01 dan 99

Coba kalian perhatikan:

99^{1}=\mathbf{99}

99^{2}=98\mathit{01}

99^{3}=9702\mathbf{99}

99^{4}=960596\mathit{01}

99^{5}=95099004\mathbf{99}

99^{6}=9414801494\mathit{01}

Sudah terlihat kan polanya? Untuk n genap maka 99^n berakhir di 01, sedangkan untuk n ganjil maka 99^n berakhir di 99.

Sekarang mari kita buktikan bahwa pola tersebut berlaku untuk semua bilangan bulat positif n

Untuk pembuktiannya kita akan menggunakan aritmatika modular. Salah satu teorema adalam aritmatika modular menyatakan

Teorema: jika a\equiv b\pmod k maka a^n\equiv b^n\pmod k

Pertama-tama kita buktikan untuk n genap.

Diketahui 99\equiv -1\pmod {100} berdasakan teorema diatas diperoleh 99^n\equiv -1^n\pmod {100}.

Karena n genap maka 1=-1^n, diperoleh

 99^n\equiv 1\pmod {100}.

Itu berarti untuk n genap, 99^n adalah kelipatan 100 lebih 1. Oleh karena itu 99^n pastilah berakhir di 01.

Selanjutnya, untuk n ganjil.

Untuk n ganjil maka -1=-1^n.

Gunakan teorema diatas diperoleh

99^{n}\equiv-1^{n}\pmod{100}\rightarrow99^{n}\equiv-1\pmod{100}

Jadi untuk n ganjil, 99^n adalah kelipatan 100 kurang 1, yang berarti  99^n berakhir di 99

\square

Dengan cara yang sama kita bisa membuktikan pola untuk 9^n, 999^n bahkan secara umum 999\ldots9^{n}

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in pembuktian, Teori Bilangan and tagged , , , . Bookmark the permalink.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s