Buat kalian para perempuan, kapan terakhir kalian mengepang rambut? Waktu SD, atau SMP? Denger-denger model rambut kepang sekarang lagi ngetrend, bener gak sich? (Sok tau mode on ). Postingan saya kali ini mau ngomongin soal kepang. Saya akan berbicara bahwa kepang dapat dimatematikakan, bahwa ada matematika didalam kepang-mengepang. Saya akan berbicara mengenai Braid Group, grup Kepang.

Grup adalah himpunan tak kosong G yang dilengkapi dengan operasi biner • bersifat asositif dan memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut:

1. Terdapat elemen identitas e dalam G, sedemikian hingga setiap  a dalam G, maka berlaku e • a = a • e = a
2. Untuk setiap a dalam G, terdapat elemen inverse  b dalam G sedemikian hingga a • b = b • a = e, dengan e elemen identitas

Grup Braid

Bayangkan ada untaian tali sebanyak n yang mengantung secara paralel. Kedua ujung tiap-tiap untaian menempel pada titik-titik yang berbeda. Banyak untaian dihitung dari kiri ke kanan. Suatu n-braid memuat jalinan-jalinan antar untaian yang satu dengan yang lainnya dengan banyaknya untaian sebanyak n. Sepasang untaian hanya bisa dijalin dengan dua cara menyilangkan kedua untaian dengan untaian kiri diatas untaian kanan atau sebaliknya.

Kedua 4-braid dibawah adalah 4-braid yang berbeda

berbeda dengan

Himpunan dari semua kemungkinan n-braid membentuk grup yang disebut dengan Grup n-braid dinotasikan B_n. Operasi biner didefiniskan dengan menyambung dua braid menjadi satu. Ujung braid yang ke satu disambung dengan awal dari braid yang ke dua. Elemen Identitas adalah braid yang semua untaiannya tergantung lurus paralel tanpa jalinan/ persilangan. Invers dari sebarang braid adalah bayangan cerminnya dengan muka cermin tegak lurus terhadap  untaiannya. Dua buah braid dikatakan sama jika untaian-untaian braid yang satu ditarik atau dikendorkan maka akan akan menyerupai braid kedua.

Representasi

Setiap grup n-braid dapat direpresntasikan dengan (n-1) pembangun (ditambah identitas) dinotasikan dengan i=1,2,3…n-1. Pembangun adalah braid yang dibentuk dengan menyilangkan untaian i ke bawah untain (i+1) sedangkan sedangkan inversnya dibentuk dengan menyilangkan untaian i ke atas untaian (i+1)

Pembangun mempunyai relasi

Jadi braid-braid pada gambar dua bisa ditulis sebagai berikut:

Dari contoh diatas jelas, ada banyak cara menuliskan braid.

***

Grup Braid dapat diaplikasikan ke Ilmu kriptografi. Seperti apa aplikasi grup Braid pada kriptografi? Silahkan tanya Bung Zaki, thesis dia mengenai hal tersebut.

]]> http://ariaturns.wordpress.com/2009/11/22/grup-braid-mari-kita-mengepang/feed/ 4 Aria Turns kepang braid braid-braid Braids generator http://ariaturns.wordpress.com/2009/11/19/ketiga-tiganya-mempunayi-kardinalitas-yang-sama/ http://ariaturns.wordpress.com/2009/11/19/ketiga-tiganya-mempunayi-kardinalitas-yang-sama/#comments Thu, 19 Nov 2009 13:09:11 +0000 Aria Turns http://ariaturns.wordpress.com/?p=1999 ]]>

Diberikan himpunan A, kardinalitas dari A dinotasikan |A| adalah banyaknya elemen dari A. Misalkan saja A={u,j,k,a} maka |A|=4. Dalam matematika dua buah himpunan dikatakan mempunyai kardinalitas yang sama |A|=|B| jika terdapat fungsi bijektif dari A ke B (atau sebaliknya).

Okey..saya anggap kalian sudah tau mengenai himpunan bilangan asli , himpunan bilangan bulat dan himpunan bilangan rasional kalau belum tanya mbah google aja yach

Kita tahu bahwa . Apakah itu berarti ?

Percaya tidak kalau saya bilang ketiga-tiganya mempunyai kardinalitas yang sama

Nah.. mari saya buktikan.

