1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ⋯

S=1+2+4+8+16+32+\ldots

Diatas adalah deret tak hingga yang setiap sukunya dua kali lebih besar dari suku sebelumnya. Berapa hasilnya? Banyak orang yang akan menjawab tak hinnga . Akan tetapi melalui trik matematika sederhana hasilnya bisa saja -1. Lho kok bisa? Mari kita bahas bersama-sama.

Kita tahu bahwa setiap bilangan jika dikalikan satu hasilnya adalah dirinya sendiri a=1a dan jelas 1=2-1.

Diperoleh:

\begin{array}{ccc}1S & = & 1\left(1+2+4+8+16+32+\ldots\right)\\S & = & \left(2-1\right)\left(1+2+4+8+16+32+\ldots\right)\\& = & \left(2+4+8+16+\ldots\right)-\left(1+2+4+8+16+\ldots\right)\\& = & -1+\left(2-2\right)+\left(4-4\right)+\left(8-8\right)++\left(16-16\right)+\ldots\\& = & -1\end{array}

Apa yang salah?

Anak SD sekalipun tahu bahwa bilangan positif ditambah bilangan postif hasilnya positif juga. Jika suatu deret bilangan positif hasilnya bisa negatif, pasti ada yang salah. Deret S adalah deret geometri yang divergen bukan konvergen. Karena rasionya 2, Ingat deret geometri akan konvergen jika rasioanya terletak diantara -1 dan 1. Hasil ajaib yang kita dapat diatas adalah akibat kita mencoba mengkonvergenkan suatu yang tidak konvergen.

Barisan cauchy tetapi tidak konvergen

Bagi kalian yang mempelajari analisis real khususnya materi mengenai barisan Cauchy, tentunya mengenal teorema berikut

Teorema: Suatu barisan di bilangan real adalah cauchy jika hanya jika barisan tersebut konvergen

Teorema diatas sering disebut Kriteria Konvergensi Cauchy. Nah..apakah kalian tahu bahwa ada barisan Cauchy yang tidak konvergen? Wah.. kok bisa? Apa itu berarti teorema diatas salah? Tenang saja.. teorema tersebut benar tetapi tetapi teorema tersebut hanya berlaku di Billangan real, untuk ruang lain selain bilangan real belum tentu berlaku.

Sekarang mari kita lihat, contoh barisan cauchy yang tidak konvergen

  1. Didefiniskan barisan x_n=\left(1/n\right) dan I=\left(0,\infty\right), dengan mudah diketahui x_n merupakan barisan Cauchy tetapi tidak konvergen di I karena \lim_{n\rightarrow\infty}X_{n}=0\notin I.
  2. Didefinisikan barisan q_{n}=\left(1+1/n\right)^{n} pada \mathbb{Q}. Barisan q_n Cauchy tetapi tidak konvergen di \mathbb{Q}.. Karena \lim_{n\rightarrow\infty}Q_{n}=e\notin\mathbb{Q}.

Dari 2 contoh diatas bisa kita lihat sebenarnya x_n dan q_n sebenarnya mempunyai limit akan tetapi limitnya tidak berada didalam ruang dimana X_n dan Q_n berada. Nah.. ini lah yang saya maksud dengan tidak konvergen.

Secara umum suatu ruang Metrik M dikatakan komplit jika setiap barisan cauchy di M konvergen ke suatu titik dimana titik tersebut berada didalam M. Contoh ruang Metrik komplit adalah Bilangan Real. Dari 2 contoh diatas bisa kita simpulkan I=\left(0,\infty\right) dan \mathbb{Q} bukanlah ruang Metrik komplit.

Jika didalam Metrik tidak komplit, suatu barisan cauchy belum tentu konvergen,apakah sebaliknya juga berlaku?

Apakah barisan konvergen belum tentu cauchy didalam Metrik tidak komplit?

Continue reading

1-2+3-4+5-6+…

Saya punya soal deret tak hingga untuk kalian:

1-2+3-4+5-6+…

atau dalam bentuk sigma ditulis

\sum_{n=1}^{\infty}\left(-1\right)^{n+1}n

Berapa hasilnya?

