Teorema Cayley

Permutasi dari himpunan A adalah cara menyusun secara berurutan elemen-elemen pada A.

Contoh: Himpunan {a.b,c} mempunyai 3!=6 permutasi, 6 cara menyusun secara berurutan. Ke-6 permutasi tersebut adalah

(a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a) ,(c,b,a) dan (c,a,b)

Jadi kita bisa menyusun a terlebih dahulu selanjutnya c dan terakhir  b, atau b terlebih dahulu, selanjutnya a dan yang terakhir c. atau cara lainnya. Yang jelas ada 6 permutasi, 6 cara menyususun secara berurutan 3 buah objek. Secara umun ada n! permutasi pada himpunan beranggotakan n elemen.

Dalam kacamata aljabar abstrak atau tepatnya Teori Grup, permutasi adalah fungsi bijektif dari A ke A sendiri

\sigma:A\rightarrow A

Himpunan permutasi adalah himpunan yang beranggotakan fungsi-fungsi bijektif dari A ke A. Nah..ternyata himpunan permutasi bisa kita anggap sebagai grup dengan operasi binernya adalah fungsi komposisi. Kita tahu komposisi dari 2 buah fungsi adalah fungsi pula dan komposi fungsi bersifat asosiatif. Elemen indentitasnya tentu saja fungsi identitas. Jelas mempunyai invers, setiap fungsi bijektif pasti mempunyai invers.

Definsi: Grup permutasi adalah grup yang berisikan permutasi-permutasi dari suatu himpunan A dengan fungsi komposisi sebagai operasi binernya.

Jadi himpunan fungsi-fungsi bijektif dari A ke A (baca: permutasi) merupakan grup. Bagaimana sebaliknya? Apakah grup juga merupakan fungsi-fungsi bijektif dari A ke A? Menurut Teorema Cayley jawabannya “ya”.

Teorema Cayley: Setiap grup isomorfis ke grup permutasi

Teorema Cayley menempatkan semua grup pada konsep yang sama, yaitu sebagai himpunan fungsi-fungsi bijektif.

Bukti: Cara membuktikannya adalah dengan menunjukan sebarang grup G dapat dikontruksikan grup permutasi dari G kemudian menujukan G isomorfis ke grup permutasi tersebut.

Diberikan G grup ,Untuk sebarang g\in G didefinsikan fungsi

\sigma_{g}:G\rightarrow G

sebagai berikut:  \sigma_{g}=gx, untuk semua x\in G.

Jadi kita mengaggap perkalian kiri elemen-elemen dari G oleh g sebagai fungsi.  Jelas \sigma_{g} mempunyai invers yaitu  \sigma_{g^{-1}}.   Untuk semua y\in G jelas terdapat x\in G sedemiakian hingga  y=\sigma_{g}\left(x\right)=gx, terbukti \sigma_{g} surjektif. Selanjutnya  \sigma\left(x\right)=\sigma\left(y\right) maka gx=gy jika hanya jika x=y. Terbukti \sigma_{g} injektif. Telah kita buktikan  \sigma_{g} merupakan permutasi.

Didefinsikan  H=\left\{ \sigma_{g}|g\in G\right\} . Nah H inilah yang merupakan grup permutasi dari G. Selanjutnya akan ditunjukan G dan H isomorfis.

Didefinsikan  \Phi:G\rightarrow H sebagai berikut  \Phi\left(g\right)=\sigma_{g} untuk semua g\in G. Untuk membuktikan \Phi isomorfisma, kita harus membuktikan 3 hal berikut:

  • \Phi Homomorfisma

untuk sebarang g,h\in G berlaku

\Phi\left(gh\right)=\sigma_{gh}\left(x\right)=ghx=\sigma_{g}\left(hx\right)=\left(\sigma_{g}\sigma_{h}\right)\left(x\right)=\left(\Phi\left(g\right)\Phi\left(h\right)\right)\left(x\right)

  • \Phi Surjektif

Jelas untuk sebarang \sigma_{g} akan selalu terdapat g\in G sedemikian hingga \Phi\left(g\right)=\sigma_{g}

  • \Phi Injektif

\Phi\left(g\right)=\Phi\left(h\right) maka gx=hx, Itu berarti g=h.

Terbukti \Phi Isomorfisma.

QED

 

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**


 

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in aljabar abstrak, pembuktian and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

5 Responses to Teorema Cayley

  1. Rinna Samra says:

    oh iya, kalau grup nya tak hingga gimana mas? contoh grup bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan. Apakah akan isomorfik juga ke grup permutasi?

  2. Rinna Samra says:

    Makasi banyak ya gan tulisannya. Ngebantu banget buat skripsi ane :’)

  3. meutia says:

    maaf..mau numpang tanya nih..
    saya dikasih tugas sama dosen saya di mata kuliah graf..
    saya diminta mencari tahu bagaimana cara kerja teorema cayley ini untuk sembarang graf dengan 5 vertex. saya sudah coba cari bahan melalui “googling” tapi saya masih belom ngerti.
    mohon bantuannya ya, ^^

  4. homo-topi says:

    Ada yang heboh kah di grup permutasi?

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s