Popcorn

Grafik fungsi Thomae dari 0 sampai 1

Grafik fungsi Thomae dari 0 sampai 1

Pada Tahun 1875, Matematikawan Jerman Carl Johannes Thomae mendefinisikan suatu fungsi f\left(x\right)dengan sifat yang aneh bin ajaib. Fungsi f\left(x\right) hanya kontinyu di bilangan irasional tetapi diskontinyu di bilangan rasional.

Fungsi f\left(x\right) yang didefinisikan oleh Om Thomae diberi nama sesuai namanya Fungsi Thomae. Definisi fungsinya sebagai berikut:

{\displaystyle f\left(x\right)=\begin{cases} 0, & x\notin\mathbb{Q}\\ \frac{1}{m}, & x\in\mathbb{Q}\:\mathrm{dengan}\: x=\frac{n}{m}\:\mathrm{dalam\: bentuk\: paling\: sederhana} \end{cases}}

Teorema: Fungsi Thomae kontinyu pada bilangan irasional tetapi diskontinyu pada bilangan rasional.

Bukti: Ambil c\in\mathbb{Q} maka terdapat deret irasional \left(x_{n}\right) dengan \lim\left(x_{n}\right)=c padahal \lim\left(f\left(x_{n}\right)\right)=0\neq f\left(c\right). Terbukti f\left(x\right) diskontinyu di c\in\mathbb{Q}.

Continue reading

Kontinyu dimanapun tetapi tak terturun dimanapun

Di Tahun 1872, Weierstrass  mengejutkan dunia Matematika dengan menuliskan sebuah paper yang menunjukan ada fungsi kontinyu di semua titik di \mathbb{R} tetapi tidak tidak terturun dimanapun. Fungsi tersebut dinamakan sesuai dengan namanya yaitu Fungsi Weierstrass.

Definisi: Diberikan 0<a<1 dan b bilangan ganjil positif yang memenuhi 1+3\pi/2<ab (contoh: ambil a=1/2 dan b=11). Didefinsikan fungsi Weierstrass W:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, sebagai berikut:

{\displaystyle W\left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}a^{n}\cos\left(b^{n}\pi x\right)}

Sebuah fungsi berbentuk deret tak hingga

Sebelum Weierstrass menerbitkan papernya, mayoritas Matematikawan termasuk Dewa Matematika Gauss berkeyakinan bahwa fungsi kontinyu hanya gagal terturun di titik-titik tertentu saja, Contohnya fungsi |x| yang hanya tidak terturun di titik 0. Nah..Weierstrass lah dengan sukses membantah keyakinan mereka.

Teorema: Fungsi W kontinyu seragam di \mathbb{R} tetapi tidak terturun di titik manapun.

Ternyata fungsi W tidak hanya kontinyu melainkan kontinyu seragam. Faka ini juga mengejutkan para Matematikawan ternyata kontinyu seragam tidak menjamin keterturunan.

Bukti:

Continue reading

Perbedaan definisi fungsi kontinyu di kalkulus dan di Analisis Real

Buku kalkulus yang saya punya adalah Kalkulus dan Geoemtri Analisis, Purcell, edisi Terjemahan, sedangkan buku analisi real yang saya punya: Introduction to Real Analysis, Bartle. Saya baru ngeh baru sadar ternyata definisi fungsi kontinyu pada kedua buku tersebut berbeda dan perbedaan tersebut tidak ekuivalen. Setelah saya melakukan penelusuran di Internet, saya sampai pada satu kesimpulan definisi fungsi kontinyu di kalkulus berbeda dengan yang ada di Analisis Real.

Kalkulus mengatakan

Diberikan A\subseteq\mathbb{R}f:A\rightarrow\mathbb{R} dan c\in A. Fungsi f dikatakan kontinyu di titik c, jika berlaku: f(c) terdefinsi dan \lim_{x\rightarrow c}f\left(x\right)=f(c)

Sekarang kita jabarkan  \lim_{x\rightarrow c}f\left(c\right)=c kedalam bentuk epsilon-delta, diperoleh pernyataan.

