Real dan Kompleks mempunyai cardinalitas yang sama

Kita tahu bahwa himpunan bilangan real \mathbb{R} merupakan himpuan bagian dari himpuan bilagan kompleks \mathbb{C}. Apakah itu berarti cardinalitas (banyak elemen) pada \mathbb{C} lebih besar dari \mathbb{R}\mathbb{\left|\mathbb{C}\right|>\left|R\right|}? Kita juga tahu bahwa setiap elemen di \mathbb{C} mempunyai bentuk a+bi untuk sebarang a,b\in\mathbb{R}. Apakah itu berarti  \left|\mathbb{C}\right|=\left|\mathbb{R}\right|+\left|\mathbb{R}\right|

Tidak, tidak, \mathbb{C} mempunyai cardinalitas yang sama dengan \mathbb{R}, \left|\mathbb{C}\right|=\left|\mathbb{R}\right|

Continue reading

Dua definsi Himpunan Terbuka

Di Matematika, ada dua pengertian Himpunan Terbuka, pengertian menurut ruang metrik dan pengertian menurut Topologi. Nah..sekarang kita lihat pengertian Himpunan terbuka menurut ruang metrik:

Definsi;:Diberikan ruang metrik X dan O himpunan bagian dari X. Himpunan O dikatakan terbuka jika untuk semua x\in0, persekitaran dari x  merupakan bagian dari O

Sedangkan menurut Topologi, himpunan terbuka didefinsikan sebagai berikut

Definisi : Untuk sebarang ruang topologi \left(X,\tau\right). Anggota-anggota dari \tau dikatakan himpunan terbuka.

Nah..sekerang pertanyaannya, mengapa ada 2 definsi himpunan terbuka? Apa hubungan 2 definsi tersebut?

Nah..untuk menjawabnya, sekarang kita perhatikan sifat-sifat himpunan terbuka pada ruang materik

Teorema: Diberikan F koleksi semua himpunan terbuka pada ruang metrik X maka berlaku pernyataan berikut:

(i) X dan himpunan kosong \emptyset termuat didalam F

(ii) Gabungan (berhingga ataupun tak hingga) dari himpunan-himpunan di F termuat di F pula

(iii) Irisan berhingga dari himpunan-himpunan di F berada di F pula

Nah sekarang bandingkan dengan definsi ruang topologi

Continue reading

Irasional lebih besar dari rasional

Kali ini saya mau menjawab pertanyaan dari Ity Rahmah

asslm..
klo bilangan rasional ama bilangan irasional,, banyakan mana..??
truss alasannya apa..??

Pertama-tama saya balas dulu salamnya “Walaikumsalam”. Kita tahu himpunan Tak-hingga (Infinite set) dibagi menjadi dua: himpunan terhitung (Countable set) dan himpunan tak-terhitung (Uncountable set). Himpunan Tak-hingga dikatakan terhitung jika kardinalitasnya (banyaknya elemenen) sama dengan himpunan bilangan asli \mathbb{N} dan dikatakan tak-terhitung jika kardinalitasnya lebih besar dari \mathbb{N} . Gabungan dari 2 himpunan terhitung adalah terhitung pula. Diketahui bahwa himpunan bilangan asli \mathbb{R} adalah tak-terhitung dan saya pernah membahas bahwa himpunan bilangan rasional adalah terhitung. Itu berarti himpunan bilangan irasional adalah tak-terhitung, karena jika himpunan bilangan irasional terhitung berakibat \mathbb{R} terhitung. Dapat disimpulkan himpunan bilangan irasional lebih besar dari himpunan bilangan rasional

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

Teorema Cantor

Diberikan sebarang himpunan S, didefinisikan himpunan kuasa (power set) dari S (dinotasikan P\left(S\right)) yaitu himpunan yang berisikan semua subhimpunan dari S. Contoh: S=\left\{ a,b\right\} maka P\left(S\right)=\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} .  Itu artinya himpunan kuasa adalah himpunan yang berisikan himpunan-himpunan.

