Andi pergi ke rumah Nenek

Dari Rumah, Andi pergi ke rumah Nenek. Untuk menuju rumah nenek, pertama-tama Andi harus naik ojek sejauh 10 Km dalam waktu 10 menit, kemudian dilanjutkan dengan naik Bus sejauh 20 Km dalam waktu 20 menit. Hitunglah kecepatan rata-rata (dalam Km/jam) perjalanan Andi ke rumah Nenek!

Soal yang saya berikan ke salah satu kelas X di SMA saya mengajar, sebelum libur lebaran tiba. Ternyata dari 30 siswa dikelas tersebut hanya sekitar 10 siswa yang menjawab dengan benar, sisanya menjawab salah atau malah tidak menjawab .

Soal tersebut merupakan modifikasi saya terhadap soal Pisa.

Soal Pisa Level 6

Continue reading

Bilangan Ganjil dan Kubik

Sumber: Halaman FB WE Love Math

Sumber: Halaman FB WE Love Math

Pola bilangan yang amat cantik, bukan? Pola tersebut mengatakan bahwa n^3 bisa dibentuk dari penjumlahan bilangan ganjil berurutan sebanyak n buah. Konon katanya pola tersebut ditenukan oleh Nicomachus dari Geresa, Jordania sekitar abad pertama masehi. Bentuk umum dari pola di atas adalah:

n^{3}=\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+3\right)+\left(n^{2}-n+5\right)+\ldots+\left(n^{2}-n+\left[2n-1\right]\right)

 Nah.. sekarang mari kita buktikan.

Dalam notasi sum, sisi kanan persamaan diatas dapat ditulis menjadi

{\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}n^{2}-n+2k-1}

{\displaystyle =\left(\sum_{k=1}^{n}n^{2}-n\right)+\left(\sum_{k=1}^{n}2k-1\right)}

{\displaystyle =n\left(n^{2}-n\right)+\left(\sum_{k=1}^{n}2k-1\right)}

Berdasarkan teorema bilangan ganjil, diperoleh

{\displaystyle =n\left(n^{2}-n\right)+n^{2}}

{\displaystyle =n^{3}}

Dua Soal

Sumber: math.psu.edu

Sumber: math.psu.edu

  1. 25 × 25 = …
  2. Ibukota dari Kalimantan Utara adalah …

Dua soal tersebut saya berikan kepada siswa-siswa baru kelas X di sekolah saya mengajar. Semuanya bisa menjawab soal no. 1 tetapi tidak ada satupun yang bisa menjawab soal no .2, padahal soal no.2 adalah soal pengetahuan umum, sesuatu yang dianggap lebih mudah daripada Matematika. Saya yakin kalian meminta bantuan mbah Google untuk menjawab soal no.2 kecuali kalian tinggal di Kalimantan Utara.

Tujuan saya memberikan dua soal tesebut adalah ingin menunjukkan kepada para siswa baru bahwa matematika tidaklah sesulit yang mereka bayangkan. Saya tidak mengatakan matematika itu mudah tetapi saya pastikan, matematika tidaklah seseram yang kalian bayangkan. Tan Malaka ( Buat yang belum tahu siapa dia, googling saja. Bagi saya dia adalah pahlawan terkeren yang dimiliki Indonesia) justru mengatakan Matematika adalah pelajaran termudah dibandingkan pelajaran lain.

Continue reading

Logika kita dalam memilih Capres

Sumber: Liputan 6.com

Sumber: Liputan 6.com

Kita sedang hiruk-pikuk, rame-riuh coparas capres, apalagi di sosmed lebih seru lagi :) . Ya… pilpres sudah didepan mata, kita dibombardir infomasi menenai kedua capres, baik yang postif maupun negatif. Tentu saja kita harus mengolah infomasi yang masuk sebelum kita menarik kesimpulan siapa capres yang kita pilih. Berdasarkan apa yang saya lihat, penarikan kesimpulan yang digunakan masyarakat dalam memilih capres adalah modus tollendo ponens (MTP)

Apa itu MTP ?

Jika kita diharuskan memilih salah satu dari dua premis: P atau Q lalu kita menolak P maka kita harus memilih Q. Itulah MTP. Bentuk formal dari MTP adalah:

P atau Q

tidak P

maka Q.

Satu hal yang perlu saya tegaskan. Kita menolak P belum tentu P lebih buruk daripada Q. Kita masuk saja ke contoh.

Continue reading

Kebalikan Teorema Pythagoras

akar-2Kemarin di Twitter, saya di mention Prof Hendra Gunawan, beliau baru saja menerbitkan bab 4 dari buku yang sedang ditulisnya berjudul Gara-Gara Hantu Lingkaran. Bab 4 menceritakan  karya terbesar Euclid di bidang matematika yaitu “Stoicheia” (Ind. “Elemen”), buku matematika .yang terdiri dari 13 jilid, membahas geometri dan dasar-dasar teori bilangan. Menurut Prof Hendra, jilid I dari buku tersebut membahas Teorema Pythagoras dan kebalikannya!

Seperti apa kebalikan dari Teorema Pythagoras ?