Pertama tama saya akan membuktikan

Seperti yang saya katakan di atas bahwa untuk 2 buah himpunan mempunyai  kardinalitas sama artinya ada fungsi bijektif yang menghubungkan kedua himpunan. Nah..apakah ada fungsi bijektif dari ke ? Tentu saja ada fungsi tersebut didefinisikan

Saya tidak akan membuktikan fungsi di atas bijektif, kalian percaya saja ya ama saya.

Q.E.D

Nah..sekarang akan membuktikan

Untuk membuktikan sedikit lebih rumit dibanding membuktikan karena kita harus mengkontruksikan fungsi bijektifnya. Pertama-tama kumpulkan semua bilangan rasional yang positif lalu kita bariskan

baris pertama terdiri dari bilangan-bilangan yang mempunyai bentuk 1/n

1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6…

baris kedua mempunyai bentuk 2/n

2/1, 2/2, 2/3, 2/4, 2/5, 2/6…

baris ketiga mempunyai bentuk 3/n

3/1, 3/2, 3/3, 3/4, 3/5, 3/6…

begitu seterusnya, diperoleh

1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6…

2/1, 2/2, 2/3, 2/4, 2/5, 2/6…

3/1, 3/2, 3/3, 3/4, 3/5, 3/6…

4/1, 4/2, 4/3, 4/4, 4/5, 4/6…

Kemudian kita urutkan bilangan dengan cara zig-zag  dimulai dari pojok kiri atas ke kanan selangkah, ke diagonal bawah, ke bawah selangkah lalu ke diagonal atas begitu seterusnya dan hilangkan bilangan yang telah diambil

Kita peroleh urutan

1, 1/2, 2,  3, 1/3, 1/4, 2/3, 3/2, 4, 5…

Sekarang kita tambahkan nol dan pasangan negatifnya

0, 1, -1, 1/2, -1/2, 2, -2, 3, -3, 1/3, -1/3, 1/4, -1/4..

Itu berarti kita telah mengurutkan semua bilangan rasional. Jika kita memasangkan 0 ke 1, 1 ke 2, -1 ke 3, 1/2 ke 4 dan seturusnya maka kita telah mendefinisikan fungsi bijektif dari ke

Note: Pembuktian rasional diatas dikenal dengan nama “Cantor Zig Zag”

***

Nah saya telah membuktikan . Cukup aneh bukan ketiga himpunan tersebut mempunyai kardinalitas yang sama.

Ini masih lanjutan dari postingan kemarin, Kemarin saya mengusulkan untuk mendefinisikan bilangan baru (dibaca xi) yang didefiniskan . Bilangan tersebut merupakan solusi  dari persamaan karena persamaan tersebut tidak mempunyai solusi baik di bilangan real maupun di bilangan kompleks.

Saya berpikir apakah mungkin kita mendefinisikan bilangan ?

Dalam matematika kita bebas menciptakan definisi baru, asalkan definisi yang kita ciptakan benar-benar baru/orisnil, belum pernah ada orang lain yang mendefinisikan hal serupa dan tidak terjadi kontradiksi. Saya tidak tahu apakah ada orang lain yang pernah mendefinisikan bilangan serupa atau tidak tapi saya bisa men-cek apaka bilangan menimbulkan kontradiksi atau tidak.

Saya mendefinisikan sebagai berikut

Kuadratkan kedua sisi diperoleh

Kemudian akar kan kedua sisi diproleh

.

.

Ternyata terjadi Kontradiksi. Itu berarti kita mustahil mendefinisikan , bilangan tersebut mustahil eksis di dunia matematika.

]]> http://ariaturns.wordpress.com/2009/11/16/mustahil-untuk-didefinisikan/feed/ 3 Aria Turns http://ariaturns.wordpress.com/2009/11/15/apa-perlu-kita-mendefinisikan-bilangan-baru/ http://ariaturns.wordpress.com/2009/11/15/apa-perlu-kita-mendefinisikan-bilangan-baru/#comments Sun, 15 Nov 2009 15:09:37 +0000 Aria Turns http://ariaturns.wordpress.com/?p=1982 ]]>

Iseng-iseng jalan-jalan ke physicsforums.com. Saya menemukan pertanyaan yang menarik di forum tersebut. Ada yang bertanya:

Berapa solusi dari

Atau bisa juga ditulis

Member-member di forum tersebut menjawab kalau persamaan tersebut tidak mempunyai solusi di bilangan real maupun di bilangan kompleks dan saya juga berpendapat sama. Nah sekarang mari kita coba selasaikan persamaan diatas.

kita tahu bahwa diperoleh

Jelas merupakan solusi yang salah. Jadi jelas persamaan di atas tidak mempunyai solusi. Mmm…saya jadi berpikir

apa kita perlu mendefinisikan bilangan baru yang didefinisikan .