Jika S berhingga dengan n elemen maka P\left(S\right) memuat 2^n elemen. (Itu karena untuk membuat subhimpunan dari S, kita harus melihat kesemua n elemen lalu memililih setiap elemen apakah mau dimasukkan ke subhimpunan atau tidak. Ada 2^n cara untuk membuat pilihan sebanyak n). Hal tersebut juga berlaku untuk himpunan dengan nol elemen yaitu himpunan kosong \emptyset, himpunan kuasa dari \emptyset adalah P\left(\emptyset\right)=\left\{ \emptyset\right\}  himpunan beranggotakan himpunan kosong.

Kita tahu bahwa n<2^n akan selalu benar, itu berarti himpunan berhingga akan selalu lebih kecil dari himpunan kuasanya lalu bagaimana dengan himpunan tak-hingga? Menurut Teorema Cantor, hal tersebut juga berlaku untuk himpunan tak-hingga. Continue reading

Himpunan Kompak, apanya yang kompak?

Ada yang meminta saya untuk membahas himpunan kompak. Konsep kekompakan memegang peranan pentinng dalam analisis dan Topologi. Mengingat bidang saya aljabar bukan analisis ataupun Topologi, pemahaman saya mengenai himpunan kompak tidaklah mendalam (Atau bahkan mungkin salah). Jadi disini kita sama-sama belajar mengenai himpunan kompak, okey :)

Untuk memahami apa itu himpunan kompak, terlebih dahulu kita harus paham mengenai “Liput” (Cover) Pada matematika.

Diberikan himpunan tak-kosong X, tentunya kita bisa membuat subhimpunan-subhimpunan(tak-kosong) dari X. Kemudian kita gabungkan subhimpunan-subhimpunan tersebut, sebut saja C yaitu gabungan subhimpunan-subhimpunan dari X. Nah.. C dikatakan liput (cover) jika C memuat X.

Contoh: Himpunan {a,b} mempunyai 5 liput, yaitu:

{{a},{b}}

{{a},{b},{a,b}}

{{a},{a,b}}

{{b},{a,b}}

{a,b}

Himpunan sigleton {x} liputnya adalah himpunan {x} itu sendiri

Continue reading

Relasi ekuivalen, kelas ekuivalensi dan partisi

Konsep relasi pada Matematika serupa dengan pengertian relasi pada sehari-hari. AKan saya mulai dengan definisi formal relasi

Definisi 1: Suatu relasi (biner) pada himpunan S adalah himpunan bagian R dari produk cartesian S\times S. Jika R adalah suatu relasi dan \left(x,y\right)\in R maka dikatakan x berelasi ke y pada R atau singkatnya xRy

Contoh 2: boleh dibilang relasi yang paling dikenal adalah relasi “=” (Sama dengan) yang memut semua elemen  \left(x,x\right)\in S\times S

Contoh 3: Diberikan S=\left\{ 1,2,3\right\} dan R=< (kurang dari). Tuliskan semua elemen R.

Diperoleh

R=\left\{ \left(1,2\right),\left(1,3\right),\left(2,3\right)\right\}

Karena memuat semua elemen \left(x,y\right) dengan x<y

Nah..selanjutnya kita bahas relasi ekuivalen

Continue reading

himpunan terbuka dan tertutup pada topologi

Postingan ini merupakan lanjutan dari postingan kemarin. Kemarin telah kita bahas bahwa ruang topologi adalah pasangan himpunan \left(X,\tau\right) dengan \tau berisikan himpunan-himpunan bagian dari X. Nah isi dari \tau ini lah yang disebut himpunan terbuka

Definisi 1: Untuk sebarang ruang topologi \left(X,\tau\right). Anggota-anggota dari \tau dikatakan himpunan terbuka.

Teorema 2: Untuk sebarang ruang topologi \left(X,\tau\right) maka

(i) X dan \emptyset adalah himpunan terbuka.

(ii) Gabungan (berhingga atau tak-hingga) dari himpunan terbuka adalah himpunan terbuka.

(iii) Irisan berhingga dari himpunan terbuka adalah himpunan terbuka.

