Soal PISA di UN matematika 2014, untuk apa?

Ah.. UN tingkat SMA tahun ini baru saja selesai seperti tahun-tahun sebelumnya berita tentang kecurangan UN masih marak diberitakan. Akan tetapi saya bukan mau ngomong soal kecurangan UN melainkan mengenai soal UN. Iseng-iseng membuka soal UN matematika jurusan IPA,  ada satu soal yang menarik perhatian saya.

Soal Pisa di UN
Kita tahu UN kali ini ada 20 paket soal, saya sudah memeriksa sekitar 5 paket berbeda dan soal tersebut selalu muncul.

Mengapa saya tertarik?

Continue reading

Monster

Sumber: superbwallpapers.com

Sumber: superbwallpapers.com

Kita tahu di  jam (analog) terdapat 12 angka dimulai dari 1 sampai 12. Di jam berlaku aritmatika jam, contohnya 9 + 6 = 3 artinya jika jarum pendek menunjuk angka 9 maka 6 jam kemudian akan menunjuk angka 3. Inilah yang saya maksud aritmatika jam. Nah.. 12 angka yang dilengkapi dengan aritmatika jam adalah contoh dari Grup Sederhana Berhingga (GSB). Konsepnya mungkin terdengar sepele tetapi berkembang menjadi hutan belantara Matematis nan lebat. Selama puluhan tahun para Matematikawan berusaha menenemukan dan mengkelompokkan semua GSB. Pada tahun 1982, Robert Griess mengkontrusikan suatu GSB yang teramat beesaarrr sekali yang mempunyai anggota sebanyak

808.017.424.794.512.875.886.459.904.961.710.757.005.754.368.000.000.000 anggota

itu lebih besar dari 8 × 1053. Oleh karena yang anggotanya yang buanyak buanget, GSB yang dikontrusikan oleh om Griess dinamakan Monster. Selain jumlah angotanya yang berjibun ternyata Monster berada di dimensi yang amat tinggi yaitu di dimensi 196.883.

Jadi siapa bilang matematika hanya berurusan dengan angka-angka, Matematika juga berurusan dengan Monster.

Referensi: Richard E. Borcherds. What is The Monster?

Segitiga sama sisi didalam Persegi

Tentukan panjang sisi dari segitiga sama sisi terbesar yang termuat didalam persegi Unit ( yaitu persegi dengan panjang sisi 1 satuan) !

Konon katanya soal diatas adalah salah satu soal GMAT. Soal diatas benar-benar menuntut kemampuan bernalar kita. Konsep matematika yang dibutuhkan hanyalah trigonometri dasar. Sekarang mari kita lahap soal diatas :)

Semakin besar suatu segitiga maka semakin panjang sisinya. Jelas bukan? Anak SD saja tahu. Untuk mendapatkan segitiga sama sebesar mungkin maka kita harus mengambar sisinya sepanjang mungkin tetapi dibatasi oleh persegi, lalu bagaiman acaranya?

Untuk mendapatkan sisi terpanjang , dimulai dari salah satu sudut di sisi atas persegi tarik garis menyerong menuju sisi bawah segitiga sama sisipersegi sehingga diperoleh segitiga sama sisi seperti gambar  disamping

Diketahui sudut ∠BAF = 90°, dan  segitiga sama sisi setiap sudutnya mempunyai besar yang sama yaitu  60°. Karena |AB| = |AF| dan |AC| = |AE| maka segitiga ABC kongkruen dengan segitga AEF.  Diperoleh ∠BAC = ∠ EAF = 15 °.

Diketahui |AB| = 1 dengan menggunakan trigonometri, kita akan mengitung |AC|

cos 15° = |AB| / |AC|

|AC| = |AB| / cos 15°

|AC| = 1 / 0, 9659 = 1,035

Jadi panjang sisi segitiga sama sisi terbesar didalam persegi unit lebih panjang sekitar 3,5% daripada panjang sisi persegi unit.

Sumber gambar: mathcentral.uregina.ca

Suami yang tidak Setia

selingkuhAlkisah di kerajaan Setia, setiap perempuan yang sudah menikah mengetahui kesetiaan semua suami kecuali suaminya sendiri. Norma yang berlaku disana adalah hal yang tabu para Istri membicarakan kesetian suami orang lain. Luas kerajaan setia kecil sehingga suara tembakan akan terdengar di seluruh penjuru kerajaan. Jika ada suami yang ketahuan selingkuh, pihak istana akan meniupkan terompet tanpa memberitahu namanya dan perempuan yang mengetahui terompet tersebut ditujukkan kepada suaminya akan menembak si suami pada tengah malam sehari setelah dia mengetahui suaminya berselingkuh.

