Mengapa himpunan bilangan kompleks tidak dapat diurutkan

Kita tahu bahwa himpunan bilangan real \mathbb{R} dilengkapi relasi urutan. Artinya jika kita ambil sebarang 2 elemen a dan b di  \mathbb{R}, kita bisa membandingkan apakah a\leq b atau a\geq b? Akan tetapi hal tersebut tidak berlaku di himpunan bilangan kompleks  \mathbb{C}. Di \mathbb{C} tidak berlaku relasi urutan. Kita tidak bisa membandingkan dua buah elemen di \mathbb{C}, notasi x\leq y tidak ada artinya di \mathbb{C}.

Mengapa begitu? Mengapa relasi urutan tidak bisa dikenakan di \mathbb{C}? Dua buah buku analisis kompleks yang saya miliki, Complex Variables and Applications, Churchill dan Complex Variables for scientist and engineers, Pallouras sama sekali tidak memberi penjelasan kenapa di himpunan bilangan kompleks tidak berlaku relasi urutan. Nah.. di postingan inilah saya akan menjelaskannya.

Lapangan Terurut

Kita tahu \mathbb{R} merupakan lapangan dan dilengkapi dengan relasi urutan. Nah..lapangan yang seperti itu, yang dilengkapi dengan relasi urutan disebut lapangan terurut (ordered Field) .

Definisi: lapangan F disebut lapangan terurut jika F dilengkapi dengan relasi urutan yang memenuhi

1) (\forall x,y,z\in F)\, x\leq y maka x+z\leq y+z.
2) (\forall x,y,z\in F)\, 0\leq z, dan x\leq y maka zx\leq zy.

Sebenarnya aksioma 1 dan aksioma 2 pada definisi diatas merupkan akibat alami dari relasi urutan. Jika suatu lapangan dilengkapi dengan relasi urutan maka secara alami akan muncul aksioma 1 dan aksioma 2.

Nah..sekarang bagaimana kita mengetahui suatu lapangan apakah merupakan lapangan terurut atau tidak?

Teorema: Lapangan F adalah lapangan terurut jika hanya jika -1\in F bukan merupakan penjumlahan kuadrat dari elemen-elemen di F

Apa yang dimaksud dengan penjumlahan kuadrat? Diberikan lapangan F dan a\in F, elemen a dikatakan penjumlahan kuadrat jika a=\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2} dengan  x_i\in F.

Nah..sekarang jelas kenapa \mathbb{C} tidak bisa dikenakan relasi urutan. Karena i^2=-1 merupakan penjumlahan kuadrat. Jadi untuk mengetahui apakah suatu lapangan F terurut atau tidak, kita tinggal melihat apakah -1\in F merupakan penjumlahan kuadrat atau tidak.

Note:

Relasi urutan yang saya maksud adalah relasi urutan total

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in aljabar abstrak, Complex and tagged , , , , , , . Bookmark the permalink.

15 Responses to Mengapa himpunan bilangan kompleks tidak dapat diurutkan

  1. CandR7 says:

    Tidak bisa diurutkan???
    Iya c tdk bisa dibandingkan
    Tapi antara modulus bilangan kompleks yang satu dengan yang lainnya kan bisa dibandingkan
    Apakah itu gk bisa dijadikan perbandingan pada Bilangan Kompleks

  2. ariyanto says:

    di aljabar dua buah “struktur” dikatakan homeomorfik apabila dia well difined dan bijektif,implikasinya dua “struktur tsb memiliki “kemiripan sifat” alias ekuivalen.karena bil komplex homoemorfik dgn R2,krn R2 tdk memiliki sifat urutan otomatis bil komplex pun begitu.contoh (1,2) lebih kecil atau besar mana dgn (2,1)???? hehehehe

    • Aria Turns says:

      Mungkin yang anda maksudkan adalah Isomorfik karena Homeomorfik adalah istilah dalam Topologi. 2 buah struktur aljabar dikatakan Isomorfik jika keduanya ekuivalen. Apakah \mathbb{C} dan \mathbb{R}^{2} isomorfik? Tidak, karena polinomial x^2+1 mempunyai akar di \mathbb{C} tetapi tidak d \mathbb{R}^{2}.
      Hal tersebut menunjukan \mathbb{C} dan \mathbb{R}^{2} tidak mempunyai sifat yang sama

  3. ariyanto says:

    bagusnya,himpunan bil komplex C homomorfisma dengan ruang Euclide R pangkat 2.hehehe tdk tau juga benar atau salah ya soale lelet matematika.tulisan njenengan terus terang sangat mencerahkan bagi kami yg lelet dan membantu dikit memehami math.trims

  4. ansar says:

    Note:
    Relasi urutan yang saya maksud adalah relasi urutan total

    maksudnya mas?? apakah ada relasi urutan yang lain?
    mohon dijelaskan!
    makasih.

  5. aji says:

    mas, tolong jelaskan mengapa sembarang bilangan riil termasuk bilangan kompleks, misal nya 5. tolong kalo bisa jelasin dengan cara mudah dan kalo ada cara sulitnya,…
    makasih sebelumnya….

    • Aria Turns says:

      Ya karena himpunan bilangan real merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan kompleks
      Analoginya
      bil real = jawabarat
      bil kompleks= Indonesia
      Jelas semua penduduk jawabarat merupakan penduduk Indonesia

  6. Daddo says:

    Minta Penjelasan kenapa i^2 = -1 merupakan penjumlahan kuadrat …

  7. mawi wijna says:

    -1 yang sampeyan maksud, adalah invers dari elemen satuan toh?

  8. terimakasih penjelasannya mas, cukup untuk menjawab keheranan saya selama ini. kebetulan saya kuliah di jurusan matematika, heheee.. ditunggu artikel-artikel lainnya yahh 🙂

Leave a Reply to Aria Turns Cancel reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s