Himpunan-himpunan diruang metrik dan sifat-sifatnya

Diberikan ruang metrik (X,d) dan himpunan A\subset X

1) Himpunan A dikataka terbuka (open) jika setiap anggotanya titik dalam

2) Himpunan A dikatakan tertutup (closed) jika A^{c}terbuka

3) A^{0}=int(A) menotasikan koleksi semua titik dalam himpunan A disebut interior A

2) ext(A) menotasikan koleksi semua titik-titik luar himpunn A disenut ekterior A

3) \partial(A) menotasikan koleksi semua titik batas himpunan A

4) A' menotasikan koleksi semua titik limit himpunan A disebut himpunan terturun A

5) \bar{A}=A\cup A'

5) cl(A) didefinisikan sebagai himpunan tertutup terkecil yang memuat A disebut klosur himpunan A

Sifat-sifat

Teorema 1. Setiap persekitaran di ruang metrik adalah himpunan terbuka

Bukti: Diberikan suatu ruang metrik (x,d). Diambil sebarang a\in X dan bilangan real r>0 . Akan dibuktikan N_{r}(a) terbuka, diambil sebarang p\in N_{r}(a), jadi d(p,a)<r selanjutnya diambil bilangan \rhodengan

\rho=\frac{1}{2}min\{d(p,a),r-d(p,a)\}

jadi \rho>o dan untuk sebarang y\in N_{\rho}(p) berlaku

d(a,y)\leq d(a,p)+d(p,y)<d(a,p)+\rho<r

yang berarti y\in N_{r}(a), dengan kata lain terbukti bahwa N_{\rho}(p)\subset N_{r}(a) atau terpukti p titik dalam himpunan N_{r}(a)jadi terbukti N_{r}(a)adalah himpunan terbuka

QED

Teorema 2. Untuk setiap himpunan A di ruamh metrik berlaku

i) A-\partial(A) terbuka

ii) A\cup\partial(A) tertutup

Bukti: Untuk membuktikan teorema  digunakan sifat

\partial(A)=\partial(A^{c})

i) Ambil x\in(A-\partial(A) yang artinya x\in A dan x\notin\partial(A). Jika x\notin\partial(A) berarti N_{r}(x)\cap A=\emptyset atau N_{r}(x)\cap A^{c}=\emptyset untuk r>0. Karena x\in A maka diperoleh N_{r}(x)\cap A\neq\emptyset dan N_{r}(x)\cap A^{c}=\emptysetsehingga N_{r}(x)\subset A. Dengan kata lain terbukti A-\partial(A) terbuka

ii) Untuk membuktikan A\cup\partial(A) tertutup ekuivalen denagan membuktikan (A\cup\partial(A))^{c}.

(A\cup\partial(A))^{c}=(A\cup\partial(A^{c}))^{c}

A^{c}\cap(\partial(A^{c}))^{c}=A^{c}-\partial(A^{c})

Menurut i) A^{c}-\partial(A^{c})terbuka

QED

Teorema 3. Jika A sebarang himpunan di ruang metrik maka \bar{A}=A\cup A' tertututup

Bukti: Akan dibuktikan \bar{A}^{c}=(A\cup A')^{c}=(A^{c}\cap(A')^{c})=A^{c}-A' terbuka.

Ambil x\in(A^{c}-A') artinya x\in A^{c} dan x\notin A^{'}. Jika x\notin A^{'} berarti N_{r}(x)\cap A-\{x)=\emptyset untuk suatu r>0. Jadi N_{r}(x)\subset A^{c}. Dengan kata lain terbukti A^{c}-A'terbuka atau \bar{A}=A\cup A' tertututup

QED

Catetan: Dibuat untuk menghadapi Midterm Pengantar Analisis Abstrak senin 27 oktober jam 13.00 runag S2.01

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

Advertisements

About Aria Turns

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in Analisis and tagged , , , . Bookmark the permalink.

4 Responses to Himpunan-himpunan diruang metrik dan sifat-sifatnya

  1. Damar says:

    keep up your good work!!

  2. adit38 says:

    Kok ga dikasi warning kaya tulisan di https://ariaturns.wordpress.com/category/aljabar-abstrak/

    Warning: kalian harus mengetahui istilah titik dalam jika ingin membaca tulisan dibawah

    Hehehe….
    Just kidding

  3. Dian says:

    Fuiiii…. dijamin A tu… analisis real nya hehehehehhe

  4. luftix says:

    wehh, mantap bener blog lu tet bahas matematika….eh, gw lagi nyiapin http://www.netluftix.com, blog gw ntar disindikasi ke sana, tapi blum jadi hehe ….

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s