Nah… bagaimana para istri mengatasi hal tersebut?

Continue reading

Enam Srigala

Sumber: Wikipedia

Sumber: Wikipedia

Jika 6 Srigala dapat menangkap 6 rusa dalam waktu 6 menit. Berapa ekor srigala yang dibutuhkan untuk menangkap 60 rusa dalam waktu 60 menit?

Soal diatas saya berikan kepada 15 siswa kelas XI SMA. Mayoritas dari mereka menjawab 60 ekor. Jika jawabanmu juga sama, 60 ekor maka jawabanmu SALAH. Yang benar adalah tetap 6 Srigala. Lho kok bisa tetap?

Sederhana saja, jika dalam waktu 6 menit, 6 srigala menangkap 6 rusa maka dalam waktu 6 ×10 menit, 6 srigala tersebut akan menangkap 6 ×10 rusa.

Paham ente? Kalo belum tenang saja, saya masih punya penjelasan lainnya.

Dalam waktu 6 menit, 6 srigala menangkap 6 rusa, itu berarti dalam waktu 6 menit setiap srigala menagkap 1 rusa. Jika waktunya menjadi 60 menit maka setiap srigala menangkap 10 rusa. So… dibutuhkan 6 srigala untuk menangkap 60 rusa dalam waktu 60 menit.

Mengapa belajar Matematika

Anakbertanya.com adalah situs dimana anak dapat mengajukan pertanyaan dan dijawab oleh orang-orang yang berkompeten. Situs tersebut dikelola oleh Prof Hendra Gunawan, Guru besar matematika ITB. Salah satu pertanyaan yang diajukan adalah “Mengapa kita harus belajar Matematika? Apa saja manfaatnya?”. Prof Hendra memita saya menjawab pertanyaan itu. Ah… ini suatu kehormatan buat saya. Rabu 12/03/14, tulisan saya atas pertanyaan tersebut saya kirim ke beliau via E-mail.  Setelah satu kali revisi, tulisan saya diterima beliau dan tayang di sini.  Sekarang saya akan menulis ulang tulisan tersebut disini. Mengapa harus ditulis ulang? Supaya sesuai dengan profil pembaca blog ini. Errr… emang profil pembaca blog ini seperti apa? hahaha….

***

Mengapa kita harus belajar Matematika?

Sumber: annikeris.com

Sumber: annikeris.com

kalian pasti berpikir matematika itu tentang berhitung. Yang namanya matematika itu adalah hitung-hitungan. Ya.. memang benar berhitung adalah bagian dari matematika tetapi yang namanya matematika bukanlah tentang itu melainkan tentang hubungan dan pola. Penjumlahan dan perkalian yang kita pelajari sejak SD sebenarnya merupakan hubungan

  • Penjumlahan menghubungkan 3 dan 4 dengan 7, karena 3  +  4 = 7.
  • Perkalian menghubungkan 5 dan 2 dangan 10, karena 5 × 2 = 10.

Nah.. disetiap hubungan ada pola. Contoh pola di penjumlahan dan perkalian adalah:

Continue reading

Tipe-tipe Pencinta Matematika

Sumber: wikimedia.org

Sumber: wikimedia.org

Saya berpendapat para pencinta matematika bisa dibagi menjadi 3 tipe. Pembagian tipe ini berdasarkan hal yang membuat mereka tertarik terhadap matematika.

1. Pemecah Soal

Pencinta Matematika tipe ini teramat suka menjawab soal. Semakin sulit soalnya justru membuat dia semakin tertarik, semakin tertantang untuk menjawabnya. Kepuasan yang didapat setelah mampu menjawab soal yang rumit dan kebanggaan mampu menjawab soal yang tidak bisa dijawab orang lain inilah yang membuat dia jatuh cinta dengan matematika. Jelas, para peserta Olimpiade Matematika masuk tipe ini.

