Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz

one of the most widely used and most important inequalities in all of mathematics

Ucapan dari Michael Steele yang menunjukan betapa pentingnya pertidaksamaan Cauchy–Schwarz pada Matematika. Pertidaksamaan ini dipakai oleh Aljabar linier, Analisis dan Teori Probabilitas. Sebelum saya membahas pertidaksamaan Cauchy–Schwarz, saya akan membahas sekilas tentang inner product.

inner product

Ada yang menerjemahkan  inner product dengan hasil kali dalam tapi kali ini saya mengunakan istilah aslinya tidak diterjemahkan. Nah.. inner product merupakan genrealisasi dari dot product. Kalau dot product hanya berlaku pada ruang euclid maka Inner Product selain berlaku pada ruang euclid juga berlaku pada ruang vektor atas  \mathbb{C} bilangan kompleks.

Definsi: Suatu Inner product pada ruang vektor V atas lapangan \mathbb{C} merupakan pemetaan

\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle :V\times V\rightarrow\mathbb{C}

untuk sebarang x,y,z\in V dan  \alpha \in \mathbb{C} berlaku aksioma-aksioma sebagai berikut:

  1. \left\langle x,x\right\rangle \geq0 dan akan sama dengan nol jika hanya jika x=0
  2. \left\langle \alpha x,y\right\rangle =\alpha\left\langle x,y\right\rangle
  3. \left\langle x+y,z\right\rangle =\left\langle x,z\right\rangle +\left\langle y,z\right\rangle
  4. \left\langle x,y\right\rangle =\overline{\left\langle y,x\right\rangle } dengan \overline{z} merupakan konjugate kompleks

Dari aksioma-aksioma diatas kita memperoleh sifat-sifat sebgai berikut:

  1. \left\langle x,\alpha y\right\rangle =\overline{\left\langle \alpha y,x\right\rangle }=\overline{\alpha}\overline{\left\langle y,x\right\rangle }=\overline{\alpha}\left\langle x,y\right\rangle
  2. \left\langle x,y+z\right\rangle =\overline{\left\langle y+z,x\right\rangle }=\overline{\left\langle y,x\right\rangle }+\overline{\left\langle z,x\right\rangle }=\left\langle x,y\right\rangle +\left\langle x,z\right\rangle

Nah..sekarang mari kita bahas pertidaksamaan Cauchy–Schwarz

Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz

Diberikan ruang vektor V atas lapangan \mathbb{C} dan x,y,\in V, pertidaksamaan Cauchy–Schwarz menyatakan

\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|^{2}\leq\left\langle x,x\right\rangle \left\langle y,y\right\rangle

dengan \left|\cdot\right| adalah modulus bilangan kompleks

Bukti:

Diberikan ruang vektor V atas lapangan \mathbb{C} yang dilengkapi dengan inner product. Ambil sebarang x,y,\in V dan \alpha\in\mathbb{C}. Berdasarkan aksioma ke-1 dari inner product diperoleh

0\leq\left\langle x-\alpha y,x-\alpha y\right\rangle

kita jabarkan sisi kanan  dipeoleh

0\leq\left\langle x,x\right\rangle -\left\langle x,\alpha y\right\rangle -\left\langle \alpha y,x\right\rangle +\left\langle \alpha y,\alpha y\right\rangle

Gunakan aksioma ke-2 dan sifat ke-1 dari inner product diperoleh

0\leq\left\langle x,x\right\rangle -\overline{\alpha}\left\langle x,y\right\rangle -\alpha\left\langle y,x\right\rangle +\alpha\overline{\alpha}\left\langle y,y\right\rangle

subtitusi \alpha=\left\langle x,y\right\rangle \left\langle y,y\right\rangle ^{-1} diperoleh

0\leq\left\langle x,x\right\rangle -\left\langle x,y\right\rangle \left\langle y,x\right\rangle \left\langle y,y\right\rangle ^{-1}

0\leq\left\langle x,x\right\rangle -\left\langle x,y\right\rangle \overline{\left\langle x,y\right\rangle }\left\langle y,y\right\rangle ^{-1}

0\leq\left\langle x,x\right\rangle -\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|^{2}\left\langle y,y\right\rangle ^{-1}

(Ingat: didalan bilangan kompleks \left|z\right|^{2}=z\overline{z})

0\leq\left\langle x,x\right\rangle \left\langle y,y\right\rangle -\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|^{2}

\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|^{2}\leq\left\langle x,x\right\rangle \left\langle y,y\right\rangle

QED

pertidaksamaan Cauchy–Schwarz juga ditulis sebagai berikut

\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|\leq\left\Vert x\right\Vert \left\Vert y\right\Vert

dengan mendefinsikan norm vektor \left\Vert x\right\Vert =\sqrt{\left\langle x,x\right\rangle }.

Didalam ruang euclid \mathbb{R}^{n} dengan inner productnya adalah dot product maka pertidaksamaan Cauchy–Schwarz menjadi:

\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)

 

PS: Ini tulisan saya pertama di tahun 2011, so selamat tahun baru 🙂

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com **

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Analisis and tagged , , , . Bookmark the permalink.

16 Responses to Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz

  1. Kata Bu Sri Wahyuni, teorema ini sangat bermanfaat untuk mendefinisikan suatu sudut. Iya g mas? hehe… Kalau diberikan dua buah vektor pada ruang vektor \mathbb{R}^2 atau yang lebih besar dimensinya, kita dapat merepresentasikan vektor tersebut dalam bentuk segmen garis berarah, jadi kita bisa definisikan sudutnya. Nah, bagaimana mendefinisikan sudut antara dua buah vektor pada ruang vektor yang isinya adalah fungsi-fingsi kontinu? Bingung pasti kalau hatus menentukan sudut antara dua buah fungsi. Teorema ini tugasnya, salah satunya, bisa menjelaskan sudut dalam suatu ruang vektor. ^^

  2. Ramlah Hidayat says:

    maaf mas sya mau nanya sama engga pembuktian diatas sama pembuktian yang ini : |x.y|≤‖x‖.‖y‖

  3. Abdulloh says:

    kan inner product space dengan inner product mas. nah, kalo inner product aja apakah beda dengan inner produk space?

  4. aab says:

    beda ya mas dengan inner product space?
    tapi setahu saya, yang didefinisikan di atas itu adalah inner product space (ruang hasil kali dalam). mohon penjelasannya, karena saya sendiri kurang begitu faham. 🙂

  5. singgih says:

    salam kenal mas.. saya singgih..mas saya mau nanya ruang euclid tuh apa ya???terus simbol klo diuraikan tuh seperti apa??klo bisa kasih contoh mas??thank…lagi belajar analisis dasar mas…^_^

  6. Api Kecil says:

    manfaat praktisnya apa tuh bro? (hehe. maklum, pemula, butuh motivasi praktis. 🙂 )

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s