Kita semua tahu Teorema Pythagoras mengatakan: Jika suatu segitiga siku-siku dengan panjang sisi miring c serta a dan b adalah panjang dua sisi lainya maka berlaku a2 + b2 = c, Tinggal kita balik saja dalilnya menjadi:

Jika sutau segitiga △ ABC dengan panjang sisi a, b dan c serta berlaku a2 + b2 = c2 maka segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku.

Bukti:

Dikontruksikan segitiga siku-siku △ DEF dengan panjang sisi non-miring a dan b maka menurut Pythagoras berlaku

sisi miring² = a2 + b2

Bedasarkan asumis yang diketahui, diperoleh sisi miring² =  c2 = a2 + b. Itu berarti △ DEF mempunyai panjang sisi-sisi yang sama dengan △ ABC, disimpulkan △ ABC dan △ DEF kongkruen

QED

Tiga Juta Dollar

5 Matematikawan  yang mendapatkan US$ 3 Juta Sumber: FB breakthroughprize

5 Matematikawan yang mendapatkan US$ 3 Juta. Sumber: FB breakthroughprize

US$ 3 Juta itu setara dengan Rp 36 Miliar (asumsi US$ 1 = Rp 12.000 ).  Bagiamana rasanya mendapatkan uang sebuaaanyak itu?

Tanyakan saja kepada 5 matematikawan berikut:

Meraka berlima baru saja mendapatkan penghargaan Breakthrough.

Apa itu penghargaan Breakthrough?

Continue reading

Segitiga Reuleaux

Konon katanya salah satu pertanyaan wawancara kerja di Google (Ada juga yang mengatakan di Microsoft) adalah:

Mengapa tutup lubang saluran air kotor (sering lihat kan?) berbentuk lingkaran?

Jawabannya adalah tutup yang berbentuk lingkaran tidak bisa terjatuh ke dalam lubangnya. Andaikan berbentuk persegi, tutup lubang bisa terjatuh ke dalam lubang, jika dimasukkan secara diagonal.

Nah.. sekarang pertanyaannya

Adakah bentuk lain selain lingkaran yang bisa dijadikan bentuk tutup lubang sedemikian hingga tutup tersebut tidak bisa jatuh kedalam lubangnya sendiri?

Pertanyaan tersebut dijawab oleh Insinyur Jerman Franz Reuleaux pada abad ke-19. Dia memperkenalkan segitiga sama sisi bersisi cembung, yaitu Segitiga Reuleaux. Sebenarnya bentuk tersebut sudah diketahui banyak orang tetapi Reuleaux lah orang pertama yang memanfaatkan bentuk tersebut di ranah teknik

Continue reading

Kantong Ajaib Doraemon

DoraemonDoraemon, siapa sich yang tidak mengenal manga karya Fujiko F Fujio tersebut? Kita semua tahu Doraemon memiliki kantong ajaib yaitu kantong dimensi empat yang dapat dimasuki apa saja, dimana Doraemon menyimpan semua peralatannya.  Istilah asli dari kantong ajaib adalah Yojigen poketto (四次元ポケット) yang secara harfiah berarti kantong dimensi empat.

Nah… menurutmu apa benar kantong dimensi empat dapat dimasuki apa saja, dapat memuat segalanya?

Sekarang..mari kita bahas. Suatu benda dikatakan berdimensi n, jika untuk mengukur besarnya, kita harus mengukur n hal.  Untuk mengukur besar benda berdimensi 3, kita harus mengukur panjang, lebar dan tingginya

Continue reading

Prima dan 6

Di postingan sebelumnya, saya membahas hubungan bilangan prima dengan 24, sekarang saya akan membahas hubungan bilangan prima dengan 6.

Tahukah kalian, bahwa setiap bilangan prima yang lebih besar daripada 3 mempunyai bentuk 6n +1 ( kelipatan enam tambah satu ) atau 6n – 1 ( kelipatan enam kurang satu ) .

Contoh

  • 5 = 6 × 1 – 1
  • 7 = 6 × 1 + 1 
  • 11 = 6 × 2 – 1 
  • 13 = 6 × 2 + 1 
  • 17 = 6 × 3 – 1 
  • 19 = 6 × 3 + 1 

Sekarang mari kita buktikan

Bukti:

Suatu bilangan bulat postif m yang lebih besar daripada 3, jika dibagi 6 akan mempunyai bentuk m = 6n + r dengan n bilangan bulat non negatif dan r adalah sisa yang nilainya salah satu dari : 0, 1, 2, 3,  4, atau 5.

  • Jika nilai r adalah 0, 2 atau 4 maka m adalah bilangan genap, artinya bukan bilangan prima
  • Jika nilai r adalah 3 maka m habis dibagi 3, artinya bukan bilangan prima.

So… supaya m prima maka nilai r nya harus bernilai

  • 1 ( berbentuk m = 6n + 1, kelipatan 6 ditambah 1)

atau

  • 5 (berbentuk m = 6n +5 = 6(n + 1) -1,  kelipatan 6 dikurang 1)

QED

Satu hal yang perlu kalian ingat, sebaliknya belum tentu berlaku, bilangan yang berbentuk 6n + 1 atau 6n – 1 belum tentu prima. Contohnya 25 = 6 × 4 +1, padahal 25 bukan prima.

Referensi:  primes.utm.edu