2. Konseptor

Tipe ini tidak begitu suka mengerjakan soal-soal rumit setingkat olimpiade tetapi suka mempelajari dan memahami konsep-konsep matematis. Tipe ini tidak begitu tertarik menjawab soal limit fungsi  {\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt{\frac{x^{2}+7x}{4x^{3}-16}}} tetapi dia akan bertanya-tanya “Sebenernya limit itu apa sich”, “Mengapa definisi limit menggunakan epsilon-delta?”. Tipe ini mencintai matematika karena keangunan dan ke-eleganan konsep-konsepnya. Bisa dikatakan saya termasuk tipe ini, terlihat dari postingan-postingan di blog ini. Postingan-postingan di blog ini mayoritas membahas konsep-konsep matematis hanya sedikit yang membahas soal.

Continue reading

Menunjuk Indonesia

Sumber: Wikipedia

Sumber: Wikipedia

Seorang balita bermain-main dengan bola Globe milik ayahnya. Sang ayah yang melihatnya bermain kemudian berkata:

Nak, coba tunjuk dimana Indonesia !

Tentu saja balita tersebut akan menujuk secara acak, karena dia belum mengenal geografi. Nah.. sekarang mari kita hitung berapa peluang dia menunjuk letak indonesia dengan tepat.

Menurut Mbah Google Luas Indonesia sekitar 1,9 juta km² dan luas permukaan bumi adalah sekitar 510 juta km².

So.. peluangnya adalah 1,9/510≈0,003. Mmm… ternyata peluangnya cukup kecil.

***

Secara umum peluang suatu negara A tertunjuk adalah Luas negara A  per luas permukaan bumi. Itu berarti semakin luas suatu negara maka peluanya akan semakin besar

Empat dari Lima

Sumber: annikeris.com

Sumber: annikeris.com

Ada 5 murid yang mengumpulkan tugas kepada gurunya. Setelah selesai diperiksa, Guru tersebut mengembalikan tugas secara acak. Berapa peluang hanya 4 murid yang mendapatkan kembali tugasnya sendiri dengan tepat?

Soal peluang diatas saya berikan kepada 15 siswa kelas XI jurusan ipa karena materi peluang sudah mereka pelajari. Ternyata tidak ada satupun yang bisa menjawab dengan benar. Padahal jawabanya mudah saja Peluangnya Nol. Lho kok bisa? Jelas saja, jika 4 murid mendapatkan kembali tugasnya sendiri dengan tepat maka murid ke-5 juga sama mendapatkan kembali tugasnya sendiri.

Soal diatas adalah soal yang berhitungnya mudah tapi berpikirnya susah.  Tipe soal inilah yang dibutuhkan dalam pembelajaran matematika karena belajar matematika itu belajar berpikir, menganalisis, memahami persoalan. Akan  tetapi sayang di sini yang terjadi sebaliknya anak- anak sekolah dijejali soal yang berhitungnya rumit tapi berpikirnya mudah. Jadi maklum saja ke 15 siswa yang yang berikan soal diatas tidak ada satupun yang bisa jawab karena mereka tidak terbiasa dengan soal “mikir” kayak gini.

a + b = ab

Perhatikan persamaan berikut

a + b = ab

Jika kita ambil a  = b = 2 , jelas adalah solusi dari persamaan diatas. Dengan kata lain (2,2) adalah pasangan solusi bulat dari persamaan diatas. Nah.. sekarang pertanyaannya:

Adalah  pasangan solusi bilangan bulat positif lain selain (2, 2) ? Syukur2 bukan pasangan kembar.

Untuk menjawabnya, kita lakukan saja manipulasi aljabar.

a + b = ab

a = ab -b

a = b ( a – 1 )

a / ( a – 1) = b.

Supaya b adalah bilangan bulat positif maka haruslah a – 1 = 1. So.. a = 2, itu berarti b = 2 juga. Sekarang jelas ( 2, 2) adalah satu-satunya pasangangan solusi bilangan bulat positif.

Itu tadi di dalam bilangan bulat positif, sedangkan di dalam bilangan real persamaan diatas mempunyai tak hingga banyaknya pasangan solusi, yang mempunyai bentuk umum ( a, a /( a – 1 ) ) dengan a adalah bilangan real.

Sebagai contoh : Jika a= 10 maka ( 10, 10/9 ).

Dengan kata lain, telah kita tunjukan bahwa didalam bilangan real ada tak hingga banyaknya pasangan bilangan yang jika di jumlah dan di kalikan mempunyai hasil yang sama.