1 + 2 + 3 + 4 + · · · = − 1/12

Leonhard_Euler. Sumber: Wikipedia

Leonhard_Euler. Sumber: Wikipedia

Sekitar tahun 1735, Leonhard Euler (1707-1783), salah satu matematikawan terbesar sepanjang sejarah asal Swiss memberikan  bukti  bahwa

1+2+3+4+5+\ldots=-\frac{1}{12}

Mmm…bagaimana mungkin jumlah semua bilangan bulat positif hasilnya adalah pecahan bernilai negatif pula?

Mari kita lihat pembuktiannya

Euler memulai dengan ini

1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\ldots=\frac{1}{1-x}

Buat yang belum tahu, persamaan diatas merupakan bentuk generating function. Kemudian dia menurunkan kedua sisi

1+2x+3x^{2}+4x^{3}+\ldots=\frac{1}{\left(1-x\right)^{2}}

Ambil x=-1 , diperoleh

1-2+3-4+\ldots=\frac{1}{4}

Kemudian Euler menggunakan fungsi berikut:

\zeta\left(s\right)=1^{-s}+2^{-s}+3^{-s}+4^{-s}+\ldots

Fungsi diatas dinamakan Fungsi Riemann Zeta.

Kalikan fungsi tersebut dengan 2^{-s}

2^{-s}\zeta\left(s\right)=2^{-s}+4^{-s}+6^{-s}+8+\ldots

Kemudian dia mengurangi fungsi yang pertama dengan 2 kali fungsi yang kedua

\left(1-2\cdot2^{-2}\right)\zeta\left(s\right)=1^{-s}-2^{-s}+3^{-s}-4^{-s}+\ldots

Ambil s=-1, diperoleh

-3\left(1+2+3+4+\ldots\right)=1-2+3-4+\ldots

Telah diketahui bahwa sisi kanan hasilnya adalah 1/4 maka diperoleh

1+2+3+4+5+\ldots=-\frac{1}{12}

Mungkin pembuktian Euler seperti “gutak-gatuk” deret divergen agar tampak konvergen tetapi pembuktian Euler ini sahih.

Pada bilangan kompleks, fungsi \zeta\left(s\right) terdefinisi / konvergen, jika \Re\left(s\right)>1. Riemann menunjukkan bahwa \zeta\left(s\right) dapat dilakukan kekontiyuan analitik (analytic continuation) yaitu perluasan domain ke \mathbb{C}-\left\{ 1\right\} (semua bilang kompleks kecuali untuk  \Re\left(s\right)=1). Dengan kata lain jika kita melakukan kekontiyuan analitik terhadap \zeta\left(s\right)  maka diperoleh

\zeta\left(-1\right)=1+2+3+4+\ldots=-\frac{1}{12}

Referensi:

John Baez, My Favorite Number 24, 2008

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Complex and tagged , , , . Bookmark the permalink.

4 Responses to 1 + 2 + 3 + 4 + · · · = − 1/12

  1. d.s. Budianto says:

    tapi bukannya persamaan 1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\ldots=\frac{1}{1-x} hanya berlaku untuk -1<X<1 berarti -1 tidak termasuk.

  2. Iwan says:

    Mas, buat artikel tentang Yitang Zhang donk berikut dengan sekilas teorinya. Kayaknya lagi rame!!

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s