Pembuktian aturan rantai

Aturan rantai adalah aturan yang sangat bermanfaat yang mempermudahkan kita dalam mencari turunan suatu fungsi.

Contoh ambil fungsi f(x)=(x^{2}+2x+1)^{2} maka dengan menggunaka aturan rantai diperoleh turunannya adalah f(x)=2(x^{2}+2x+1)(2x+2)

Lihat betapa mudahnya hidup dengan aturan rantai.  😛

Nah..sekarang saya akan membuktian aturan tersebut

Diberikan fungsi f dan g dimana g terturun differentiable pada titik x dan f terturun differentiable pada titik y  dengan y=g(x) Kita akan menghitung turunan dari fungsi komposisi f(g(x)) ditik x, dengan kata lain kita mau menghitung

{\displaystyle \underset{h\rightarrow0}{Lim}\,\frac{f(g(x+h)-f(g(x))}{h}}

Jawabannya merupakan bukti dari

{\displaystyle \frac{d(f\circ g)(x)}{dx}=(f\circ g)'(x)=(f(g(x))'=f'(x)g'(x)}

yang kita sebut sebagai aturan rantai chain rule

Diketahui g(x) terturun pada titik x artinya nilai g'(x) ada dan menurut definisi turunan diperoleh

{\displaystyle \underset{h\rightarrow0}{Lim}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=g'(x)}

{\displaystyle \underset{h\rightarrow0}{Lim}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}-g'(x)=0}

Kita definisikan variabel v dimana

{\displaystyle v=\frac{g(x+h)-g(x)}{h}-g'(x)}

bisa kita lihat nilai v tergantung dari nilai h jika h\rightarrow0 maka v\rightarrow0

Dengan cara yang sama diketahui f(x) terturun dititik y=g(x), menurut definisi turunan diperoleh

{\displaystyle \underset{k\rightarrow0}{Lim}\,\frac{f(y+k)-f(k)}{k}=f'(y)}

{\displaystyle \underset{k\rightarrow0}{Lim}\,\frac{f(y+k)-f(k)}{k}-f'(y)=0}

Kita definisikan variabel w dimana

{\displaystyle w=\frac{f(y+k)-f(y)}{k}-f'(y)}

bisa kita lihat juga jika k\rightarrow0 maka w\rightarrow0

Dari definisi v dan w diperoleh

{\displaystyle g(x+h)=g(x)+[g'(x)+v]h}

{\displaystyle f(y+k)=f(y)+[f'(y)+w]k}

Dari persamaan diatas jika f(g(x+h)) diperoleh

{\displaystyle f(g(x+h))=f(g(x)+[g'(x)+v]h)}

Nah sekarang ambil k=[g'(x)+v]h dan y=g(x), jika h\rightarrow0 maka k\rightarrow0 diperoleh

f(y+k)=f(g(x))+[f'(g(x))+w]\bullet[g'(x)+v]h

selanjutnya kita peroleh

{\displaystyle \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}=\frac{f(g(x))+[f'(g(x))+w]\bullet[g(x)+v]h-f(g(x))}{h}}

{\displaystyle =\frac{[f'(g(x))+w]\bullet[g'(x)+v]h}{h}}

{\displaystyle =[f'(g(x))+w]\bullet[g'(x)+v]}

Sekarang kita siap menghitung turunan

{\displaystyle \underset{h\rightarrow0}{Lim}{\displaystyle \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}}=\underset{h\rightarrow0}{Lim}\,[f'(g(x))+w]\bullet[g'(x)+v]}

{\displaystyle =(\underset{h\rightarrow0}{Lim}\, f'(g(x))+\underset{h\rightarrow0}{Lim}\, w)(\underset{h\rightarrow0}{Lim}\, g'(x)+\underset{h\rightarrow0}{Lim}\, v)}

karena h\rightarrow0 menyebabkan k\rightarrow0 yang berakibat v\rightarrow0 dan w\rightarrow0, diperoleh

=f'(g(x))g'(x)

Qed

 

 

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Analisis, kalkulus, pembuktian and tagged , , , . Bookmark the permalink.

