Hipotesis Continuum

Bilangan Cardinal

Bilangan Cardinal / cardinal number adalah bilang yang merepresentasikan banyaknya elemen pasa suatu himpunan dinotasikan dengan|\,| sama dengan notasi nilai mutlak

Contoh: A=\left\{ p,q,r,t\right\} maka |A|=4

Cantor mendefinisikan/menotasikan \aleph_{0}=|\mathbb{N}|, jadi banyaknya elemen himpunan bilangan asli \mathbb{N} sebanyak \aleph_{0} dibaca aleph

***

dua buah himpunan A  dan B dikatakan bercardinal sama (|A|=|B| jika terdapat fungsi bijektif dari A ke B, atau bahas aljabarnya |A|=|B| jika hanya jika A dan B isomorphic. Sedangkan |A| dikatakan “lebih besar” dari |B|  (|A|>|B|) jika jika tidak ada fungsi bijektif dari A ke B.

Yang menarik Cantor menunjukan bahwa himpunan bilangan bulat \mathbb{Z}, himpunan bilangan rasional \mathbb{Q} mempunyai cardinal yang sama dengan himpunan bilangan asli \mathbb{N} atau dengan kata lain |\mathbb{Q}|=|\mathbb{Z}|=|\mathbb{N}|=\aleph_{0}. Jadi jika A\subset B belum tentu |A|<|B|.

Hipotesis Continuum

Lalu bagaimana dengan cardinal bilangan real \mathbb{R}? Berapa |\mathbb{R}|? (dinotasikan dengan c=|\mathbb{R}| inilah yang disebut Continuum)

Cantor menunjukan bahwa c>\aleph_{0}., dia juga menunjukan bahwa cardinal dari P\left(\mathbb{N}\right) himpunan kuasa \mathbb{N} dari adalah c dengan kata lain 2^{\aleph_{0}}=c . Dari sini timbul pertanyaan besar dari para matematikawan

Apkah ada suatu himpunan M dimana mempunyai cardinalitas lebih dari dari \aleph_{0} tapi kurang dari c, dengan kata lain \aleph_{0}<|M|<c ?

Cantor berkeyakinan bawa tidak ada tidak ada himpunan M yang memenuhi dengan kata lain \aleph_{1}=c, Cantor menyebutnya sebagai hipotesis Continuum.(untuk selanjutnya kita sebut hc). Cantor berusaha sekuat tenaga untuk membuktikan hc tapi sayang sampai ajal menjemput dia belum bisa memebuktikannya bahkan sampai sampai detik ini sekalipun hc belum terbukti. Menurut Gödel, hc tidak akan pernah bisa dibuktikan unprovable

***

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**
Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Analisis, himpunan and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

8 Responses to Hipotesis Continuum

  1. ridwan says:

    saya ingin tanya..
    beda bilangan kardinal dengan kardinalitas itu apa ya???
    sepertinya sama…apa benar??

  2. iva says:

    bsa d jlaskn asal usulnya himp.countable and uncountable ga’??mhon bntuanx yh…

  3. MEC UPI says:

    Semoga sukses ke depan nya….

  4. MEC UPI says:

    Salam Kenal Dari MEC ( Mathematic English Club ) @ HIMATIKA IDENTIKA UPI, sebelumnya trims tas link yang di sediakan,,,

    trims

  5. medaliemas says:

    Satu hal yang menarik di sini adalah “tak berhingga” memiliki nilai yang berbeda-beda. Kardinalitas bilangan bulat dan kardinalitas bilangan real keduanya adalah tak berhingga, tetapi mereka memiliki nilai yang berbeda. Di sini kita sudah punya dua nilai tak berhingga. Sebenarnya ada tak berhingga banyaknya nilai dari tak berhingga! Saya rasa ini cukup menarik untuk dibahas, dan saya harap topik ini ditulis di blog ini suatu saat.

    Selain itu, yang lebih menarik adalah mempelajari bukti dari teorema-teorema yang Anda tulis. Misalnya bukti dari |\mathbb{Q}|=|\mathbb{Z}| dan |\mathbb{Z}|<|\mathbb{R}|. Buktinya sangat menarik untuk dipelajari.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s