Dugaan Poincare

Mengingat banyaknya permintaan agar saya membahas dugaan Poincare (Poincare Conjecture) maka postingan kali ini akan menjelaskan hal tersebut. Dugaan Poincare (DP) adalah satu-satunya problem dari seven millennium problem yang berhasil dipecahkan. DP dipecahkan oleh Matematikan rusia Grisha Perelman pada tahun 2003.

DP sebenarnya adalah pertanyaan yang diajukan Matematikawan Prancis Henri Poincare pada tahun 1900, pertanyaan tersebut adalah

Apakah semua 3-manifold tertutup yang simple connected itu Homeomorphic ke 3-sphere?

Apa itu “3-manifold tertutup,”simple connected” ,” Homeomorphic” dan”3-spahere”?

Mari saya jelasakan satu-satu.

3-sphere

Pertama-tama akan saya jelasakan mengenai 3-sphere.  3-sphere adalah bidang/permukaan dari bola berdimensi 4. Ada bisa bayangkan bola berdimensi 4? Jangan kwatir saya juga tidak bisa membayangkan. :mrgreen: Dengan kata lain 3-sphere adalah himpunan semua titik2 yang mempunyai jarak yang sama dati titik pusat dalam dimensi-4 ruang euclid. Begitu pula dengan 2-sphere merupakan permukaan/bidang 2-dimensi yang membungkus/ yang merupakan kulit dari bola 3-dimensi (Bola pada umunya). Jadi 3-sphere adalah objek 3-dimensi yang membungkus bola berdimensi empat. Secara umum n-sphere adalah objek n-dimensi yang membungkus bola n+1 dimensi

Homeomorphic

Dua buah benda A dan B dikatakan homeomorphic. Jika bentuk A bisa diubah ke bentuk B dengan cara ditarik, direganggkan, ditarik, dibengkokkan, dilipat tetapi tidak boleh dipotong, dilubangi, dirobek ataupun dilem. Contoh lingkaran dan elips adalah homeomorphic karean lingkaran bisa diubah menjadi elips dengan cara direganggkan.  bujur-sangkar dan jejeran genjang merupakan homeomorphic. Begitu juga dengan cangkir dan donat merupakan homeomorphic

tekken from wikipedia.com

d-manifold

manilold berdimensi d atau d-manifold adalah permukaan dari objek geometri yang pada skala cukup kecil menyerupai ruang euclid berdimensi di \mathbb{R}^{d}. Konsep tersebut termotivasi dari permukaan bumi, kita tahu permukaan bumi berbentuk 2-sphere tapi dalam skala kecil merasa permukaan bumi ini merupakan bidang datar. Jadi Manifold merupakan generalisasi dari permukaan tempat kita berdiri, kita ngerasa permukaan tersebut datar padahal sebenernya tidak

contoh manifold

d=1 : kurva, garis lurus, parabola, dll

d=2 : bidang, 2-sphere, permukaan cangkir, permukaan donat, semua permukaan objek2 geometri dimensi 3

d=3 :  3-sphere.

Suatu d-manifold dikatakan tertutup jika memenuhi

  1. bukan garis lurus yang panjangnya tak hingga untuk 1-manifold, dan bukan bidang dengan luas tak hingga untuk 2-manifold.
  2. Tersambung /connected merupakan 1 potongan
  3. Tanpa batas contoh n-sphere

Teorema

Setiap 1-manifold tertutup homeomorphic ke lingkaran (1-sphere)

1-manifoldKetiga bentuk di atas homeomorphic.

Poincare menyadari bahwa tidak semua 2-manifold tertutup itu homeomorphic ke 2-sphere. Poincare ingin mencari tahu 2-manifold tertutup seperti apa yang homeomorphic ke 2-sphere.

simple connected

Poincare menyadari bahwa 2-sphere mempunyai sifat simple connected, yaitu setiap loop (putaran) tetutup dapat menyusut menjadi suatu titik. Perhatikan gambar

2-sphereDalam bahasa sederhana jika kita mengikatkan tali elastis pada bola (2-sphere) maka kita bisa melepaskan bola tanpa perlu merusak ikatan.

Akhirnya Poincare berkesimpulan

Teorema 2

Setiap 2-manifold tertutup yang simple connected homeomorphic ke 2-sphere.

(permukaan) donat tidaklah simple connected karena jika kita mengikatkan taki elastis yang melalui lubang tengah donat maka mustahil kita melepaskan donat  tanpa merusak ikatan. Berarti donat tidak homeomorphic ke 2-sphare

Kemudian Poincare bertanya apakah Setiap 3-manifold tertutup yang simple connected homeomorphic ke 3-sphere. Sayang Poincare tidak mampu menjawab pertanyaannya sendiri. Inilah yang kita kenal dengan DP.