26 Responses to Pembuktian aturan rantai

  1. Annisa Rizki Alifya says:

    Jawaban dari f(x)=(cos x/1+sin x)^3 …
    mohon bantuannya

  2. Arianto says:

    bagaimana dengan soal yang lebih panjang pak…
    y = (4x + 7)^2 . (2x + 3), berapa turunannya,,

  3. Dewi Ismiyatun Na'imah says:

    Asalamualaikum, ….
    pak apakah benar pernyataan saya ini,( |x|^p)^1/p=x

  4. Dewi Ismiyatun Na'imah says:

    Asalamualaikum, ….
    Pak apakah benar pernyataan saya ini,( |x|^p)^1/p=|x. ….

    Syukron, Katsir, ….|

  5. wahyu says:

    keren…. oh iya, klo hubnungan nya dengan pemodelan bisa kan? yaitu bandul…. bingung pemakain nya…..

  6. Ar N Bie says:

    aq masih bingung bagaimana mencariny??? tolong kasih contoh dong….
    nie utk mata kuliah analisis real 2

  7. cat says:

    di sini ada artilel tentang matriks jacobian gak? kak?

  8. cat says:

    matriks ada fungsi turunan gak yach??

  9. flamethrower says:

    Hmmmm, di sekolah ada rumus

    y = u(x)^n

    y’ = n . u'(x) . [u(x)]^n-1

    kalo itu pembuktiannya gimana ya???

    Thanks 🙂

  10. dwi says:

    kag misalnya soalnya
    y= (sinx)2cos(x2)
    berlaku nggak kag aturan rantainya????

  11. inayah says:

    askum pak,,, Q msh blm th jelas tentang itu, ne Q kebagiaan dpt aturan rantai pd kelompok makalah Q, n yg Q bc tu ne klo pd dua variabel dz/dt= dz/dx.dx/dt+dz/dy.dy/dt klo itu pakah sama jg pembuktiannya? makacih

  12. Nurfatimah says:

    Assalamu alaikum. Bisa nggak kasih contoh soal dan cara penyelesaiannya tentang teorema turunan fungsi komposisi. Makasih

  13. wini says:

    halo,,salam kenal…
    kak,,lagi ngerjain skripsi ttg lapangan berurut ya???
    punya refrensinya ga???kayaknya keren tuh…
    sy jg mau skripsi ni,,tapi masih cari2 topik…
    mohon bantuannya….!!!thx
    balas ke alamat email sy juga boleh mas..thx

  14. hendry says:

    Hmm..
    Entah, mungkin waktu lain, aku akan lebih paham tentang hal ini.. 🙂

  15. indy says:

    mas tetet,,ni indy. mas jg suka matematika ya?? o y mas kemaren2 aku ngutip artikel knp ga da nobel mate dr blognya mas bwt tugas webna pa haikal. makasih ya mas. mav baru ksh tw skrg. o y uda indy mskn alamat blognya mas jg bwt daftar referensi di webqu!! ojo lali buka webqu ya mas!! http://www.tung-itung.co.cc
    thanqyu!!^^

  16. Aria Turns says:

    hen, sebenarnya kamu ngerti gak sich arti dari
    dy/dx = dy/du ● du/dv ● dv/dw ● dw/dx??
    Itu tururunan suatu fungsi.
    kalo ditulis dalam bentuk fungsi itu sama denaga
    f'(u(v(w(x))))=f'(x)u'(x)v'(x)w'(x)
    kenapa bisa begitu? itu yang saya bahas

  17. hendry says:

    Pembuktian di atas bukankah sama persis seperti kita membuktikan:

    3/4 = 3/6 ● 6/7 ● 7/8 ● 8/9 ● 9/4

    Tinggal dicoret…
    Bukankah begitu?

  18. Aria Turns says:

    Nah..justru itu yang kita buktikan kenapa
    dy/dx = dy/du ● du/dv ● dv/dw ● dw/dx

  19. hendry says:

    Keren pembuktiannya…

    Tapi, di kuliahku pembuktiannya seperti ini:

    dy/dx = dy/du ● du/dv ● dv/dw ● dw/dx
    Terbukti.

    Kalau begitu, betul atau salah?

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s