Teorema Titik Tetap Brouwer

Bayangkan ada sebuah gelas berisi air yang tenag, diam tak bergerak. Kita tahu air terdiri dari molekul-molekul H2O. Selanjutnya kita aduk gelas tersebut lalu tunggu sampai air kembali tenang. Pertanyaannya, apakah semua molekuk air berpindah posisi? dengan kata lain apakah posisi semua molekul air sebelum diaduk dan sesudah itu berbeda? Tidak, ada molekul air yang tidak berpindah posisi yang posisisnya tetap baik sebelum maupun seseudah diaduk.

Continue reading

Himpunan persekitaran dan titik limit

Untuk membantu memudahkan memahami definisi limit fungsi yang saya bahas kemarin maka kali ini saya akan membahas mengenai himpunan persekitaran dan titik limit

Himpunan Persekitaran

Diberikan himpunan A, untuk sebarang x\in A dan konstanta real positif r, himpunan

{\displaystyle N_{r}(x)=\left\{ a\in A;\:|x-a|<r\right\} }

disebut himpunan persekitaran dari titik x dengan jari-jari/radius r. Untuk memahaminya pehatikan gambar berikut

persekitaran

Continue reading

Titik-titik di ruang Metrik

Diberikan ruang metrik (X,d), titik x\in X dan himpunan A\subseteq X

i) Titik x disebut titik dalam (interior point) himpunan A jika ada bilangan r>0 sehingga N_{r}(x)\subseteq A

ii) Titik x disebut titik luar (exterior point) himpunan A jika x titik dalam himpunan A^{c}

iii) titik x disebut titik batas (boundary point) himpunan A jika untuk setiap bilangan r>0 berlaku

N_{r}(x)\cap A\neq\emptyset dan N_{r}(x)\cap A^{c}\neq\emptyset

iv) Titik x disebut titik limit (limit point) himpunan A jika untuk setiap bilangan r>0 berlaku

N_{r}(x)\cap A-\{x\}\neq\emptyset

v) Titik x disebut titik terasing (isolated point) himpunan A jika ada bilangan real r>0 berlaku

N_{r}(x)\cap A=\{x\}

Berdasarkan pengertian-pengertian  diatas diperoleh beberapa hal sebagai berikut

Continue reading