Perbedaan definisi fungsi kontinyu di kalkulus dan di Analisis Real

Buku kalkulus yang saya punya adalah Kalkulus dan Geoemtri Analisis, Purcell, edisi Terjemahan, sedangkan buku analisi real yang saya punya: Introduction to Real Analysis, Bartle. Saya baru ngeh baru sadar ternyata definisi fungsi kontinyu pada kedua buku tersebut berbeda dan perbedaan tersebut tidak ekuivalen. Setelah saya melakukan penelusuran di Internet, saya sampai pada satu kesimpulan definisi fungsi kontinyu di kalkulus berbeda dengan yang ada di Analisis Real.

Kalkulus mengatakan

Diberikan A\subseteq\mathbb{R}f:A\rightarrow\mathbb{R} dan c\in A. Fungsi f dikatakan kontinyu di titik c, jika berlaku: f(c) terdefinsi dan \lim_{x\rightarrow c}f\left(x\right)=f(c)

Sekarang kita jabarkan  \lim_{x\rightarrow c}f\left(c\right)=c kedalam bentuk epsilon-delta, diperoleh pernyataan.

Untuk sebarang \epsilon >0 terdapat \delta >0 sedemikian hingga, jika 0<|x-c|<\delta dengan x\in A maka |f(x)-f(c)|<\epsilon.

Sedangkan Analisis real berkata

Diberikan A\subseteq\mathbb{R}f:A\rightarrow\mathbb{R} dan c\in A. Fungsi f dikatakan kontinyu di titik c, jika berlaku pernyataan berikut.

Untuk sebarang \epsilon >0 terdapat \delta >0 sedemikian hingga, jika |x-c|<\delta dengan x\in A maka |f(x)-f(c)|<\epsilon.

Dimana letak perbedaannya?

Kalkulus mengatakan 0<|x-c|<\delta, itu artinya jarak x ke c tidak boleh nol. Dengan kata lain x haruslah berbeda dengan c (x\neq c)

Sedangkan analisis Real mengatakan |x-c|<\delta, itu artinya jarak x ke c boleh nol. Dengan kata lain boleh saja x=c.  Jadi definsi kekontinyuan di analisis real tidak serupa dengan \lim_{x\rightarrow c}f\left(x\right)=f(c)

 Apa akibat dari perbedaan ini?

Continue reading

1 syawal 1432 H tidak pernah ada

Kita sama-sama tahu, Lebaran kemarin ada perbedaan jatuhnya tanggal 1 syawal 1432 H, ada yang meyakini 1 syawal 1432 H jatuh tanggal 30 Agustus 2011 ada pula yang meyakini jatuh tanggal 31 Agustus 2011,  Saya akan melihat perbedaan tersebut melalui kacamata matematika.  Saya akan menggunakan silogisme, materi logika dasar yang dipelajari oleh anak kelas 1 SMA

Premis Major: 30 Agustus 2011 ≠ 31 Agustus 2011

Premis Minor: 1 syawal 1432 H = 30 Agustus 2011 dan 1 syawal 1432 H = 31 Agustus 2011

Kesimpulan: 30 Agustus 2011 = 31 Agustus 2011

Continue reading