Kontinyu seragam, apa yang seragam?

Suatu fungsi f dikatakan kontinyu di  A\subseteq\mathbb{R} jika untuk semua c\in A, berlaku

untuk sebarang bilangan real positif \epsilon>0  maka  terdapat bilangan real  \delta>0  dimana |x-c|<\delta yang berakibat  |f(x)-f(c)|<\epsilon

Atau secara sederhana dapat ditulis

\lim_{x\rightarrow c}f\left(x\right)=f\left(c\right)

Kita tahu fungsi f\left(x\right)=1/x kontinyu di \mathbb{R}^{+} himpunan bilangan real poasitif, nah sekarang perhatikan gambar berikut

Nilai \delta di c=2 berbeda dengan di c=1/2. Nilai \delta pada f\left(x\right)=1/x di \mathbb{R}^{+} tergantung dari c, semakin besar c semakin besar pula nilai \delta.

Sedangkan fungsi g\left(x\right)=2x kontinyu di \mathbb{R}.

\left|g\left(x\right)-g\left(c\right)\right|=\left|2x-2c\right|=2\left|x-c\right|

maka kita pilih \delta=\epsilon/2 untuk semua \epsilon>0,\, c\in\mathbb{R}. Nilai \delta pada g\left(x\right)=2x tidak tergantung dari c hanya tergantung dari \epsilon saja.

Jika dilihat dari nilai \delta apakah tergantung dari nilai c atau tidak fungsi kontinyu bisa dibagi dua yaitu kontinyu (biasa) dan kontinyu seragam

Definisi 1: Suatu fungsi f dikatakan kontinyu seragam (Uniform Continuous) di  A\subseteq\mathbb{R} jika untuk semua c\in A, berlaku untuk sebarang bilangan real positif \epsilon>0  maka  terdapat bilangan real  \delta(\epsilon)>0  dimana 0<|x-c|<\delta(\epsilon) yang berakibat  |f(x)-f(c)|<\epsilon

Notasi \delta(\epsilon) untuk menegaskan bahwa nilai \delta hanya tergantung dari \epsilon tidak tergantung dari c.

Fungsi yang kontinyu seragam

Nah..sekarang bagaimana kita mengetahui suatu funngsi kontinyu seragam

Teorema 2: Diberikan I suatu interval tertutup dan terbatas (Closed bounded Interval) dan f:\, I\rightarrow\mathbb{R} kontinyu pada I maka f kontinyu seragam

Teorema ini menjamin apapun fungsinya jika dia kontinyu di interval tertutup dan terbatas maka pasti merupakan kontinyu seragam. Lalu bagaimana dengan g\left(x\right)=2x yang kontinyu seragam di \mathbb{R} bukan di suatu interval tertutup dan terbatas. Itu karena g\left(x\right)=2x adalah fungsi Lipschitz.

Definisi 3: Diberikan A\subseteq\mathbb{R} dan f:\, A\rightarrow\mathbb{R}. Fungsi f dikatakan fungsi Lipschitz,  jika terdapat konstanta K>0 sedemikian hingga

\left|f\left(x\right)-f\left(u\right)\right|\leq K\left|x-u\right|

untuk semua x,u\in A

Selanjutnya teorema yang menjamin kalau fungsi Lipschitz adalah kontinyu seragam

Teorema 4 Diberikan A\subseteq\mathbb{R} dan f:\, A\rightarrow\mathbb{R}. JIka fungsi f merupakan fungsi Lipschitz maka f kontinyu seragam di A

Fungsi yang tidak kontinyu seragam

Lalu bagaimana kita mengetahui suatu fungsi tidak kontinyu seragam? Oh..mudah saja tinggal kita tunjukan fungsi tesebut memenuhi ingkaran dari definisi kontinyu seragan, apa ingkarannya?

Teorema 5: Diberikan A\subseteq\mathbb{R} dan f:\, A\rightarrow\mathbb{R}. Fungsi f tidak kontinyu seragam di A jika memenuhi:

Terdapat \epsilon>0 sehingga untuk semua \delta>0 terdapat $lates x$ dan c sedemikian hingga \left|x-u\right|<\delta dan\left|f\left(x\right)-f\left(u\right)\right|>\epsilon

Nah..sekarang mari kita buktikan f\left(x\right)=1/x tidak kontinyu seragam di \mathbb{R}^{+}

Ambil \epsilon=1 dan sebarang \delta>0. Ambil c=\min\left(\delta,1\right) dan x=c/2 maka

\left|x-c\right|=c/2\leq\delta/2\leq\delta

tetapi

\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{c}\right|=\left|\frac{1}{c/2}-\frac{1}{c}\right|=\frac{1}{c}\geq1=\epsilon

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Analisis and tagged , , , . Bookmark the permalink.

32 Responses to Kontinyu seragam, apa yang seragam?

  1. Putri Rahayu says:

    mas, boleh lebih dijelaskan tentang kontinu seragam?

  2. misno says:

    terhingga, bukan tak terhingga. tadi salah ketik

  3. misno says:

    mohon bantuan semua nya, tunjukkan bahwa akar x, untuk setiap x elemen himpunan tertutup ke kiri dari 0 dan tak terhingga kontinu seragam?

    mohon bangat bantuan nya,

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s