Pembuktian Sang Presiden

James  Garfield, Presiden AS ke-20 yang membuktikan Teorema Phytagoras. Sumber: Wikipedia

James Garfield, Presiden AS ke-20 yang membuktikan Teorema Phytagoras. Sumber: Wikipedia

Teorema Pythagoras, siapa yang tidak mengenal Teorema ini? Teorema Pythagoras membahas hubungan spesial ketiga sisi segitiga siku-siku sering ditulis  a2 + b2 = c2   dengan c adalah sisi miring sedangkan a dan b adalah dua sisi lainnya Kalian tahu? ada ratusan cara pembuktian Teorema Pytagoras. Terdapat Buku berjudul The Pythagorean Proposition yang   membahas 367 cara pembuktian Teorema Pytagoras. Woow…banyak sekali pembuktiannya, bukan?

Dari sekian banyak pembuktian Teorema Pythagoras ternyata salah satunya ditulis oleh Presiden Amerika Serikat (AS) yaitu James Abram Garfield, Presiden AS ke-20. Konon katanya sebelum masuk ke ranah politik, James Garfield bercita-cita menjadi Profesor Matematika, pembuktiannya ditulis 5 tahun sebelum dia terpilih menjadi Presiden.

Pembuktiannya sebagai berikut:

Continue reading

Teorema Bendera British

Image

Sumber: Wikipedia

Union jack, bendera United Kingdom (UK) atau lengkapnya United Kingdom of Great Britain and Northern Ireland. Mengapa saya menampilkan si Union Jack karena di matematika tepatnya di Geometri ada teorema bernama Teorema bendera British, dinamakan demikaian karena jika diilustrasikan akan menyerupai si Union Jack

Teorema Bendera British (TBB): Diberikan persegi panjang ABCD, dan seberang titik P didalam ABCD, Jika diberikan 4 garis yang menghubungkan titik P dengan ke-4 sudut ABCD maka diperoleh hubungan

AP^2+PC^2=BP^2+DP^2

Gambar 1

Gambar 1 (sumber: artofproblemsolving.com)

Continue reading

Politikus berteman dengan semua orang

politikus

Para Politikus di DPR

Di dalam Teori Graph , ada satu teorema yang cukup elegan, yang menjelasakan fenomena unik yang bisa saja terjadi didalam hubungan bermasayarakat. Teorema tersebut dinamakan Teorema Pertemanan (Frienship Theorem). secara informal Teorema pertemanan menyatakan :

Dalam suatu komunitas, jika setiap 2 orang mempunyai tepat 1 teman bersama maka ada 1 orang (disebut Politikus) yang berteman dengan semua orang di komunitas tersebut.

Nah… yang saya maksud dengan berteman adalah saling mengenal. Budi dan bejo  berteman artinya Budi dan Bejo saling mengenal. Jika kita menganggap komunitas sebgai graph sedangkan orang-orang didalamnya direpresentasikan dengan titik. Lalau 2 orang berteman bisa direpresentasikan sebgai 2 titik yang berdekatan (adjacent) maka secara formal teorema pertemanan menyatakan:

Teorema Pertemanan (TP): Diberikan graph berhingga G, jika setiap 2 titik di G mempunjyai tepat 1 tetangga bersama maka terdapat 1 titik yang berdekatan dengan semua titik di G.

Perlu dicatat bahwa ada graph yang memenuhi TP, yaitu graph kincir angin (Windmill Graph) perhatikan gambar disamping, kincir angin graphdengan u adalah politikus. Bahkan Graph kincir angin adalah satu-satunya graph yang memenuhi TP.  Karena keberadaan politikus hanya dimungkinkan dengan graph Kincir angin.

Yang amat menarik ternyata TP tidak berlaku untuk graph tak-hinga, Dengan kata lain ada graph tak-hingga yang setiap pasang titiknya mempunyai 1 tetangga bersama tetapi tanpa adanya politikus. Untuk mengkontruksikan Graph tak-hingga seperti itu mudah saja. bisa kita mulai dengan 5-siklik kemudian terus tambahkan 1 tetangga bagi setiap pasang titik yang belum mempunyai  tetangga bersama

Continue reading

Teorema Sylow

Teorema Lagrange menyatakan jika G grup berhingga dan H subgrup dari G maka order dari H akan membagi order dari G.

Pertanyaannya, apakah sebaliknya berlaku. Jika  G berorder n dan m membagi  n. Apakah akan selalau ada subgrup dari  G yang beroder m.

Jawabannya Tidak, contohnya: A_5 berorder 60 dan jelas 15 membagi 60 tetapi A_5 tidak mempunyai subgrup berorder 15.

Teorema Sylow memberikan kebalikan parsial dari Teorema Lagrange. Menurut teorema Sylow jika G berorder m maka akan terdapat subgrup berorder p^n dengan p prima dan p^n membagi m

Nah.. subgrup berorder p^n, dinamakan subgrup p-sylow.

Defenisi: Diberikan bilangan prima p, Suatu subgrup dinamaka p-subgrup jika berorder p^j unntuk suatu j\in\mathbb{N}. Sedangkan subgrup  p-sylow dari suatu grup hingga G berorder n adalah subgrup S  berorder  p^k dengan k\in\mathbb{N} berlaku p^{k}\mid n dan p^{k+1}\nmid n.

