Teorema Isomorfisma Pertama

Okey kita lupakan sejenak apakah Teorema Fundamental Homomorfisma (The Fundamental homomorphism Theorem) sama dengan  Teorema Isomorfisma Pertama (First Isomorphism Theorem). Kali ini saya mau membahas Teorema Isomorfisma Pertama, Lho kenapa bukan Teorema Fundamental Homomorfisma? Karena dari semua literatur aljabar yan saya baca tidak terdapat perbedaan, semuanya satu suara mengenai Teorema Isomorfisma Pertama

Diberikan Homomorfisma grup \phi:G\rightarrow G' maka akan terbentuk

  1. K=\ker\phi kernel dari \phi
  2. \phi\left[G\right] image dari \phi, dengan mudah dapat kita tunjukan \phi\left[G\right] merupakan subgrup dari G
  3. Karena kernel K merupakan subgrup normal maka terbentuk grup faktor G/K

Teorema Isomorfisma Pertama mengatakan bahwa \phi\left[G\right] dan G/K isomorfis.

Teorema Isomorfisma Pertama: Diberikan Homomorfisma grup \phi:G\rightarrow G' dengan kernel K dan homomorfisma natural G\rightarrow G/K maka terdapat isomorfisma \mu:G/K\rightarrow\phi\left[G\right].

Jika dibuatkan diagaramnya maka teorema tersebut akan tampak sebagai  berikut

Bukti:

KIta definisikan \mu:G/K\rightarrow\phi\left[G\right], dengan \mu\left(gK\right)=\phi\left(g\right). Pertama-tama kita tunjukan \mu well-defined. Caranya? Ambil g_1 dan  g_2  dua buah elemen di G yang termuat didalam koset yang sama, dengan kata lain g_1K=g_2K, akan kita tunjukan \mu\left(g_{1}K\right)=\mu\left(g_{2}K\right)

g_{1}K=g_{2}K

g_{1}^{-1}g_{2}\in K

\mu\left(g_{1}^{-1}g_{2}\right)=e_{G'}

\mu\left(g_{1}\right)^{-1}\mu\left(g_{2}\right)=e_{G'}

\mu\left(g_{2}\right)=\mu\left(g_{1}\right)

Yang berakibat kesamaan dari

\mu\left(g_{2}K\right)=\mu\left(g_{1}K\right)

Selanjutnya kita verivikasi \mu merupakan homomorfisma. ambil 2 buah koset g_1K dan g_2K maka

\mu\left(g_{1}K\cdot g_{2}K\right)

\mu\left(g_{1}g_{2}K\right)  (Operasi pada G/K)

\phi\left(g_{1}g_{2}\right) (definisi dari \mu)

\phi\left(g_{1}\right)\phi\left(g_{2}\right) (\phi homomorfisma)

\mu\left(g_{1}K\right)\mu\left(g_{2}K\right) (definisi dari \mu)

Yang terakhir kita buktikan \mu isomorfisma (yaitu bijektive)

  • Injektif

Ambil g_1K,g_2K\in G/K dengan \mu\left(g_{1}K\right)=\mu\left(g_{2}K\right). Itu artinya  \phi\left(g_{1}\right)=\phi\left(g_{2}\right) . Karena \phi homomorfisma diperoleh \phi\left(g_{1}^{-1}g_{2}\right)=e_{G'} berakibat  g_{1}^{-1}g_{2}\in K. Ambil g_{1}^{-1}g_{2}=k\in K maka g_{2}=g_1k\in g_1K. Diperoleh g_{2}\in g_{1}K\cap g_{2}K yang berakibat g_{1}K=g_{2}K

  • Surjektif

Ambil sebarang y\in \phi\left[G\right] maka terdapat x\in G sedemikian hingga \phi\left(x\right)=y. Karena \gamma_{K} memetakan x ke xK diperoleh

\mu\left(xK\right)=\phi\left(x\right)=y

QED

Contoh

Diberikan homomorfisma \theta:\,\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}_{n} dengan \theta\left(m\right) adalah sisa dari pembagian m dengan n berdasarkan algoritma pembagian. Diperoleh n\mathbb{Z} kernel dari \theta maka berdasarkan terorema Isomorfisma Pertama diketahui \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} isomorfik ke \theta\left(\mathbb{Z}\right)=\mathbb{Z}_{n}

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in aljabar abstrak, pembuktian and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

9 Responses to Teorema Isomorfisma Pertama

  1. SUSANTI DO ALI says:

    bisa bantu saya untuk teorema isomorfis ketiga beserta buktinya? atas bantuannya saya ucapkan terima kasih.

  2. dibaca ap in G/K? atauu ap mksudx it…

  3. hikber says:

    bagaimana dengan jika f suatu homomorfisma dari grup G onto ke grup G’ dengan kernel I, maka G/I isomorfik dengan G’ buktinya masih sangat bingunhgg,,,,

  4. arman says:

    thanks ilmu nya,.. mas, ada refernsi gak untuk pembuktian isomorfisma grup Spesial ortogonal (3) dan spesial uniter (2).
    sblmnya terima kasih, mas 🙂

  5. wiangga0409 says:

    oh jadi begitu ya, ya saya jadi mengerti sekarang bahwasanya saya benar benar tidak mengerti matematika. tapi aku senang membaca ini, jadi merasa ikut pintar, gpp kan? 🙂

    • Aria Turns says:

      Ini materi kul saya, wajar kalo mbak gak ngerti. Saya hanya menuliskan apa yang yang saya dapat waktu kuliah, apa itu artinya saya pintar? Gak kan Mbak..

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s