Himpunan Kompak, apanya yang kompak?

Ada yang meminta saya untuk membahas himpunan kompak. Konsep kekompakan memegang peranan pentinng dalam analisis dan Topologi. Mengingat bidang saya aljabar bukan analisis ataupun Topologi, pemahaman saya mengenai himpunan kompak tidaklah mendalam (Atau bahkan mungkin salah). Jadi disini kita sama-sama belajar mengenai himpunan kompak, okey 🙂

Untuk memahami apa itu himpunan kompak, terlebih dahulu kita harus paham mengenai “Liput” (Cover) Pada matematika.

Diberikan himpunan tak-kosong X, tentunya kita bisa membuat subhimpunan-subhimpunan(tak-kosong) dari X. Kemudian kita gabungkan subhimpunan-subhimpunan tersebut, sebut saja C yaitu gabungan subhimpunan-subhimpunan dari X. Nah.. C dikatakan liput (cover) jika C memuat X.

Contoh: Himpunan {a,b} mempunyai 5 liput, yaitu:

{{a},{b}}

{{a},{b},{a,b}}

{{a},{a,b}}

{{b},{a,b}}

{a,b}

Himpunan sigleton {x} liputnya adalah himpunan {x} itu sendiri

So..suatu himpunan bisa saja mempunyai beberapa liput, bahkan bisa saja suatu himpunan mempunyai liput yang tak-hingga banyaknya . Suatu himpunan dikatakan mempunyai liput berhingga jika banyaknya liput berhingga

Diberikan C liput dari X, subhimpunan dari C dikatakan subliput dari C jika subhimpunan tersebut juga merupakan liput dari X.

Contoh: himpunan {{a},{b},{a,b}} merupakan liput dari {a,b} maka {{b},{a,b}} merupakan subliput dari {{a},{b},{a,b}}

Suatu liput dikatakan liput terbuka jika liput tersebut himpunan terbuka, (terminolgi himpunan terbuka bisa secara topologi ataupu ruang metrik).

Nah..sekarang barulah kita bahas himpunan kompak

Definisi: Himpunan Kompak adalah suatu himpunan (pada ruang topologi atau ruang metrik) yang setiap liput terbukanya mempunyai subliput berhingga.

Perlu diperhatikan definisinya berkata: SETIAP liput terbukanya bukan beberapa liput terbukanya. Karena bisa saja suatu himpunan mempunyai beberapa  liput terbuka yang subliputnya berhingga dan liput terbuka sisanya   mempunyai subliput tak-hingga, himpunan tersebut tidaklah kompak.

Didalam himpunan bilangan real, berdasarkan Teorema Heine–Borel, yang dimaksud kompak adalah tertutup dan terbatas. So interval [-10,0],  [12,99], [0,1] ketiganya merupakan himpunan kompak

Untuk contoh himpunan kompak silahkan lihat di sini.

———————————————————————————————————————————————

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Analisis, Topologi and tagged , , , . Bookmark the permalink.

7 Responses to Himpunan Kompak, apanya yang kompak?

  1. misno says:

    buktikan i=[0,1] kompak. mohon bantuan nya min

  2. samsul says:

    saya mau tanya, apakah ruang barisan I_p merupakan himpunan kompak ? trima kasih

  3. Aleams says:

    BTW, istilah liput untuk cover ini di pakai di UGM? Saya tidak tahu sih istilah yang standard buat cover.

    • Aria Turns says:

      Di Math UGM, materi tentang himpunan kompak ada pada mata kuliah Pengantar analilis Abstrak, yang pada jaman saya diampu oleh Prof., Dr. Soeparna Darmawijaya. Nah…beliau menggunakan istilah Liput untuk menerjemahkan Cover.

  4. novi jusanto says:

    bos…punya buku yang berkaitan dengan kekompakan gak bos (lengkap bos)…

    kalo ada… saya min jdul or situs nya yabos….makasih banyak

    Tolong kirim ke email aja ya bos…….

    dang_novi@ymail.com

  5. homo-topi says:

    Justru gua pengen loe tulis di blog loe ini tentang COMPACTIFICATION dari ruang topologi tet!!!!! Heeeeeee

  6. homo-topi says:

    Definisi 1.
    Misalkan X adalah ruang topologi. Sebuah liput dari X adalah koleksi himpunan bagian dari X, katakan C yang memenuhi sifat bahwa X dapat dinyatakan sebagai gabungan dari semua anggota C.

    Berikut diberikan beberapa remark pada liput C dari ruang topologi X yaitu sebagai berikut.

    Remark 1.1.
    Jika C terdiri dari koleksi himpunan buka dari X, maka C dikatakan liput buka dari X.

    Remark 1.2.
    Jika C terdiri dari sebanyak hingga himpunan bagian dari X, maka C dikatakan liput hingga dari X.

    Remark 1.3.
    Diberikan X adalah ruang topologi dan Y adalah subruang dari X. Sebuah liput dari Y adalah koleksi himpunan bagian dari Y yang gabungannya memuat Y.

    Definisi 2.
    Ruang topologi X dikatakan kompak jika setiap liput buka dari X memuat liput bagian berhingga.

    Berikut adalah beberapa remark dari Definisi 2 yaitu sebagai berikut.

    Remark 2.1.
    Liput bagian berhingga dalam Definisi 2 terdiri dari himpunan buka dari X.

    Remark 2.2.
    Diberikan X adalah ruang topologi dan Y adalah subruang dari X. Subruang Y dikatakan kompak jika untuk setiap liput buka dari Y memuat liput bagian berhingga.

Leave a Reply to Aleams Cancel reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s