Bagaimana teman-teman, apa kalian punya pendapat lain? Atau jangan-jangan saya salah hitung?

Mengingat banyaknya permintaan agar saya membahas dugaan Poincare (Poincare Conjecture) maka postingan kali ini akan menjelaskan hal tersebut. Dugaan Poincare (DP) adalah satu-satunya problem dari seven mellenium problem yang berhasil dipecahkan. DP dipecahkan oleh Matematikan rusia Grisha Perelman pada tahun 2006, menurut rumor yang beredar dia menolak satu juta dollar reward memecahkan DP (Damm..ada ya, orang yang nolak satu juta dollar)

DP sebenarnya adalah pertanyaan yang diajukan Matematikawan Prancis Henri Poincare pada tahun 1900, pertanyaan tersebut adalah

Apakah semua 3-manifold tertutup yang simple connected itu Homeomorphic ke 3-sphere?

Apa itu “3-manifold tertutup,”simple connected” ,” Homeomorphic” dan”3-spahere”?

Mari saya jelasakan satu-satu.

3-sphere

Pertama-tama akan saya jelasakan mengenai 3-sphere.  3-sphere adalah bidang/permukaan dari bola berdimensi 4. Ada bisa bayangkan bola berdimensi 4? Jangan kwatir saya juga tidak bisa membayangkan. Dengan kata lain 3-sphere adalah himpunan semua titik2 yang mempunyai jarak yang sama dati titik pusat dalam dimensi-4 ruang euclid. Begitu pula dengan 2-sphere merupakan permukaan/bidang 2-dimensi yang membungkus/ yang merupakan kulit dari bola 3-dimensi (Bola pada umunya). Jadi 3-sphere adalah objek 3-dimensi yang membungkus bola berdimensi empat. Secara umum n-sphere adalah objek n-dimensi yang membungkus bola n+1 dimensi

Homeomorphic

Dua buah benda A dan B dikatakan homeomorphic. Jika bentuk A bisa diubah ke bentuk B dengan cara ditarik, direganggkan, ditarik, dibengkokkan, dilipat tetapi tidak boleh dipotong, dilubangi, dirobek ataupun dilem. Contoh lingkaran dan elips adalah homeomorphic karean lingkaran bisa diubah menjadi elips dengan cara direganggkan.  bujur-sangkar dan jejeran genjang merupakan homeomorphic. Begitu juga dengan cangkir dan donat merupakan homeomorphic

d-manifold

manilold berdimensi d atau d-manifold adalah permukaan dari objek geometri yang pada skala cukup kecil menyerupai ruang euclid berdimensi di . Konsep tersebut termotivasi dari permukaan bumi, kita tahu permukaan bumi berbentuk 2-sphere tapi dalam skala kecil merasa permukaan bumi ini merupakan bidang datar. Jadi Manifold merupakan generalisasi dari permukaan tempat kita berdiri, kita ngerasa permukaan tersebut datar padahal sebenernya tidak

contoh manifold

d=1 : kurva, garis lurus, parabola, dll

d=2 : bidang, 2-sphere, permukaan cangkir, permukaan donat, semua permukaan objek2 geometri dimensi 3

d=3 :  3-sphere.

Suatu d-manifold dikatakan tertutup jika memenuhi

1. bukan garis lurus yang panjangnya tak hingga untuk 1-manifold, dan bukan bidang dengan luas tak hingga untuk 2-manifold.
2. Tersambung /connected merupakan 1 potongan
3. Tanpa batas contoh n-sphere

Teorema

Setiap 1-manifold tertutup homeomorphic ke lingkaran (1-sphere)

Ketiga bentuk di atas homeomorphic.

Poincare menyadari bahwa tidak semua 2-manifold tertutup itu homeomorphic ke 2-sphere. Poincare ingin mencari tahu 2-manifold tertutup seperti apa yang homeomorphic ke 2-sphere.

simple connected

Poincare menyadari bahwa 2-sphere mempunyai sifat simple connected, yaitu setiap loop (putaran) tetutup dapat menyusut menjadi suatu titik. Perhatikan gambar

Dalam bahasa sederhana jika kita mengikatkan tali elastis pada bola (2-sphere) maka kita bisa melepaskan bola tanpa perlu merusak ikatan.