Jadi subgrup  p-sylow adalah p-subgrup maksimal dari suatu grup berhingga yang mempunyai pangkat terbesar yang membagi order dari grup berhingga tersebut. Teorema sylow menyatakan subgrup p-sylow itu eksis dan memberikan beberapa sifat dari subgrup p-sylow.

Continue reading

Teorema Marden

The Most Marvelous Theorem in Mathematics

Itulah pendapat Dan Kalman terhadap Teorema Marden. Ya… saya sependanpat dengannya, Teorema Marden amatlah Cantik memberikan hubungan geometris sederhana antara akar-akar suku banyak derajat tiga di bilangan kompleks dengan akar-akat turunannya. Sebelum membahas Teorema Marden, saya mau membahas mengenai

Ellips Steiner

Dalam Geometri, Ellips Steiner adalah ellips yang termuat didalam segitiga dan menyinggung ketiga sisi segitiga di titik tengah.

Ellips Steiner ini tunggal, dalam artian mustahil suatu segitiga mempunyai 2 ellips Steiner yang berbeda posisi

Continue reading

Barisan Komposisi dan Teorema Jordan-Hölder

Dalam Teori Bilangan, kita mengenal Teorema Fundamental aritmatika yang mengatakan setiap bilangan dapat dipecah menjadi faktor-faktor prima dan faktor-faktor prima tersebut tunggal.

Nah… pada teori grup ada konsep yang mirip.

Barisan Komposisi

Barisan komposisi adalah cara memecah grup menjadi grup-grup sederhana.

Definsi: Suatu grup dikatakan sederhana jika hanya mempunyai subgrup normal: \left\{ 1\right\} dan dirinya sendiri.

Karena hanya mempunyai subgrup normal: \left\{ 1\right\}  dan dirinya sendiri maka grup sederhana hanya mempunyai grup faktor: \left\{ 1\right\} dan dirinya sendiri. Serupa dengan bilangan prima, ya kan?

Sekarang kita lihat definisi formal dari barisan komposisi.

Definsi: Barisan komposisi dari suatu grup G adalah rantai berhinga dari subgrup:

\left\{ 1\right\} =G_{n}\vartriangleleft G_{n-1}\vartriangleleft\ldots\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft G_{0}=G

Yang memenuhi aksioma-aksioma berikut:

1. Untuk i=0,1,\ldots,n-1, berlaku  G_{n-1} adalah subgrup normal dari G_1

2. Grup faktor G_i/G_{i+1} adalah sederhana dan grup-grup faktor

G_{0}/G_{1},G_{1}/G_{2},\ldots,G_{n-1}/G_{n}, disebut komposisi faktor.

Nah..tidak semua grup mempunyai barisan komposisi lho.

Continue reading

Teorema yang paling mengagumkan

Dari semua Teorema Matematika yang saya ketahui, saya berpendapat Teorema Fundamental Kalkulus adalah Teorema yang paling mengagumkan, paling menakjubkan. Mengapa? Karena teorema tersebut menghubungkan 2 konsep yang amat berbeda.

Turunan

Gambar 1

Turunan fungsi f di x adalah gradien garis singung yang menyinggung grafik fungsi f di titik (f(x),y). Perhatikan gambar 1. Yang berwarna hitam adalah  grafik fungsi f, sedangkan yang berwana merah adalah garis singgung yang melaui  titik (f(x),y). Nah turunan fungsi f di x adalah gradien garis singgung tersebut.

Secara formal Turunan fungsi f di x didefinsikan sebagai berikut:

{\displaystyle f'\left(x\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}}

Di kehidupan nyata kebalikan dari turunan adalah tanjakan. Di Matematika kebalikan dari turunan tidak disebut tanjakan tetapi disebut anti turunan.

Continue reading

Teorema Titik Tetap Brouwer

Bayangkan ada sebuah gelas berisi air yang tenag, diam tak bergerak. Kita tahu air terdiri dari molekul-molekul H2O. Selanjutnya kita aduk gelas tersebut lalu tunggu sampai air kembali tenang. Pertanyaannya, apakah semua molekuk air berpindah posisi? dengan kata lain apakah posisi semua molekul air sebelum diaduk dan sesudah itu berbeda? Tidak, ada molekul air yang tidak berpindah posisi yang posisisnya tetap baik sebelum maupun seseudah diaduk.

Continue reading

Aplikasi Teorema Terakhir Fermat

Teorena: Untuk sebarang bilangan asli n>2 maka \sqrt[n]{2} adalah irasional.

Bukti:Andaikan \sqrt[n]{2} adalah rasional, dengan kata lain \sqrt[n]{2}=\frac{p}{q} dengan p, q adalah bilangan asli, diperoleh:

\sqrt[n]{2}=\frac{p}{q}

2=\frac{p^n}{q^n}

2q^{n}=p^{n}

q^n+q^{n}=p^{n}

Berdasarkan Teorema terakhir Fermat yang dibuktikan oleh Andrew Wiles maka diketahui tidak ada p dan q yang memenuhi persamaan diatas

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**