Masalah Burnside

Masalah Burnside adalah masalah yang paling berpengaruh didalam Teori Grup yang dilontarkan oleh William Burnside

Definsi: Diberikan grup G,suatu elemen g\in G dikatakan mempunyai order hingga (Finite order) jika terdapa n\in\mathbb{Z} sedemikian hingga g^n=e

Definsi: Grup G dikatakan periodik jika \forall g\in G,\,\exists n\in\mathbb{Z} sedemikian hingga g^n=e. Dengan kata lain semua elemen di G mempunyai order berhingga. Grup periodik dikatakan mempunyai eksponen n , jika \forall g\in G,\, g^{n}=e untuk n tetap atau dengan kata lain setiap elemennya mempunyai nilai order yang sama

(note: e adalah elemen identitas)

Kalian jangan rancu dengan grup siklik, meskipun demikian semua grup siklik berhingga adalah periodik, begitupula dengan grup berhingga pastilah periodik.

Pada tahun 1902, Burside menulis sebuah paper dan didalam papernya, ia melempar pertanyaan.

Diberikan sebarangG grup periodik eksponen n yang dibangun secara berhingga, Apakah G merupakan grup hingga?

Pertanyaan inilah yang dikenal dengan masalah Burnside. Sampai detik ini pertanyaan tersebut bisa dijawab secara untuh. Dalan pengertian belum terpecahkan untuk semua nilai eksponen. Nah untuk menjawab pertanyaannya, Burnside mengkontruksikan sebuah grup sesuai dengan namnaya

Definisi: Grup Brunside B\left(m,n\right)=\mathbb{F}_{m}/\mathbb{F}_{m}^{n}, dengan \mathbb{F}_{m} adalah grup bebas dengan rank m>1 dan \mathbb{F}_{m}^{n} adalah subgrup normal dari \mathbb{F}_{m} yang dibangun oleh f^n dengan f\in\mathbb{F}_{m}.

Nah Grup burnside ini adalah grup periodik grup periodik eksponen n yang dibangun m pembangun. Kita tinggal mencari nilai n dan m sedemikian hingga B\left(m,n\right) adalah grup tak hingga. Jadi masalah burnside bisa ditulis ulang menjadi

Untuk nilai n dan m berapakah sedemikian hingga B\left(m,n\right) merupakan grup hingga?

Dalam paper yang sama, Burnside membuktikan

  • untuk m=1 dan sebarang bilangan bulat positif n maka B(1,n) merupakan grup siklik berorder n
  • B(m,2) adalah 2-grup abelian dari grup berorder 2^m
  • B(m, 3) mempunyai order hingga  \leq3^{m-1}
  • B(2,4) berorder hingga \leq2^{12}.

Barulah ditahun 1968, ditemukan B(m,n) yang tak-hingga untuk n ganjil dan n ≥ 4381. Ditahun 1975 diketahui tidak perlu n ≥ 4381 tetapi cukup n > 665, dan n masih ganjil untuk menjadikan B(m,n) tak-hingga. Ditahun 1995, diketahui B(m,n) tak-hingga untuk m>1 dan n\geq2^{48}. Ditahun 1996 diketahui B(m,n) tak-hingga untuk m>2 dan n genap, dan n\geq2^{48}.

Setelah hampir 110 tahun masalah Burnside dilontarkan ternyata masih menyisakan satu misteri kecil, yaitu B(2,5) yang sampai detik ini belum diketahui apakah berhingga atau tidak.

 

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com **
Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in aljabar abstrak and tagged , , , . Bookmark the permalink.

1 Response to Masalah Burnside

  1. lubis says:

    izin copas mas

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s