lapangan perluasan

Lapangan perluasan (Field Extension) adalah cara memperluas suatu lapangan.  Lapangan perluasan atau perluasan dari lapangan K adalah suatu lapangan E dengan K adalah sublapangan dari E. Dinotasikan E:K beberapa literatur menotasikan E/F.

Contoh 1: Himpunan bilangan kompleks \mathbb{C} merupakan lapangan perluasan dari himpunan bilangan real \mathbb{R}. Begitupula \mathbb{R} merupakan lapangan perluasan dari himpunan bilangan rasional \mathbb{Q}

Lapangan perluasan dari Lapangan K bisa juga didefinisikan sebagai lapangan F yang terdapat homomorfisma \varphi:K\rightarrow F. Dua definisi tersebut ekuivalen berdasarkan isomorfisma, Jika K adalah sublapangan dari E dan E\cong F maka terdapat homomorfisma K ke F. Sebaliknya jika \varphi:K\rightarrow F adalah homomorfisma maka Im\,\varphi\cong K merupakan sublapangan dari F, terdapat juga lapangan E\cong F sedemikian hingga K merupakan sublapangan dari E.

Derajat

Lapangan perluasan E dari lapangan K bisa dipandang sebagai ruang vektor atas K

Teorema 1: Lapangan perluasan E:K merupakan ruang vektor E atas K

Karena E:K bisa dipandang sebagai ruang vektor, itu berarti E mempunyai dimensi. Nah dimensi didalam lapangan perluasan disebut derajat, dinotasikan \left[E:K\right]

Contoh 2\left[\mathbb{C}:\mathbb{R}\right]=2 dan \left[\mathbb{R}:\mathbb{Q}\right] tak hingga

Lapangan perluasan E:K dikatakan berhingga jika derajatnya berhingga, atau disebut juga E berhingga atas K, bukan berati banyaknya elemen E berhingga lho.

Perluasan Sederhana

Kita tahu bahawa irisan suatu lapangan dengan lapangan adalah lapangan pula. Diberikan E:K dan S himpunan bagian dari S. Irisan dari semua sublapangan dari E yang memuat K dan S merupakan sublapangan terkecil yang memuat K dan S. Irisan tersebut dinamakan lapangan bagian yang dibangun oleh K dan S

Definisi: Lapangan perluasan E:K dikatakan dibangun secara berhingga jika E=K\left(s_{1},s_{2}\ldots s_{n}\right) untuk suatu s_{1},s_{2}\ldots s_{n}\in S dan dikatakan sederhana jika E=K\left(s\right) untuk suatu s\in S

Teorema selanjutnya akan menjelaskan bagaimana lapanganga perluasan sederhana dikontruksikan.

Teorema 2: Diberikan lapangan K dan E=K[x]/q(x) dengan q(x)\in K[x] adalah polinomial monik iredusibel berderajat n dengan q\left(\alpha\right)=0 untuk suatu \alpha\in E maka berlaku

1) E adalah lapangan perluasan sederhana dengan E=K\left[\alpha\right]=K\left(\alpha\right).

2) E mempunyai basis 1,\alpha,\alpha^{2}\ldots\alpha^{n-1} dengan n derjat dari polinomial q(x) dan \left[E:K\right]=n.

Teorema 2 menunjukan bahwa setiap polinomial iredusibel q\left(x\right) atas K mempunyai akar \alpha pada suatu lapangan perluasan sederhana dari K dengan lapangan perlusan sederhana tersebut dikontruksikan dengan menggabung \alpha ke K.

Polinomial iredusibel q\left(x\right) pada Teorema 2 dinotasikan Irr_{K}\left(a\right) yang berarti berkoefisien di K dan mempunyai akar a dengan a merupakan suatu elemen pada lapangan perluasan dari K.

Contoh 3: Ambil \mathbb{R} dan diketahui Irr_{\mathbb{R}}\left(i\right)=x^{2}+1 dengan i=\sqrt{-1} maka menurut Teorema 2 diperoleh \mathbb{C}=\mathbb{R}\left[X\right]/Irr_{\mathbb{R}}(i)=\mathbb{R}\left(i\right).

Contoh 3 menunjukan bagaimana himpunan bilangan kompleks \mathbb{C} dibangun dengan menggunakan Teorema 2. Selanjutnya akan dicontohkan bagaimana mengkontruksi lapangan perluasan yang dibangun secara berhingga.

Contoh 4: Akan dikontruksikan \mathbb{Q}\left(\sqrt{2},\sqrt{3}\right):\mathbb{Q}. Pertama-tama akan dikontruksikan \mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right):\mathbb{Q}, diketahui Irr_{\mathbb{Q}}\left(\sqrt{2}\right)=x^{2}-2 maka berdasarkan Teorema 2 diperoleh \left[\mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right):\mathbb{Q}\right]=2. Oleh karena itu elemen-elemen di dalam \mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right) mempunyai bentuk a+b\sqrt{2} dengan a,b\in\mathbb{Q}. Selanjutnya diambil T=\mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right) akan dikontruksikan T\left(\sqrt{3}\right). Diketahui Irr_{T}\left(\sqrt{3}\right)=x^{2}-2 maka berdasarkan Teorema 2 diperoleh \left[T\sqrt{3}:T\right]=2. Oleh karena itu elemen-elemen di dalam T\left(\sqrt{3}\right) mempunyai bentuk x+y\sqrt{3} dengan x,y\in T. Padahal diketahui elemen di T mempunyai bentuk a+b\sqrt{2}, itu berarti x=a_{0}+b_{0}\sqrt{2},y=a_{1}+b_{1}\sqrt{2}\in T dengan a_{0},a_{1},b_{0},b_{1}\in\mathbb{Q}. Diperoleh

x+y\sqrt{3}

\left(a_{0}+b_{0}\sqrt{2}\right)+\left(a_{1}+b_{1}\sqrt{2}\right)\sqrt{3}

a_{0}+b_{0}\sqrt{2}+a_{1}\sqrt{3}+b_{1}\sqrt{6}\in T\left(\sqrt{2}\right)

Jadi elemen-elemen di T\left(\sqrt{2}\right)=\mathbb{Q}\left(\sqrt{2},\sqrt{3}\right)
Jika kita mempunyai suatu lapangan K dan S himpunan akar-akar dari polinomial irudusibel di K maka kita bisa mengkontruksikan suatu lapangan yang memuat  K dan S. Nah.. lapangan inilah yang dikatakan lapangan perluasan.
Note:
Notasi K\left[\alpha\right] hampir serupa dengan notasi K\left(\alpha\right). Jika K\left(\alpha\right) adalah lapangan maka K\left[\alpha\right] adalah gelanggang

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in aljabar abstrak and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

2 Responses to lapangan perluasan

  1. unknown says:

    gomen kudasai (permisi).. mas ada ndak field yang dibangun oleh himpunan matriks? kalo emang ada, ada referensi ndak yag bagus buat saya baca.. hehe

Leave a Reply to unknown Cancel reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s