Pembuktian aturan l’hospital

Saya sudah pernah membuktikan aturan rantai, nah kali ini saya akan membuktikan aturan l’hospital, aturan yang sering kita gunakan dalam kalkulus

aturan l’hospital berkata

1. jika {\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}f(x)=0} dan {\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}g(x)=0} maka {\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}}

2. Jika {\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}f(x)=\infty} dan {\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}g(x)=\infty} maka {\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}}

Untuk membuktikan aturan l’hospital, kita membutuhkan teorema nilai tengah cauchy  cauchy mean value theorem yang berkata

Jika f(x) fungsi kontinyu pada interval tertutup \left[a,b\right] maka ada c elemen interval terbuka (a,b) dimana

{\displaystyle \frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}

Nah.sekarang pembuktian untuk point no.1

menurut teorema nilai tengah cauchy diperoleh {\displaystyle \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(c+h)-f(c)}{g(c+h)-g(c)}} untuk suatu \xi\in(c,c+h)

karena f(c)=g(c)=0 maka {\displaystyle \frac{f(\xi)}{g(\xi)}=\frac{f(c+h)}{g(c+h)}}

jika h\rightarrow0 berakibat \xi\rightarrow c maka diperoleh

{\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{\xi\rightarrow c}\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(c+h)}{g(c+h)}=\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}}

Untuk point no.2

Diketahui f(x) dan g(x) terturun pada interval tertutup \left[c,a\right] dimana

{\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}g(x)=\infty,\,\frac{f'(a)}{g'(a)}=m}

menurut teorema nilai tengah cauchy ada \xi\in(c,x)\subset[c,a] dimana {\displaystyle \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}} i.

Ambil sebarang \epsilon>0 maka terdapat \delta>0 dimana

{\displaystyle \left|\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}-m\right|<\epsilon}

dengan 0<|\xi-a|<\delta. asumsi titik c dan titik x terletak pada radius \delta atau dengan kata lain a-\delta<c<\xi<x<a<a+\deltadari persamaan i diproleh
{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)}{f(x)-f(c)}\bullet\frac{g(x)-g(c)}{g(x)}\bullet\frac{f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}}

{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1-g(c)/g(x)}{1-f(c)/f(x)}\bullet\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}}

kita tahu bahwa {\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\frac{1-g(c)/g(x)}{1-f(c)/f(x)}=1}
selanjutnya akan kita buktikan jika x\rightarrow a maka \xi\rightarrow a.

Andaikan x mendekati a maka ada 0<\delta'<\delta dimana |x-a|<\delta'<\delta

Untuk sebarang \epsilon>0 diperoleh

{\displaystyle \left|\frac{1-g(c)/g(x)}{1-f(c)/fx)}-1\right|<\frac{\epsilon}{|m|+\epsilon}}

untuk |x-a|<\delta' diperoleh

{\displaystyle \left|\frac{f(x)}{g(x)}-m\right|=\left|\left(\frac{f'(\xi)}{g(\xi)}-m\right)+\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\left(\frac{1-g(c)/g(x)}{1-f(c)/fx)}-1\right)\right|}

{\displaystyle \leq\epsilon+(|m|+\epsilon)\frac{\epsilon}{|m|+\epsilon}=2\epsilon}

Itu membuktikan {\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=m}

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in kalkulus, pembuktian and tagged , , . Bookmark the permalink.

6 Responses to Pembuktian aturan l’hospital

  1. Aria Turns says:

    @watchmatg
    emang bener kata hendry, ada step yang terlewat dalam pembuktian diatas, ntar akan saya revisi

  2. watchmath says:

    @Hendry: saya sependapat bahwa \xi untuk f dan g secara umum memang berbeda. Tapi kita bisa menanganinya sebagai berikut, definisikan \xi:=\max\{\xi_1,\xi_2\}, maka argumen pembuktian diatas tetap jalan karena jika \xi\to c maka $\latex \xi_1,\xi_2$ keduanya menuju c.

  3. watchmath says:

    Hendry benar ada typo di atas, harusnya f'(\epsilon) dan bukan f(\epsilon).
    Sedikit komentar tentang penulisan. Di post di atas ditulis ambil \epsilon di (c,c+h) yang mengesankan bahwa $\epsilon$ ini diambil secara sembarang dan tentunya itu tidak benar. Tepatnya, fix h>0. Dengan mean value theorem, ada \epsilon\in(c,c+h) (bergantung thd h) sedemikan sehingga $f'(\epsilon)=\left(f(c+h)-f(c)\right)/h$. Kebergantungan \epsilon terhadap h ini berguna kelak karena jika h\to 0 maka $\epsilon \to c$.

  4. hendry says:

    Teorema nilai tengah khan bunyinya:
    f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

    Saya search di google, rumus yang benar untuk Cauchy’s Mean Value Theorem adalah \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.. Jadi, bukan f(\xi) tapi f'(\xi). begitu pula dengan g(\xi).. Dan, teorema Cauchy setahu aku gak bisa didapat langsung dengan hanya membagi f'(\xi) dengan g'(\xi), karena meskipun nilai a dan b nya sama, nilai \xi belum tentu sama untuk keduanya.. Jadi, jika dibagi secara langsung, maka rumus yang muncul adalah \frac{f'(\xi_1)}{g'(\xi_2)}=\frac{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}{\frac{g(b)-g(a)}{b-a}}= \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}. Dengan demikian, perlu dibuktikan lagi mengapa \xi_1=\xi_2..

    Mohon dikoreksi apabila saya ada yang salah.. ^^

  5. Aria Turns says:

    Itu didapet dari teorema nilai tengah
    {\displaystyle \frac{f(\xi)}{g(\xi)}=\frac{f(c+h)-f(c)/(c+h)-c}{g(c+h)-f(c)/(c+h)-c}}
    trus kita coret (c+h)-c

  6. hendry says:

    dari mana datangnya rumus ini: \frac{f(\xi)}{g(\xi)}=\frac{f(c+h)-f(c)}{g(c+h)-g(c)}?

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s