Himpunan kosong merupakan himpunan terbuka dan tertutup

Didalam ruang metrik (begitupula didalam topologi) kita tahu jika A merupakan himpunan terbuka maka A^c adalah himpunan tertutup. Dengan kata lain himpunan tertutup merupakan komplement dari himpunan terbuka, begitu pula sebaliknya. Nah..ajaibmya himpunan kosong (notasi: \emptyset) merupakan himpunan terbuka dan juga tertutup. Mmm..sepertinya mustahil bukan? Mari.. akan saya jelaskan.

Pertama-tama saya akan menunjukan himpunan kosong merupakan himpunan terbuka.

Definisi 1: Himpunan A dikatakan terbuka jika semua anggotanya merupakan titik dalam dari A

Itu berarti untuk mempuktikan himpunan kosong merupakan himpunan terbuka, kita harus membuktikan

\forall x\in\emptyset maka x merupakan titik dalam dari \emptyset

Jelas antisedennya salah. Seperti yang sudah saya katakan, kalimat implikasi akan bernilai benar jika antisedennya salah.

Jadi terbukti himpunan kosong adalah himpunan terbuka.

Selanjutnya akan ditunjukan himpunan kosong merupakan himpunan tertutup.

Ada beberapa definisi dari himpunan kosong, tentunya kesemua definisi tersebut ekuivalen. Untuk membuktikan himpunan kosong merupakan himpunan tertutup, saya akan memakai definisi himpunan tertutup sebagai berikut

Definisi 2: Himpuanan A dikatakan tertutup jika memuat semua titik batasnya

Jika kita notasikan \partial\left(A\right) sebagai himpunan semua titik batas dari A maka untuk membuktikan himpunan kosong merupakan himpunan tertutup, kita harus membuktikan

\partial\left(\emptyset\right)\subseteq\emptyset

Nah..sekarang pertanyaanya: apakah \partial\left(\emptyset\right)? apa isi dari \partial\left(\emptyset\right)?

Jelas \partial\left(\emptyset\right) merupakan himpunan kosong pula

So..\partial\left(\emptyset\right)=\emptyset\subseteq\emptyset

\therefore himpunan kosong merupakan himpunan terbuka dan tertutup.

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Analisis and tagged , , , , , . Bookmark the permalink.

8 Responses to Himpunan kosong merupakan himpunan terbuka dan tertutup

  1. misno says:

    buktikan setiap himpunan tak hingga A subset dari R yang terbatas paling tidak mempunyai satu titik limit

  2. dwi says:

    kak tambah y…..

  3. dwi says:

    ada yg lebih lengkap rangkumannya

    soalnya saya ada tugas
    tolong y di tambah keterangannya

  4. rudi_nitro says:

    JADI APA KALAU HIMPUNAN KOSONG DIGABUNG ATAU DIIRIS KEHIMPUNAN BILANGAN ASLI??

  5. Kiki says:

    kakak RUMUS Susah untuk di mengerti anak-anak

  6. Luvin says:

    kenapahimpunan ksong selalu ada di setiap himpunan ???
    tq

Leave a Reply to Luvin Cancel reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s