Nah..dari teorema 2 ini pastilah timbul pertanyaan: Gabungan tak-hingga himpunan terbuka adalah terbuka, tapi apakah irisan tak-hingga dari himpunan terbuka pastilah terbuka? Jawabannya “tidak”

Continue reading

Himpunan kosong merupakan himpunan terbuka dan tertutup

Didalam ruang metrik (begitupula didalam topologi) kita tahu jika A merupakan himpunan terbuka maka A^c adalah himpunan tertutup. Dengan kata lain himpunan tertutup merupakan komplement dari himpunan terbuka, begitu pula sebaliknya. Nah..ajaibmya himpunan kosong (notasi: \emptyset) merupakan himpunan terbuka dan juga tertutup. Mmm..sepertinya mustahil bukan? Mari.. akan saya jelaskan.

Pertama-tama saya akan menunjukan himpunan kosong merupakan himpunan terbuka.

Definisi 1: Himpunan A dikatakan terbuka jika semua anggotanya merupakan titik dalam dari A

Itu berarti untuk mempuktikan himpunan kosong merupakan himpunan terbuka, kita harus membuktikan

\forall x\in\emptyset maka x merupakan titik dalam dari \emptyset

Jelas antisedennya salah. Seperti yang sudah saya katakan, kalimat implikasi akan bernilai benar jika antisedennya salah.

Jadi terbukti himpunan kosong adalah himpunan terbuka.

Continue reading

Himpunan kosong termuat disebarang himpunan, ah yang benar?

Kita tahu bahwa himpunan kosong dinotasikan \emptyset adalah himpunan yang tidak mempunyai isi, tidak mempunyai elemen, kosong sesuai dengan namanya himpunan kosong. Nah..salah satu sifat himpuan kosong adalah himpunan kosong temuat disebarang himpunan, atau dengan kata lain himpunan kosong adalah subhimpunan dari sebarang himpunan

\forall A:\,\emptyset\subseteq A

Jadi jika kita mempunyai suatu himpunan A tidak peduli itu himpunan apa, apa isinya pastilah himpunan kosong termuat didalam A.

Bagaimana membuktikannya?

Kita tahu bahwa himpunan A dikatakan termuat di himpunan B, atau dengan kata lain A subhimpunan dari B dinotasikan A\subseteq B jika semua elemen A termuat di B

\forall x\in A\Rightarrow x\in B

Itu berarti untuk membuktikan \forall A:\,\emptyset\subseteq A kita harus membuktikan

Continue reading

Ketiga-tiganya mempunyai kardinalitas yang sama

Diberikan himpunan A, kardinalitas dari A dinotasikan |A| adalah banyaknya elemen dari A. Misalkan saja A={u,j,k,a} maka |A|=4. Dalam matematika dua buah himpunan dikatakan mempunyai kardinalitas yang sama |A|=|B| jika terdapat fungsi bijektif dari A ke B (atau sebaliknya).

Okey..saya anggap kalian sudah tau mengenai himpunan bilangan asli \mathbb{N}, himpunan bilangan bulat \mathbb{Z} dan himpunan bilangan rasional \mathbb{Q} kalau belum tanya mbah google aja yach :)

Kita tahu bahwa \mathbb{Q}\supset\mathbb{Z}\supset\mathbb{N}. Apakah itu berarti \left|\mathbb{Q}\right|>\left|\mathbb{Z}\right|>\left|\mathbb{N}\right|?

Percaya tidak kalau saya bilang ketiga-tiganya mempunyai kardinalitas yang sama \left|\mathbb{Q}\right|=\left|\mathbb{Z}\right|=\left|\mathbb{N}\right|

Nah.. mari saya buktikan.

Pertama tama saya akan membuktikan \left|\mathbb{Z}\right|=\left|\mathbb{N}\right|

Seperti yang saya katakan di atas bahwa untuk 2 buah himpunan mempunyai  kardinalitas sama artinya ada fungsi bijektif yang menghubungkan kedua himpunan. Nah..apakah ada fungsi bijektif dari \mathbb{Z} ke \mathbb{N}? Tentu saja ada fungsi tersebut didefinisikan

Continue reading