Kategori, abstraksi dari fungsi

Fungsi Pada Himpunan

Seperti judul postingan ini “Kategori, abstraksi dari fungsi”. Saya akan memulai tulisan ini dengan membahas fungsi antar himpunan. Saya yakin sudah tahu apa itu fungsi, jadi saya tak perlu menjelaskan panjang lebar.

Diberikan fungsi f dari himpunan A ke himpunan B, dinotasikan

f:\, A\rightarrow B

Yang artinya f terdefinisi di semua elemen A serta semua nilai f termuat di B. Himpunan A  dikatakan domain sedangkan himpunan B dikatakan codomain

Nah.. andaikan kita punya fungsi  g:\, B\rightarrow C

maka terdapat fungsi komposisi g\circ f:\, A\rightarrow C, yang didefinisikan

g\circ f\left(a\right)=g\left(f\left(a\right)\right),\: a\in A.

Notasi \circ menotasikan komposisi dari 2 fungsi. Fungsi komposisi bersifat asosiatif, jika kita mempunyai h:\, C\rightarrow D maka

\left(h\circ g\right)\circ f=h\circ\left(g\circ f\right)

Karena untuk semua a\in A maka

\left(h\circ g\right)\circ f\left(a\right)=h\left(g\left(f\left(a\right)\right)\right)=h\circ\left(g\circ f\left(a\right)\right)

Untuk lebih jelasnya perhatikan diagram berikut

Dari diagaram diatas, jelas \left(h\circ g\right)\circ f dan h\circ\left(g\circ f\right) adalah 2 fungsi yang identik, artinya mempunyai nilai yang sama.

Selanjutnya setiap himpunan A mempunyai fungsi identitas

1_{A}:\, A\rightarrow A

yang didefinisikan

1_{A}\left(a\right)=a,\:\forall a\in A

Fungsi identitas berlaku layaknya “unit” untuk operasi komposisi “\circ” seperti dalam terminologi aljabar abstrak. Itu artinya

f\circ1_{A}=1_{B}\circ f

Untuk setiap f:\, A\rightarrow B


Definisi Kategori

Selanjutnya kita abstrakkan semua hal yang telah kita bahas. Kita abstrakkan fungsi, kita abstrakkan fungsi komposis dan kita abstrakan fungsi indentitas. Hasil dari semua yang kita abstrakkan itulah yang dinamakan kataegori.

Definisi: Kategori (Category) memuat 2 hal

Objek A,B,C,D\ldots

Panah (Arrows beberapa literatur menamakan morphism)  f,g,h\ldots. Dengan setiap panah f memuat 2 buah objek: domain dan codomain. Dinotasikan:

f:\, A\rightarrow B

Objek A dikatakan domain, dan onjek B dikatakan codomain

Selain memuat objek dan panah, kategori harus memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut

panah komposisi

Diberikan panah f:\, A\rightarrow B dan panah g:\, B\rightarrow C maka terdapat panah

g\circ f:\, A\rightarrow C

panah komposisi bersifat asosiatif

untuk setiap f:\, A\rightarrow B, g:\, B\rightarrow C dan h:\, C\rightarrow D maka

\left(h\circ g\right)\circ f=h\circ\left(g\circ f\right)

Terdapat panah identitas

Setiap objek A terdapat panah

1_{A}:\, A\rightarrow A

Yang mempunyai sifat

f\circ1_{A}=1_{B}\circ f

Untuk setiap f:\, A\rightarrow B

Oya satu hal yang perlu saya tegaskan, panah tidak selalu  fungsi dan objek tidak selalu himpunan. Pokoknya segala hal yang menghubungkan sesutu a ke sesuatu b bisa dianggap sebagai panah dan  kedua sesuatu tersebut a dan b bisa dianggap sebagai objek. Dalam sudut pandang ini kita bisa menganggap kategori sebagai algebra of functions.

Contoh Kategori

  • Semua grup dan semua homomorfisma
  • Semua ruang vektor dan semua transformasi linier
  • semua ruang topologi dan semua pemetaan kontinyu
  • semua poset dan semua fungsi kontinyu
  • semua graph dan semua homomorfisma graph
  • dll

Sebenarnya semua himpunan terstruktur didalam matematika (seperti yang saya sebutkan diatas) dan semua fungsi yang melekat pada himpunan terstruktur tersebut (structure-preserving functions) bisa dipandang sebagai kategori. Dengan kategori kita bisa memandang suatu himpunan terstruktur dengan lebih luas serta melihat hubungan suatu himpunan terstruktur dengan himpunan terstruktur lainnya

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in aljabar abstrak and tagged , , , . Bookmark the permalink.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s