kenapa turunan x^n adalah nx^(n-1)

Postingan kali ini, untuk menjawab komennya si Hendri

Hmmm… Coba yach saya pikir-pikir dulu…

Masalahnya, saya sendiri bingung.. Mengapa x^n bisa diturunkan menjadi n. x^(n-1)… Wew. =.+”

Untuk membuktikan \frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1} cukup menggunakan definisi dari turunan

{\displaystyle \underset{h\rightarrow0}{Lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}

dan teorema binomial

{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum_{r=0}^{n}\left({n\atop r}\right)x^{n-r}y^{r}}

Okey, lets begin

{\displaystyle \underset{h\rightarrow0}{Lim}\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}

jabarkan dengan teorema binomial diperoleh

{\displaystyle \underset{h\rightarrow0}{Lim}\frac{(x^{n}+\left({n\atop 1}\right)x^{n-1}h+\left({n\atop 2}\right)x^{n-2}h^{2}+\ldots+h^{n})-x^{n}}{h}}

{\displaystyle \underset{h\rightarrow0}{Lim}\frac{\left({n\atop 1}\right)x^{n-1}h+\left({n\atop 2}\right)x^{n-2}h^{2}+\ldots+h^{n})}{h}}

{\displaystyle \underset{h\rightarrow0}{Lim}\left({n\atop 1}\right)x^{n-1}+\left({n\atop 2}\right)x^{n-2}h+\ldots+h^{n-1}}

{\displaystyle \underset{h\rightarrow0}{Lim}\, n\bullet[\left({n-1\atop 0}\right)x^{n-1}+\left({n-1\atop 1}\right)x^{n-2}h+\ldots+h^{n-1}]}

akhirnya kita peroleh

{\displaystyle \underset{h\rightarrow0}{Lim}\, n(x+h)^{n-1}=nx^{n-1}}

QED

 

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**
Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Analisis, kalkulus, Kenapa and tagged , , , . Bookmark the permalink.

11 Responses to kenapa turunan x^n adalah nx^(n-1)

  1. kamu nggambarnya gimana?

  2. Wawan Sofwan says:

    maksih bgt pak…
    ini ngebantu sy buat presentasi mata kuliah analisis real..

  3. hendry says:

    iya, memank, tapi, pembuktian yang serupa juga berlaku karena nilai |h| selalu < |x|, jadi, sebetulnya buktinya mirip dengan yang di atas, cuman beda simbol..

    Setahu aku sih, teorema di buku Shcaum Outline bilangnya begitu.. Hohoho

  4. Aria Turns says:

    Hen, pembuktian diatas adalah pembuktian untuk n bilangan asli, untuk bilangan negatif, rasional, maupun irasional, ada pembuktiannya masing-masing.
    katena teorema binomil hanya berlaku untuk n bilangan asli..

  5. hendry says:

    Eh, ternyata setelah diliad-liad, di atas gak ada simbol C…

    Weks, berarti gw salah..
    Ternyata pake tanda kurung toh..
    Pantesss…
    Pertanyaan sudah terjawab.
    Ternyata n memang bisa digunakan di semua bilangan real..
    Hohoho

  6. hendry says:

    Wah, thx bgt yacchh…

    N, sebetulnya, ada yang ingin saya tanyakan lagi: apakah bilangan n di atas berlaku untuk semua bilangan, termasuk bilangan negatif dan bilangan irasional.. Lalu, jika bisa, mengapa pembuktian di atas melibatkan unsur nCx, karena simbol kombinasi C hanya bisa dioperasikan pada n yang bilangan bulat positif..

  7. hendry says:

    Oww… Boleh saya minta izin supaya artikel ini ditulis di blog saya? 🙂
    (Boleh gak ya….)

  8. Aria Turns says:

    ya sama2 udah saya koreksi kok..

  9. hendry says:

    Thx karena sudah dijawab dengan sangat kilat…

    Akhirnya pertanyaan yang dari dulu aku bingung terjawab juga dengan cantik. Tapi, ada tulisan “formula does not parse” yach?

    Thx bgt.. ^^

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s