Menurut Euler hasilnya adalah  ¼. Mmm…hasil yang aneh bin ajaib bukan? Mengingat deret tersebut merupakan deret bilangan bulat harusnya hasilnya adalah bilangn bulat juga, mustahil hasilnya pecahan.

Darimana Euler mendapatkan hasil ¼?

Asumsi s=1-2+3-4+5-6+… , diperoleh:

4s=(1-2+3-4+5-6+…)+(1-2+3-4+5-6+…)+(1-2+3-4+5-6+…)+(1-2+3-4+5-6+…)

4s=(1-2+3-4+5-6+…)+1+(-2+3-4+5-6+…)+1+(-2+3-4+5-6+…)-1+(3-4+5-6+…)

4s=1+[(1-2+3-4+5-6+…)+(-2+3-4+5-6+…)+(-2+3-4+5-6+…)+(3-4+5-6+…)]

Continue reading

Deret Harmonik

Pada postingan sebelumnya saya membahas bahwa deret  \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}} konvergen ke 2 atau dengan kata lain \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=2. Sekarang kita hilangkan kuadratnya sehingga deret tersebut menjadi

{\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots}

Deret diatas dikenal dengan nama Deret Harmonik

Apakah deret harmonik konvergen? Tidak, deret harmonik divergen

Bagaimana cara membuktikan kedivergenannya?

Ada banyak caranya tetapi saya akan memakai cara yang digunakan Honsberger (1976) Menurut saya cara yang dipakainya adalah cara yang paling sederhana dan mudah dipahami.

Diketahui \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}>\frac{2}{n+1} untuk n bilangan asli, andaikan deret harmonik konvergen ke S diperoleh

S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\ldots

S=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\ldots

S>\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)+\ldots

S>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\ldots

S>S

Jelas S>S suatu hal yang kontradiksi. Terbukti deret harmonik divergen.

QED

Untuk cara pembuktian lainnya silahkan unduh di sini

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

barisan konvergen

Kali ini saya mau membahas barisan dan kekonvergenan

Barisan

 

Definisi: Suatu barisan (pada bilangan real) adalah suatu fungsi pada \mathbb{N} himpuan bilangan asli dengan range-nya (daerah hasilnya) dalam \mathbb{R}.

Dengan kata lain barisan pada \mathbb{R}. memasangkan setiap bilangan asli n=1,2,3,.. ke suatu bilangan real. Bilangan real yang diperoleh disebut nilai dari barisan. Umumnya suatu bilangan real yang dipasangkan ke suatu n\in\mathbb{N} dinotasikan x_{n}. Sedangkan barisan X:\,\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R} dinotasikan X=\left(x_{n},n\in\mathbb{N}\right).

Contoh

X=\left(2n,\, n\in\mathbb{N}\right) adalab barisan 2, 6, 8, 10, …

X=\left(\frac{1}{n},\, n\in\mathbb{N}\right) adalah barisan 1, 1/2, 1/3,…

X=\left(3,\, n\in\mathbb{N}\right) adalah barisan konstantanta 3, 3, 3,..

Konvergen

Para matematikawan menyadari ada barisan-barisan yang mempunyai sifat semakin besar n maka nilai x_{n} akan mendekati suatu nilai L. Sebagai contoh Y=\left(\frac{1}{n},\, n\in\mathbb{N}\right). Semakin besar n maka y_{n} akan mendekati nol tetapi tidak pernah mencapai nol. (kenapa?).  Jika x_{n} mendekati L seiring membesarnya n lalu kita notasikan \epsilon sebagai jarak antara x_{n} dengan L, dengan mudah kita ketahui nilai \epsilon akan semakin kecil jika n membesar. Begitu pula sebaliknya \epsilon akan membesar jika n mengecil. Pertanyaannya adalah berapa minimal n sedemikan hingga jika diambil suatu \epsilon, jarak x_{n} dengan L akan selalu kurang dari \epsilon?

Continue reading