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in millennium problem and tagged , , , , , . Bookmark the permalink.

35 Responses to Dugaan Poincare

  1. Muslih says:

    dimesi ke -4..? aduuh bisa liat jin entar 😉

  2. Ilyas says:

    Susah amat c mikirnya…………..
    paling yang bisa mecahin kasus itu juga pake MATLAB.

    • Aria Turns says:

      Mas, matlab itu software numerik , memang numerik itu bagian dari matematika, tapi matematika lebih dari sekdar numerik, dugaan poincare adalah masalah dalam topologi dan itu hal yang sangat2 berbeda dari topologi, jadi mustahil diselasaikan dengan matlab. Untuk memecahkan dugaan poincare , parelman samapi harus mengkontruksikan beberapa struktur matematika baru..

  3. saripudin says:

    Merasa iri dengan mereka yang begitu interest dengan matematika teori.

  4. kikid says:

    baca komen dari master2 sekalian

  5. Denik Agustito says:

    Dera Herman

    Judul bukunya tentang “Algebraic and Geometric Surgery”. dan “Novikof Conjecture” Disitu hanya menjelaskan mengenai klasifikasi dari manifold. Jadi Klasifikasi dari manifold adalah sebuah permasalahan dalam topologi termasuk Poincare Conjecture. Intinya begitu.

  6. Herman says:

    Judul bukunya apa aja ya???
    Nanti kalo saya pinjem buat dikopi bisa ga kira2…
    Sya siap kok buat ngambil ke jogja…

  7. agusto riadi says:

    Tetet! tolong loe publish beberapa permasalahan mengenai FIBER BUNDLES ya! Okeeee!!!!

  8. Denik Agustito says:

    Dear herman

    oke tak tunggu, disini saya juga punya teman-teman yang bekerja di teori manifold. saya di kos sudah punya 6 buku tentang teori manifold dari yang dasar hingga yang advanced. saya bekerja di klasifikasi manifold, termasuk gagasan poincare conjecture, tapi sekarang lagi berpaling dulu dari manifold. Saya lagi konsentrasi di DERIVED ALGEBRAIC GEOMETRY, HIGHER TOPOS dan STABLE HOMOTOPY THEORY untuk buat disertasi.

    Untuk hasilnya akan saya tunggu selalu dari pekerjaan anda, terus akan kami diskusikan dengan rekan-rekan saya yang bekerja di teori manifold. Oke!!!! salam kenal ya!

  9. Denik Agustito says:

    Dear Herman

    Buku itu saya dah punya, saya malas baca bukunya, karena seperti bacaan saja anggak ada matematikanya. atau begini saja, bagaimana kalo kita berdiskusi ke poincare duality?. Tahu nggak duality poincare?.

    itu kelihatan matematik banget. gimana tawaran saya? afwan jidan.

  10. Herman says:

    @Denik Agustito : Saya baca buku: “The Poincare Conjecture: In Search of the Shape of the Universe” buatan Donal O Shea. Meskipun ga ngejelasin teori poincare secara matematis, buku ini bisa bikin saya cukup jatuh cinta ama Dugaan ini…
    Untuk saat ini proritas utama saya bukan buat dapet A dulu, yang penting saya bisa mahamin dan bikin karya tulis tentang dugaan ini.
    Mas denik mungkin setiap perkembangan dari tulisan saya, nanti saya kirim ke emailnya mas denik…
    Mohon kerjasamanya OK!!!

  11. Denik Agustito says:

    Wah mas Aziz dah nongol nih. Kok bisa, tau dari mana nih kalo disini tempatnya diskusi? mas kayaknya kita nggak mungkin dech chat disin, mengganggu kepentingan umum.

    mas Aziz mau koment apa tentang topik ini?

  12. Azizurrahman EN says:

    @ Denik

    Gitu ya den… 🙂

  13. Denik Agustito says:

    Dear Herman.

    Oh… Gitu yah. Kenapa anda tertarik tentang itu??????>

  14. Denik says:

    Gini mas Herman…

    mas herman sudah belajar Algebraic Topology, Homology Theory atau belum. Terus permasalahan anda terletak dimana? ini adalah forum serius tidak main-main. Instansi tempat anda kuliah dimana?. kalo tidak pakai algebraic topology dan homology theory, mungkin mas herman punya tehnik lain tentang klasifikasi dari manifold up to homemorfisma.
    email saya: agusto_ugm@yahoo.co.id

    • Herman says:

