Super Sempurna

Sumber: jointhecosplaynation.tumblr.com

Di Teori Bilangan ada definisi bilangan Super Sempurna yang diperkenalkan oleh Suryanarayana (1969). Bilangan super Sempurna merupakan pengembangan dari bilangan sempurna.

Untuk memahami bilangan super Sempurna, terlebih dulu  kita harus paham fungsi pembagi ( divisors function).

Definisi: Diberikan bilangan asli n, fungsi pembagi \sigma\left(n\right) adalah jumlah semua pembagi dari n

Contoh :  \sigma\left(6\right)=12 karena semua pembagi dari 6 adalah: 1,2,3, dan 6.  Untuk 5 diperoleh \sigma\left(5\right)=1+5=6.

Berdasarkan definisi fungsi pembagi kita memperoleh definsi bilangan sempuna sebagai berikut.

Definisi: Bilangan asli n adalah bilangan sempurna jika \sigma\left(n\right)=2n

Contoh: 6 adalah bilangan sempurna karena \sigma\left(6\right)=1+2+3+6=12=2\cdot6

Sedangkan bilangan super Sempurna didefinisikan sebagai berikut:

Bilangan super Sempurna adalah bilangan asli n yang memenuhi  \sigma^{2}\left(n\right)=\sigma\left(\sigma\left(n\right)\right)=2n.

Contoh: 16 adalah bilangan super Sempurna karena \sigma\left(16\right)=31 diperoleh  \sigma^{2}\left(16\right)=\sigma\left(31\right)=32=2\cdot16.

Dari definisi bilangan super Sempurna dengan mudah kita lihat memang bilangan tersebut merupakan pengembangan dari bilangan sempurna.

Beberapa bilangan super Sempurna yang pertama adalah: 2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144

Teorema: Jika n adalah bilangan super Sempurna maka n=2^{p-1} dengan 2^{p}-1 adalah prima Mersenne.

Serupa dengan bilangan sempurna sampai detik ini keberadaan bilanagan super sempurna ganjil masih misterius, apakah ada atau tidak.

Generalisasi

Bilangan super sempurna-m adalah bilangan asli yang memenuhi \sigma^{m}\left(n\right)=2n, sedangkan bilangan sempurna-(m,k) adalah bilangan yang memenuhi \sigma^{m}\left(n\right)=kn.

Misteri bilangan sempurna semu

Di Postingan kali ini, saya mau meperkenalkan ke kalian, bilangan yang misterius bernama bilangan sempuna semu (Quasiperfect numbers) . Kenapa saya katakan misterius?

Karena sampai detik ini tidak diketahui apakah bilangan sempuna semu itu ada atau tidak.

Untuk memahami apa itu bilangan sempurna semu pertama-tama kita harus paham bilangan sempurna.

Bilangan Sempurna.

Sebenarnya saya sudah pernah mengulas tentang bilangan sempurna, tetapi tak apa saya akan membahasnya kembali secara singkat.

Bilangan sempurna  (Perfect numbers) adalah bilangan bulat positif yang merupakan hasil dari penjumlah faktor-faktornya kecuali bilangan itu sendiri,

Contoh bilangan sempurna adalah

  • 6,  karena faktor-faktor dari 6 adalah {1.2.3.6} dan 6=1+2+3.
  • 28 karena 28=1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Bilangan sempurna semu

Bilangan sempurna semu (QuasiPerfect numbers) adalah bilangan bulat positif yang merupakan hasil dari penjumlahan faktor-faktornya kecuali bilangan itu sendiri dan 1.

Jadi Bilangan sempurna semu mirip dengan Bilangan sempurna, bedanya pada bilangan sempurna semu kita menghilangkan 1 dari penjumlahan faktor-faktornya.

Seperti yang sudah saya katakan diatas. Sampai detik ini tidak diketahui apakah bilangan sempurna semu itu ada atau tidak.

Para Matematikawan percaya, jika bilangan sempurna itu ada haruslah lebih besar dari 10^{35} dan mempunyai 7 faktor prima berbeda.

Misteri Balok Sempurna

Ada satu masalah di Matematika yang sampai detik ini belum terpecahkan. Padahal masalah tersebut sangat sederhana, mudah dipahami bahkan oleh anak SD sekalipun.

Tentu kalian sudah tahu apa itu Balok. Suatu balok dikatakan sempurna jika nilai panjang. lebar dan tingginya merupakan bilangan bulat, begitupula dengan nilai diagonal bidang dan diagonal ruangnya juga merupakan bilangan bulat. Nah..yang jadi pertanyaan

Apakah balok sempurna itu ada?

Nobody Knows, tidak ada yang tahu. Mencari balok sempurna sama saja dengan mencari solusi bilangan asli dari sistem persamaan:

a^2+b^2=d^2

b^2+c^2=e^2

c^2+a^2=f^2

a^2+b^2+c^2=g^2

Sampai detik ini tidak ada yang mampu memberikan contoh dari balok sempurna dan juga tidak ada yang mampu membuktikan bahwa balok sempurna mustahil ada. Jika balok sempurna itu ada maka salah satu rusuknya haruslah mempunyai panjang lebih dari 100 milyar

 

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

 

Bilangan sempurna

Bilangan sempurna atau Perfect numbers adalah bilangan bulat positif yang merupakan hasil dari jumlah faktor-faktornya kecuali bilangan itu sendiri,

Bilangan sempurna pertama adalah 6, faktor dari 6 adalah {1.2.3.6} dan 6=1+2+3. Yang kedua adalah 28 karena 28=1 + 2 + 4 + 7 + 14

Seorang matematikawan dari abad ke 1 Nicomachus (60-120M) menemukan keempat pertama bilangan sempurna yaitu 6, 28, 496, dan 8.128. Dua bilangan selanjutnya adalah 33.550.336 dan 8.589.869.056

Ampe detik ini semua bilangan sempurna yang ditemukan adalah genap.

Continue reading