Akhirnya Poincare berkesimpulan

Teorema 2

Setiap 2-manifold tertutup yang simple connected homeomorphic ke 2-sphere.

(permukaan) donat tidaklah simple connected karena jika kita mengikatkan taki elastis yang melalui lubang tengah donat maka mustahil kita melepaskan donat  tanpa merusak ikatan. Berarti donat tidak homeomorphic ke 2-sphare

Kemudian Poincare bertanya apakah Setiap 3-manifold tertutup yang simple connected homeomorphic ke 3-sphere. Sayang Poincare tidak mampu menjawab pertanyaannya sendiri. Inilah yang kita kenal dengan DP.

Seorang cewek abg SMA, bertanya ke saya

Mas, Kuliah Matematika itu belajar apa aja to?

Saya jawab

Belajar definisi, teorema, pembuktian

Secara umum kuliah di (jurusan) Matematika hanya belajar tiga hal definisi, teorema dan pembuktian. Yang namanya mahasiswa pasti berkutat pada tiga hal tersebut.

1. Definisi

Definisi adalah penjelasan singkat tepat, jelas tidak ambigu mengenai suatu konsep matematika. Tidak mudah lho memahami suatu definisi. Contoh: didefinisikan

untuk sebarang bilangan real ( dibaca epsilon) maka  terdapat bilangan real  ( dibaca delta) dimana yang berakibat 

Jujur, saya butuh waktu 4 semester untuk memahami definisi limit. Bahkan menurut Prof. Widodo banyak lulusan matematika yang tidak memahami definisi limit. Dosen Pembimbing Skripsi saya sering berkata kita dilarang keras membuat definisi sendiri. Definisi harus berdasarkan dari literatur yang ada kecuali kita menciptakan konsep matematika baru yang belum pernah ada di literatur mana pun.

2. Teorema

Teorema adalah pernyataan hubungan definisi dengan definisi lainnya. Contoh: Teorema Pythagoras menyatakan hubungan ketiga sisi segitika siku-siku, Teorema Langrange menyatakan hubungan grup hingga dengan subgrup-nya.

Saya belajar bagaimana memahami suatu teorema. Saya belajar begaimana membuat teorema baru dari asumsi-asumsi yang telah diketahui. Saya belajar melihat hubungan definisi dengan definisi lainnya sehingga bisa ditarik suatu teorema.

3. Pembuktian

Yang namanya teorema pastilah ada pembuktian, karena teorema berarti pernyataan yang telah dibuktikan (Wolfram). Pembuktian adalah penjelasan/argumentasi yang jelas, meyakinkan, logis dan matematis bahwa suatu teorema adalah benar (atau salah). Inilah inti dari matematika, pembuktian. Pembuktian bukan lah suatu hal yang mudah bahkan dewa Matematika Riemann sekalipun tidak mampu membuktikan pernyatannya. Jangankan menyusun pembuktian, memahami pembuktian suatu teorema sudah cukup membuat kepala saya pening. Di Kuliah saya belajar memahami suatu pembuktian, saya belajar metode-metode pembuktian, saya belajar menyusun suatu pembuktian.

***

Jadi yang namanya belajar matematika (di tingkat Universitas) adalah belajar D-T-P (Definisi-Teorema-Pembuktian). Belajar untuk memahami, mengerti ketiga hal tersebut. Jadi jangan bayangkan kuliah di Matematika sama dengan pelajaran matematika tingkat sekolah yang isinya hanya berhitung saja.

Saya punya teka-teki nich

Apa bedanya pintu dengan himpunan?

Bedanya kalo pintu hanya bisa tertutup atau terbuka, sedangkan himpunan bisa terbuka, bisa tertutup, bisa keduanya (terbuka dan tertutup) atau bisa tidak keduanya (tidak terbuka, tidak tertutup)

Saya yakin kalian tidak mengerti humor diatas

Note

Mungkin ini postingan terpendek yang pernah saya tulis

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

Tanpa berpanjang lebar, buat siapa saja yang ingin memiliki kaos unik bertemakan matematika silahkan kunjungi Kaos.Ariaturns.com. Pokoknya kalian harus beli karena itu akan mempertebal dompet saya

Di dalam Matematika, suatu himpunan dikatakan semigrup jika terdapat operasi biner yang bersifat asosiatif di dalamnya.

