Rumus Luas Lingkaran, dapat dari mana?

{\displaystyle L=\pi r^{2}}

Diatas adalah Rumus luas lingkaran, tentunya kalian sudah mengetahuinya. Nah…pernah kalian bertanya dari mana rumus tersebut diperoleh? Mengapa rumus luas lingkaran   L=\pi r^{2} ?

Ada banyak cara untuk menjelaskan bagaimana rumus luas lingkaran diperoleh, seperti menggunakan kallulus Integral. Tenang saja.. saya tidak mengunakan cara tersebut, tidak ada integral pada khotbah saya kali ini :) . Saya akan membahas cara yang paling sederhana, yang konon kabarnya cara yang digunakan Euclid, 2300 tahun yang lalu.

Oya sekedar mengingatkan \pi adalah rasio keliling lingkaran dengan diameter lingkaran

{\displaystyle \pi=\frac{\mathrm{keliling}}{\mathrm{diameter}}=\frac{2\pi r}{r}}

Misal kita punya lingkaran berjari-jari r. Cara yang dipakai Euclid sebagai berikut:

Bagian atas lingkaran kita warnai orange dan bagian bawahnya kita warnai biru laut lalu lingkaran tersebut kita potong menjadi 16 potong, seperti gambar berikut

Continue reading

Saya Tidak Suka Rumus Cepat

sumber: stateimpact.npr.org/

sumber: stateimpact.npr.org/

Ini kejadian kemarin, seorang ibu dengan penuh antusias menjelaskan kepada saya, rumus cepat yang dikuasainya. Saya mendegarkannya dengan ogah-ogahan, karena saya tidak suka dengan yang namanya rumus cepat. Mengapa?

Karena 1 alesan mendasar, Rumus cepat itu answer Oriented, yang penting lo bisa jawab soal dengan cepat gak pake lama, padahal matematika itu reasoning oriented, dalam matematika yang terpenting bukanlah jawaban tapi penjelasan yang SAHIH atas jawaban tersebut.

Apa itu penjelasan yang sahih?

Menurut KBBI, sahih adalah Continue reading

Memperoleh volume bola dimensi ke-n

Boleh dibilang ini adalah lanjutan dari postingan sebelumnya. Sekarang saya akan membahas bagaimana rumus volume bola dimensi ke-n diperoleh. Dinotasikan n-bola adalah bola pada dimensi ke-n dan V_n(r) adalah volume n-bola dengan jari-jari r, diasumsikan titik tengah bola berada di titik asal.

Konsep dasar untuk memperoleh rumus V_n sebagai berikut:

  1. Potong  n-bola menjadi potongan-potongan berbentuk n-cakram (cakram dimensi ke-n) dengan alas cakram berentuk (n-1) bola. Dengan kata lain kita bisa memandang n-bola tersusun dari n-cakram sebanyak n. Contoh:3-bola tersusun dari 3-cakram yang alasnya berbentuk 2-bola (lingkaran) 
  2. Hitung satu-persatu volume n-tabung kemudian jumlahkan semuanya untuk memperoleh V_n.

Secara integral, konsep diatas dapat dirumuskan menjadi V_{n}(r)=\intop_{-r}^{r}V_{n-1}\left(\rho \right)dz dengan \rho adalah jari-jari n-cakram dan dz adalah ketinggian/ketebalan cakram

Hubungan \rho dan r adalah \rho=r\sin\theta, selanjutnya kita ubah V_{n}(r)=\intop_{-r}^{r}V_{n-1}\left(\rho \right)dz ke dalam koordinat polar Continue reading

Pembuktian rumus Heron

Boleh dibilang postingan  ini merupakan lanjutan dari postingan mengenai rumus heron. Jujur saya baru mengetahui mengenai rumus heron, padahal katanya di tingkat smp tu rumus sudah diperkenalkan. mmm…saya kok gak inget yach :)

Nah..kali ini saya ingin membuktikan rumus heron. Kita tahu luas segitiga=½×alas×tinggi. Itu artinya untuk membuktikan rumus heron, kita harus menunjukan

1/2\times alas\times tinggi=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}

dengan s adalah semiperimeter s=\frac{a+b+c}{2}

Diberikan segitiga yang mempunyai sisi a, b c dengan a sebagai alasnya dan \alpha sudut diantara a dan b. Untuk membuktikan rumus heron, kita menggunakan hukum cosinus

\cos\alpha=\frac{a^{2}+c^{2}-c^{2}}{2bc}

diperoleh

\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=\frac{\sqrt{4a^{2}b^{2}-\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)^{2}}}{2ab}.

Diketahui tinggi segitiga adalah b\sin\alpha maka

1/2\times alas\times tinggi

\frac{1}{2}ab\sin\alpha

\frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2}

\frac{1}{4}\sqrt{(2a b -(a^2 +b^2 -c^2))(2a b +(a^2 +b^2 -c^2))}

\frac{1}{4}\sqrt{(c^2 -(a -b)^2)((a +b)^2 -c^2)}

\frac{1}{4}\sqrt{(c -(a -b))((c +(a -b))((a +b) -c))((a +b) +c)}

\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungikaos.ariaturns.com**

Merumuskan Cinta

Baru aja saya selesai membaca paper “Dynamical Models of Love, Sprott, 2004″. Paper tersebut mencoba untuk merumuskan/memodelkan hubungan cinta sepasang anak adam, Kita sebut saja si pria bernama Romeo dan si wanita ernama Juliet. Paper itu mengasumsikan hubungan cinta adalah suatu sistem dinamik yang artinya terus berdinamika seiring perjalanan waktu, Okey saya sependapat

Diberikan R\left(t\right) rasa cinta Romeo (atau benci jika negatif) kepada Juliet pada waktu t dan J\left(t\right) rasa cinta Juliet terhadap Romeo maka dari sini diperoleh model linier yang paling sederhana yaitu

(I)

{\displaystyle \frac{dR}{dt}=aR+bJ}

{\displaystyle \frac{dJ}{dt}=cJ+dJ}

Dengan a adalah tingkat reaksi Romeo terhadap cintanya ke Juliet, Jika positif artinya Remeo merasa bahagia mencintai Juliet tapi jika negatif artinya Romeo merasa tertekan dengan rasa cintanya ke Juliet dan jika a=0 artinya Romeo mengacuhkan perasannya ke Juliet begitu pula dengan c adalah tingkat reaksi Juliet terhadap cintanya ke Romeo. Serta b adalah reaksi Romeo ketika dicintai Juliet, jika positif artinya Romeo bahagia dicintai Juliet tapi jika negatif berarti Romeo merasa tertekan ketika dicintai Juliet dan jika b=0 artinya Romeo tidak peduli dengan perasaan cinta si Juliet begitu pula dengan d adalah reaksi Juliet ketika dicintai Romeo.

Continue reading