Untuk sebarang \epsilon >0 terdapat \delta >0 sedemikian hingga, jika 0<|x-c|<\delta dengan x\in A maka |f(x)-f(c)|<\epsilon.

Sedangkan Analisis real berkata

Diberikan A\subseteq\mathbb{R}f:A\rightarrow\mathbb{R} dan c\in A. Fungsi f dikatakan kontinyu di titik c, jika berlaku pernyataan berikut.

Untuk sebarang \epsilon >0 terdapat \delta >0 sedemikian hingga, jika |x-c|<\delta dengan x\in A maka |f(x)-f(c)|<\epsilon.

Dimana letak perbedaannya?

Kalkulus mengatakan 0<|x-c|<\delta, itu artinya jarak x ke c tidak boleh nol. Dengan kata lain x haruslah berbeda dengan c (x\neq c)

Sedangkan analisis Real mengatakan |x-c|<\delta, itu artinya jarak x ke c boleh nol. Dengan kata lain boleh saja x=c.  Jadi definsi kekontinyuan di analisis real tidak serupa dengan \lim_{x\rightarrow c}f\left(x\right)=f(c)

 Apa akibat dari perbedaan ini?

Continue reading

pembuktian g(x+y)=g(x)g(y) kontinyu

Dapat Email dari seseorang yang isinya:

salam kenal,

saya salah satu penikmat blog nya mas aria. saya mendapat banyak pengetahuan matematika.

saya tertarik dengan matematika dan ingin mengajarkan kepada anak saya nanti. dalam kesempatan ini saya mohon bantuan mas aria untuk menyelesaikan problem ini. saya sudah coba, tapi masih belum menjawab.

problem:

Misalkan g: R–>R, g tidak sama dengan Nol.  dan memenuhi : g(x+y) = g(x) g(y) . Untuk semua x,y diR. Tunjukkan bahwa bila g kontinu di x = 0, maka g kontinu di R

 

dibawah ini penyelesaian saya:

diketahui

g(x+y) = g(x) g(y), untuk  semua x,y di R

untuk x = 0, g(0+y) = g(0) g(y)

g(y) = g(0) g(y),

g(y)/g(y) = g(0) sehingga g(0) = 1

jika g adalah kontinu di x = 0, maka g(0+y) = g(y) adalah kontinu di semua titik y. Selama y dapat diuraikan kedalam bentuk : y = a + b, dimana a,badalah bilangan real. Maka  

g(y) = g(a+b) = g(a) g(b) sehingga g kontinu di setiap titik.

Continue reading

ada tetapi tidak kontinyu

Fungsi kontinyu

Saya sudah pernah membahas mengenai limit fungsi kali ini saya akan membahas mengenai fungsi kontinyu, fungsi f(x) dikatakan kontinyu dititik c jika {\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}f(x)=f(c)} atau bisa kita tulis dalam bentuk simbol

{\displaystyle (\forall\epsilon>0,\exists\delta>0)\;|x-c|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(c)|<\epsilon}

Fungsi Dirichlet

Fungsi Dirichlet didefinisikan sebagai beikut

f(x)=\begin{cases}1 & \textrm{untuk}\, x\,\textrm{rasional}\\-1 & \textrm{untuk}\, x\,\textrm{irasional}\end{cases}

Bisi kita lihat nilai f(x) ada, terdefinisi untuk semua x bilangan real, tapi apakah anda percaya jika f(x) tidak kontinyu discontinuous function di semua titik x

Untuk membuktikannya kita menggunakan teorema kepadatan density theorem yang berkata

jika x<y dimana x,y\in\mathbb{R} maka ada bilangan rasioanal dan irasonal diantara x dan y

Continue reading