}\qquad\frac{\sqrt{3}}{3}

Ketika SD, saya diajarkan untuk membandingkan pecahan dengan cara kali silang, diperoeleh:

3\qquad2\sqrt{3}

Kuadratkan kedua sisinya, diperoleh

9\qquad12=4\cdot3.

Selanjutkan kita gunakan sifat berikut

Sifat 1: a<b\Leftrightarrow a^{2}<b^{2} dengan a dan b adalah bilangan real positif/

Diperoleh

9<12\Leftrightarrow3<2\sqrt{3}\Leftrightarrow\frac{1}{2}<\frac{\sqrt{3}}{3}

Terbukti untuk n=1

Langkah II: Diasumsikan untuk n=k berlaku

{\displaystyle \prod_{i=1}^{k}\frac{2k-1}{2k}<\frac{\sqrt{2k+1}}{2k+1}}

Akan dibuktikan untuk n = k + 1 berlaku.

{\displaystyle \prod_{i=1}^{k+1}\frac{2k+1}{2k+2}<\frac{\sqrt{2k+3}}{2k+3}}

Berdasarkan asumsi diketahui

{\displaystyle \prod_{i=1}^{k}\frac{2k-1}{2k}<\frac{\sqrt{2k+1}}{2k+1}}

Kalikan kedua sisi dengan  \frac{2k+1}{2k+2} diperoleh:

{\displaystyle \prod_{i=1}^{k}\frac{2k-1}{2k}\frac{\cdot2k+1}{2k+2}<\frac{\sqrt{2k+1}}{2k+1}\cdot\frac{2k+1}{2k+2}}

{\displaystyle \prod_{i=1}^{k+1}\frac{2k+1}{2k+2}<\frac{\sqrt{2k+1}}{2k+2}}

Perhatikan sisi kanan  ketidak samaan diatas. Kita akan membandingkan sisi kanan dengan \frac{\sqrt{2k+3}}{2k+3}

{\displaystyle \frac{\sqrt{2k+1}}{2k+2}\qquad\frac{\sqrt{2k+3}}{2k+3}}

Lakukan kali silang diperoleh

2k+3\sqrt{2k+1}\quad2k+2\sqrt{2k+3}

Kuadratkan kedua sisi diperoleh.

8k^{3}+28k^{2}+30k+9\qquad8k^{3}+28k^{2}+32k+12

Gunakan kembali sifat 1, diperoleh

{\displaystyle 8k^{3}+28k^{2}+30k+9<8k^{3}+28k^{2}+32k+12\Leftrightarrow{\displaystyle \frac{\sqrt{2k+1}}{2k+2}<\frac{\sqrt{2k+3}}{2k+3}}}

Itu berarti

{\displaystyle \prod_{i=1}^{k+1}\frac{2k+1}{2k+2}<\frac{\sqrt{2k+1}}{2k+2}<\frac{\sqrt{2k+3}}{2k+3}}

{\displaystyle \prod_{i=1}^{k+1}\frac{2k+1}{2k+2}<\frac{\sqrt{2k+3}}{2k+3}}

Terbukti berlaku untuk n=k+1.

Langkah induksi telah lengkap maka dapat disimpulkan  ,

 {\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\frac{2n-1}{2n}<\frac{\sqrt{2n+1}}{2n+1}}

Berlaku untuk semua n\in\mathbb{N}.

Jika dijamin berlaku untuk semua n\in\mathbb{N} tentu saja pasti berlaku untuk n=1004, yang menrupakan bentuk ketidak samaan soal no.8 diatas.

***

Satu pertanyaan tersisa

Adakah cara pembuktian soal no 8 tanpa harus membuktikan bentuk umumnya?

Jika ya, saya amat senang mengetahuinya. Satu hal lagi saya penasaran bagaimana Guru Matematika SMP mengajari, membahas soal ini kepada siswa-siswanya?

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in soal and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

12 Responses to Soal no 8

  1. dhiani says:

    pusing gak ngerti

  2. anang says:

    kurikulum dan soal latihan
    kurang relevan

  3. Zids says:

    pantes aja ya anak2 pd pusing, SD jg apalagi SMA, ada usul utk guru mat, mas aria? Tq

    • Aria Turns says:

      Usul saya: seluruh guru math menolak kurikum 2013 tapi saya sadar usul ini tidak realitis. Yang bisa dilakukan oleh guru ya jalanin aja biar para para pembuat kebijakan menyadari sendori bahwa kebijakan mereka tidak bijak a.k.a ngawur

  4. Rismanto says:

    misalkan
    A = 1/2 x 3/4 x 5/6 x 7/8 x … x 2007/2008
    dan
    B = 2/3 x 4/5 x 6/7 x 8/9 x … x 2008/2009

    karena 1/2 < 2/3 dan 3/4 < 4/5 dan 5/6 < 7/8 dan seterusnya, maka
    A 0, maka
    A^2 < AB
    A^2 < 1/2 x 2/3 x 3/4 x 4/5 x 5/6 x … x 2007/2008 x 2008/2009
    A^2 < 1/2009
    A < (1/2009)^(1/2)
    A < 1/(2009^(1/2))

    hehehehehe

  5. Sungkono says:

    Mas Nursatria, sebelumnya saya mengucapkan terima kasih dengan adanya blog ini. Sangat inspiratif dan aplikatif, saya sudah sekitar 10 bulan mengikuti blog ini.

    Saya kebetulan guru matematika dan kebetulan pula di sekolah tempat saya baru akan menerapkan kurikulum 2013 tahun depan.

    Dari informasi yang saya peroleh untuk kurikulum 2013 memang ada 2 (dua) buku, yaitu: buku untuk siswa dan buku untuk guru. Konon memang guru akan mengalami kesulitan mengajarkan apa yang ada di buku siswa sebelum mengikuti pelatihan/diklat bagaimana cara mengajarkannya (seperti yang ada di buku guru mungkin).

    Soal tersebut memang sulit, saya sudah sangat senang seandainya ada siswa yang mampu membuat conjectur sebagai berikut :
    1) √n/(n+1)<√n/n untuk n bilangan bulat positip. Ini masih mudah dijelaskan untuk anak-anak.
    2) 1/2.3/4.5/6<√7/8 benar, dengan cara menghitung seperti yang Mas Nursatria jelaskan.
    1/2.3/4.5/6.7/8<√9/10
    1/2.3/4.5/6.7/8.9/10<√11/12
    (disini kemungkinan anak akan kesulitan karena tidak berlaku untuk satu suku, dan perkalian dua suku yang pertama)
    3) 1/2.3/4.5/6.7/8.9/10.….2007/2008<√2009/2010 conjectur.
    4) √2009/(2009+1)<√2009/2009=1/√2009 dari 1).
    5) 1/2.3/4.5/6.7/8.9/10.….2007/2008<1/√2009 dari 3) dan 4)

    Sudah barang tentu bukti formalnya, seperti yang sudah Mas Nursatria jelaskan (setelah anak mengenal metode induksi).

    Sekali lagi seandainya saya mengajar materi tersebut, saya sudah sangat sangat senang seandainya ada siswa yang mampu membuat conjectur seperti di atas.

    • Aria Turns says:

      Pertama-tama terimakasi atas pujiannya 🙂
      Dari info yang saya dapat sich emang seperi itu bakal ada 2 jenis bse, satu untuk siswa dan satu lagi untuk guru.
      Soal tersebut meminta siswa untuk mebuktikan lho bukan menduga. Ada soal pembuktian tetapi tidak ada materi pembuktian. Inilah yang membuat saya tidak habis pikir

Leave a Reply to Aria Turns Cancel reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s