Popcorn

Grafik fungsi Thomae dari 0 sampai 1

Grafik fungsi Thomae dari 0 sampai 1

Pada Tahun 1875, Matematikawan Jerman Carl Johannes Thomae mendefinisikan suatu fungsi f\left(x\right)dengan sifat yang aneh bin ajaib. Fungsi f\left(x\right) hanya kontinyu di bilangan irasional tetapi diskontinyu di bilangan rasional.

Fungsi f\left(x\right) yang didefinisikan oleh Om Thomae diberi nama sesuai namanya Fungsi Thomae. Definisi fungsinya sebagai berikut:

{\displaystyle f\left(x\right)=\begin{cases} 0, & x\notin\mathbb{Q}\\ \frac{1}{m}, & x\in\mathbb{Q}\:\mathrm{dengan}\: x=\frac{n}{m}\:\mathrm{dalam\: bentuk\: paling\: sederhana} \end{cases}}

Teorema: Fungsi Thomae kontinyu pada bilangan irasional tetapi diskontinyu pada bilangan rasional.

Bukti: Ambil c\in\mathbb{Q} maka terdapat deret irasional \left(x_{n}\right) dengan \lim\left(x_{n}\right)=c padahal \lim\left(f\left(x_{n}\right)\right)=0\neq f\left(c\right). Terbukti f\left(x\right) diskontinyu di c\in\mathbb{Q}.

Continue reading

Irasional lebih besar dari rasional

Kali ini saya mau menjawab pertanyaan dari Ity Rahmah

asslm..
klo bilangan rasional ama bilangan irasional,, banyakan mana..??
truss alasannya apa..??

Pertama-tama saya balas dulu salamnya “Walaikumsalam”. Kita tahu himpunan Tak-hingga (Infinite set) dibagi menjadi dua: himpunan terhitung (Countable set) dan himpunan tak-terhitung (Uncountable set). Himpunan Tak-hingga dikatakan terhitung jika kardinalitasnya (banyaknya elemenen) sama dengan himpunan bilangan asli \mathbb{N} dan dikatakan tak-terhitung jika kardinalitasnya lebih besar dari \mathbb{N} . Gabungan dari 2 himpunan terhitung adalah terhitung pula. Diketahui bahwa himpunan bilangan asli \mathbb{R} adalah tak-terhitung dan saya pernah membahas bahwa himpunan bilangan rasional adalah terhitung. Itu berarti himpunan bilangan irasional adalah tak-terhitung, karena jika himpunan bilangan irasional terhitung berakibat \mathbb{R} terhitung. Dapat disimpulkan himpunan bilangan irasional lebih besar dari himpunan bilangan rasional

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

Ketiga-tiganya mempunyai kardinalitas yang sama

Diberikan himpunan A, kardinalitas dari A dinotasikan |A| adalah banyaknya elemen dari A. Misalkan saja A={u,j,k,a} maka |A|=4. Dalam matematika dua buah himpunan dikatakan mempunyai kardinalitas yang sama |A|=|B| jika terdapat fungsi bijektif dari A ke B (atau sebaliknya).

Okey..saya anggap kalian sudah tau mengenai himpunan bilangan asli \mathbb{N}, himpunan bilangan bulat \mathbb{Z} dan himpunan bilangan rasional \mathbb{Q} kalau belum tanya mbah google aja yach :)

Kita tahu bahwa \mathbb{Q}\supset\mathbb{Z}\supset\mathbb{N}. Apakah itu berarti \left|\mathbb{Q}\right|>\left|\mathbb{Z}\right|>\left|\mathbb{N}\right|?

Percaya tidak kalau saya bilang ketiga-tiganya mempunyai kardinalitas yang sama \left|\mathbb{Q}\right|=\left|\mathbb{Z}\right|=\left|\mathbb{N}\right|

Nah.. mari saya buktikan.

Pertama tama saya akan membuktikan \left|\mathbb{Z}\right|=\left|\mathbb{N}\right|

Seperti yang saya katakan di atas bahwa untuk 2 buah himpunan mempunyai  kardinalitas sama artinya ada fungsi bijektif yang menghubungkan kedua himpunan. Nah..apakah ada fungsi bijektif dari \mathbb{Z} ke \mathbb{N}? Tentu saja ada fungsi tersebut didefinisikan

Continue reading

Nol, rasional atau irasional

Saya udah penah menulis

Nol, genap atau ganjil?

Nol negatif atau positif?

Nah sekarang saya mau bertanya, nol rasional atau irasional?

Kalian harus tahu apa itu bilangan rasional dan irasional supaya bisa menjawabnya

Bilangan rasional adalah bilangan yang bisa diperoleh dari pembagian dua buah bilangan bulat dan bilangan irasional adalah bilangan yang bukan rasional, dengan kata lain tidak bisa diperoleh dari pembagian dua buah bilangan bulat.

Continue reading

akar 2

\sqrt{2}=1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807...

Boleh dibilang \sqrt{2} adalah bilangan irasional pertama yang ditemukan oleh manusia. Ditemukan tanpa sengaja oleh pythagoras melalui rumus pythagorasnya yang terkenal

sisi miring dari segitiga siku-siku dengan sisi yang lain 1 satuam

sisi miring dari segitiga siku-siku dengan sisi yang lain 1 satuam

Konon munurut legenda Pythagoras tidak percaya bahwa \sqrt{2} adalah bilangan irasional, bahkan dia percaya tidak ada bilangan irasional, semua bilangan real adalah bilangan rasional. Sampai suatu saat seseorang bernama Hippapus membuktikan bahwa bilangan irasional itu ada. Pythagoras marah lalu bersama murid-muridnya Pythagoras menenggelamkan Hippapus hingga mati (wuih..kalo gitu Pytagoras pembunuh dong).

Pembuktian \sqrt{2} adalah Irasioanal

Untuk membuktikan \sqrt{2} adalah Irasioanal kitab menggunakan metode kontadiksi (proof by contradiction). Yaitu dengan mengasumsikan bawha lawan dari pernyataan/dalil adalah benar lalu menunjukkan bahwa asumsi tersebut salah yang artinya pernyataan.dalil tersebut benar.

Continue reading