      Saya serius kok…
      Sekarang saya lagi mempelajari:
      Homology Theory, Topological k-Theory, Algebraic and Geometric Surgery dan semua teori yang ada tentang dugaan poincare.
      Cuma waktu saya buat belajar tinggal 3 bulan lagi, kira2 waktu buat belajarnya cukup ga ya???lagian konsentrasi saya sebenernya matematika statistika, akan kesuliatan belajar ga ya???
      Saya udah ngumpulin banyak buku dan artikel yang bisa membantu saya, mungkin kita bisa bertukar sumber bacaan.
      Trus saya udah baca bukunya morgan tian, cuma banyaknya minta ampun… kira2 bisa dibikin lebih simpel ga buat jadiin skripsi???
      Judul skripsi saya : ” Aplikasi Teori Hamilton-Perelman Tentang Alir Ricci Pada Pembuktian Dugaan Poincare”
      Udah dapet DP 2 cuma belum ada DP1 yang mau bimbing…
      Saya ama DP2 sama2 bingung tentang dugaan poincare, mudah2n ini bisa membantu…
      Nanti saya kirimin tentang perkembangan skripsi saya, kemungkianan nati sore, soalnya sebentar lagi saya mau konsultasi ama DP2.

      tnx.
      🙂

  15. Herman.. says:

    Saya sedang nyusun skripsi tentang dugaan poncare…
    kayanya kita bisa diskusi banyak tentang hal ini…
    mohon bimbingannya…
    email saya…
    empty_universe@yahoo.co.id

  16. Denik Agustito says:

    Begini tet! loe itu dikerjain sama orang-orang yang nanya. Masalah Poincare Conjecture itu dengan sendirinya akan terpecahkan dengan adanya beberapa fenomena di alam dan orang-orang yang bekerja di teori manifold. Jadi gak sah ditanggepin dah. Kalo mau di jelasin, nggak mungkin di blog loe hampir semua isinya tentang masalah ini.

    Sekarang tanya tuh orang yang tanya tentang poincare conjecture! apa mereka tau tentang manifold ! Mereka cuma tanya tentang Poincare Conjecture tetapi nggak tanya tentang apa manifold itu serta sifat-sifatnya! sekarang loe balikin pertanyaan itu ke orangnya, sebelum ingin dijelaskan tentang poincare conjecture tau nggak dia manifold itu apa?.

    • Aria Turns says:

      Sebenernya sich gak hanya poincare conjecture (PC), Banyak orang yang tertarik ( tepatnya penasaran) dengan 7 millennium Problem. Mereka ingin tahu apa saja ke-7 masalah tersebut. PC salah satu dari ke-7masalah tersebut dan PC satu-satunya masalah yang terpecahkan.Orang hanya ingin tahu apa sich PC itu dan ke-6 millennium Problem lainnya. Mengenai teknis matematikanya mmm..sepertinya hanya kamu dech yang tertarik 😀

  17. Aria Turns says:

    @Denik
    Wee..pakarnya nongol, baik lah kalo ada nanya kaya gituin, gw suruh nanya ke lo aja.
    Thanks udah comment

  18. Denik says:

    Lagi! Gambar yang ada di atas yaitu proses terjadinya Torus menjadi Secangkir Muk adalah proses geometrik yang dilakukan secara kontinyu. proses ini biasanya dinamakan Continuosly deformerd atau terdeformasi secara kontinyu. Prosesnya adalah tidak boleh di lem, di potong, dikurangi dll tetapi boleh digeser, diregang dsb. Gejala dari proses terdeformasi secara kontinyu itu melahirkan sebuah gagasan dalam topologi yang dikenal dengan HOMOTOPI. hal ini bisa dilihat di Hatcher [algebraic topology].

    tampilan mu luar biasa tet! membuka wawasan. sekarang gua pengen tanya, siapa yang tertarik sama Poincare Conjecture?

  19. Denik says:

    Kalo masalah Poincare Conjecture untuk dimensi 3 kayaknya dah terselesaikan. sekarang permasalahannya adalah untuk manifold dimensi lebih dari atau sama dengan 5. Terkait dengan klasifikasi dari manifold up to homemorfisma itu terlalu kuat, bagaimana kalo diperlemah menjadi up to equivalence homotopy.

    Dipaparkan lewat comment ini nggak bisa. Yang ingin mengetahui poincare conjecture dibuka diskusi lewat facebook gua aja. Atau gua harus ngajarin ke orangnya. Prasyaratnya untuk memeplajari ini adalah:

    1. Homology Theory
    2. Topological k-Theory
    3. Algebraic and Geometric Surgery termasuk Cobordism Theory.

    Jadi gini tet! kalo ada yang bertanya berarti mereka punya kepentingan di topik itu. Supaya yang berkepentingan itu tahu, mereka harus belajar ketiga syarat itu, jadi loe nggak sah repot-repot njelasin panjang lebar. Intinya kalo tanya, mereka harus bisa menerima risiko berat untuk mempelajari topik ini.

    Okee!! Good Luck to my friend.

  20. zakimath says:

    Buktinya pake Algebraic Topology tuh, si Denik tuh yg bisa… 😀

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s