Nah Pertanyaannya

Apakah semigrup boleh  kosong, tidak mempunyai elemen?

Sampai detik ini para matematikawan masih bersilang pendapat mengenai hal tersebut. Situs wikipedia menyatakan semigrup tidak boleh himpunan kosong

a semigroup is an algebraic structure consisting of a nonempty set S together with an associative binary operation.

Tetapi di Wikipedia terdapat artikel empty semigrup, semigrup kosong tanpa anggota. Salah satu kalimat dalam artikel tersebut berkata

Many authors do not admit the existence of such a semigroup. For them a semigroup is by definition a non-empty set together with an associative binary operation.

Jadi menurut Wikipedia banyak matematikawan yang menolak keberadaan semigrup kosong.

Sedangkan situs Wolfram Mathworld berkata semigrup boleh  kosong

A semigroup can be empty

Begitu pula dengan situs Planet Math yang mengatakan hal serupa dengan Wolfram Mathworld

The set G is not required to be nonempty

Dua buku semigrup  The Algebraic Theory of Semigroups, Volume I, A.H Clifford (1961) dan Introduction to Semigroup Theory, J.M Howie (1976) dengan tegas mengatakan semigrup tidak boleh kosong.

Sedangkan dua buku semigrup lainnya Semigroups and Combinatorial Applications, Gerard Lallement (1979) dan Semigroup, Grillet (1995) tidak memberikan keterangan apapun apakah semigrup boleh kosong atau tidak.

Kenapa perbedaan ini terjadi?

Menurut saya ini disebabkan oleh perbedaan difinisi operasi biner. Operasi biner pada himpunan adalah pemetaan didefinisikan

Pertanyaan yang serupa

Bolehkah himpunan kosong? Bolehkan operasi biner dikenakan pada himpunan kosong?

Beberapa litetarur menjawab dengan tegas, TIDAK operasi biner hanya bisa dikenakan pada himpunan tak kosong. Sedangkan literatur lainnya tidak memberikan penjelasan apapun. Hanya mengatakan operasi biner pada himpunan didefinikan seperti diatas tanpa ada keterangan apakah boleh kosong apa tidak. Seinget saya ketika saya sidang skripsi, dosen-dosen penguji berkata operasi biner hanya dikenakan kepda himpunan tak kosong.

Jadi jika kita beranggapan operasi biner boleh dikenakan pada himpunan kosong maka semigrup kosong itu ada/eksis, begitu pula sebaliknya.

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

Sebenernya saya sudah pernah menulis penjelasan definisi Limit tapi karena ada beberapa orang yang bilang penjelasan saya masih membingungkan. Okey, kali ini saya menjelas kan lagi mengenai limit dengan cara yang lebih sederhana.

Didefinisikan sebagai berikut

untuk sebarang bilangan real ( dibaca epsilon) maka  terdapat bilangan real  ( dibaca delta) dimana yang berakibat 

atau dalam bahas simbol ditulis

Apa maksud dari definisi tersebut? Apa maksud dari adalah limit fungsi di . Nah sekarang perhatikan gambar

Suatu fungsi di dikatakan mempunyai limit di jika memenuhi hal-hal sebagai berikut

1. Untuk sebarang bilangan real positif  , saya katakan “sebarang” artinya kita bebas memilih bilangan real positif kita bisa memilih atau , terserah kita. Kemudian bentuk interfal jelas . Interval kita namakan himpunan persekitaran
2. Ada bilangan real postif yang akan membentuk interfal himpunan persekitaran
3. Ada (dengan kata lain jarak dengan kurang dari atau  ) yang berakibat (dengan kata lain jarak dengan kurang dari atau ) (note: )

Jadi untuk menunjukan adalah limit fungsi di .  Pertama-tama bentuk interval tidak peduli berapa panjang atau pendeknya interval tersebut. Apakah ada bilangan real postif yang akan membentuk interval yang memuat  didalamnya () sedemikian hingga ? Jika jawabannya ya, maka benar adalah limit fungsi di .

Untuk contoh pembuktiannya kalian klik disini ya..

Nah..apakah penjelsan saya yang sekarang lebih sederhana lebih mudah dipahami dibanding yang sebelumnya? Atau malah lebih rumit?

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**