Proof { }

Derivative, Differentiation, Differentiable dan Differential. Apa bedanya?

Aria Turns — Wed, 18 Jan 2012 09:22:22 +0000

Derivative, Differentiation, Differentiable, Differential

4 istilah matematika yang sering membingungkan orang. Banyak orang yang sulit membedakan ke-4 istilah tersebut. Ya..jujur saya juga dulu demikian, habis bagaimana tidak bikin bingung soalnya namanya mirip-mirip dan ke-4nya saling berhubungan.

Buat kalian yang masih bingung atau rancu dengan ke-4 istilah tersebut. saya akan menjelaskan secara sederhana ke kalian.

Derivative itu turunan, turunan itu Derivative. Silahkan kalian buka buku kalulkus, turunan fungsi dititik didefinisikan

Selain notasi , turunan juga sering dinotasikan . Jadi dan . menotasikan satu hal yang sama.

Tentu untuk mendapatkan nilai ada prosesnya, ada caranya tidak tiba-tiba muncul dari langit. Nah.. proses perhitungan mencari nilai turunan disebut Differentiation.

Jika fungsi mempunyai turunan , dengan kata lain nila ada maka kita mengatakan Differentiable di . Jadi Differentiable itu bisa diterjemahkan menjadi terturun.

Yang terakhir Differential, atau lengkapnya persamaan Differential (Differential equation) adalah segala bentuk persamaan yang memuat turunan.

Contoh:

***

Nah…bagaimana kalian sudah tidak lagi bingung dengan ke-4 istilah tersebut, bukan?

Kontinyu dimanapun tetapi tak terturun dimanapun

Aria Turns — Mon, 09 Jan 2012 04:35:06 +0000

Di Tahun 1872, Weierstrass mengejutkan dunia Matematika dengan menuliskan sebuah paper yang menunjukan ada fungsi kontinyu di semua titik di tetapi tidak tidak terturun dimanapun. Fungsi tersebut dinamakan sesuai dengan namanya yaitu Fungsi Weierstrass.

Definisi: Diberikan dan bilangan ganjil positif yang memenuhi (contoh: ambil dan ). Didefinsikan fungsi Weierstrass , sebagai berikut:

Sebuah fungsi berbentuk deret tak hingga

Sebelum Weierstrass menerbitkan papernya, mayoritas Matematikawan termasuk Dewa Matematika Gauss berkeyakinan bahwa fungsi kontinyu hanya gagal terturun di titik-titik tertentu saja, Contohnya fungsi yang hanya tidak terturun di titik 0. Nah..Weierstrass lah dengan sukses membantah keyakinan mereka.

Teorema: Fungsi kontinyu seragam di tetapi tidak terturun di titik manapun.

Ternyata fungsi tidak hanya kontinyu melainkan kontinyu seragam. Faka ini juga mengejutkan para Matematikawan ternyata kontinyu seragam tidak menjamin keterturunan.

Bukti:

Pertama-tama kita buktikan fungsi kontinyu seragam di

Dengan mudah diketahui dan maka berdasarkan Weierstrass M-Test, diketahui fungsi kontinyu seragam di .

Selanjutnya dibuktikan, untuk sebarang , fungsi tidak terturun di . Caranya sebagai berikut:Kita mengkontruksikan dua barisan dan , sedemikian hingga

dari kanan dan dari kiri. Itu artinya . Selanjutnya ditunjukan turunan

tidak mempunyai nilai limit yang sama. Faktanya akan ditunjukan bahwa divergen ke ketika serta kedua dan mempunyai tanda yang berbeda.

Jadi dalam skala kecil, fungsi naik-turun teramat sering dengan kemiringan tak-hingga.

Grafik Fungsi Weierstrass

Ambil sebarang . Untuk setiap terdapat bilangan bulat , sedemikian hingga:

dengan . ( adalah atau , tergantung bagian desimal dari apakah atau \frac{1}{2}' title='>\frac{1}{2}' class='latex' />. Didefinisikan

Karena dan maka konvergen ke 0. Selanjutnya kita jabarkan turunan.

Selanjutnya kita pecah deret diatas menjadi 2 bagain.

Rujuk 2 bagian diatas dengan . Pertama-tama kita berikan batas atas untuk . Tulis ulang rumusnya menjadi:

Diperoleh bentuk . Berdasarkan Teorema Nilai rata-rata terdapat titik C antara A dan B dengan dan nilai mutlaknya adalah , diperoleh

(1)

Sekarang masuk ke bagian 2. Kita indeks ulang .

(2)

Dijabarkan argument cos pada term pertama

Karena adalah bilangan bulat ganjil, dan adalah bilangan bulat bulat maka nilai diatas adalah , dengan tanda ditentukan oleh yaitu:

Selanjutnya, argument cos pada term kedua di persamaan 2 adalah:

Gunakan rumus penjumlahan cosine, , diperoleh:

Karena , term kedua adalah 0, diketahui pula , diperoleh

Masukkan ke persamaan 2 diperoleh

(3)

Diketahui , maka persamaan 3 dapat disederhanakan sebagai berikut

(4)

Nah… sekarang perhatikan 2 deret dan secara terpisah, dari persamaan 4 diperoleh:

Karena dan maka semua suku pada deret diatas adalah . Oleh karena itu negatif dari deret tersebut mempunyai suku-suku yang non-negatif dan mempunyai batas bawah oleh suku pertama .

Karena -\frac{1}{2}' title='\epsilon_{m}>-\frac{1}{2}' class='latex' />, dan maka nilai cosine adalah serta pembilang adalah , diperoleh

(5)

Sekarang kita perhatikan , dari persamaan 4, diperoleh

adalah deret dengan suku-suku non-negatif. Dengan cara yang sama pada penjabaran , diperoleh:

(6)

Sekarang kita siap menyelesaikan pembuktian, gabungkan persamaan 1 dan 5

dengan

untuk mempermudah notasi, ambil dengan maka

Itu berarti, sedangkan adalah bilangan (bisa positif atau negatif) diluar interval . Berdasarkan asumsi maka adalah bilangan dengan nilai mutlak lebih besar dari . Dengan kata lain, saat maka tidak mendekati nol, padahal saat .

Hal tersebut membuktikan turunan kanan dari di tidak ada, dannilai mutlaknya menuju tak hingga. Ini sudah cukup membuktikan Teorema.

Perhatikan, dengan cara yang sama, diperoleh

Itu artinya nilai mutlak menuju tak hingga saat mendekati dari kiri. Akan tetapi yang menarik dan mempunyai tanda yang berbeda, yang berarti fungsi tidak hanya tak terturun di semua titik, tetapi semua titik jika didekati dari kiri dan kanan mempunyai kemiringan tak hingga besarnya dengan tanda yang berlawanan. Itu artinya di setiap titik, fungsi akan naik-turun dengan kemiringan tak-terhingga.

Kredit Gambar: Wikipedia

Yang sebenarnya tentang Lemma Zorn dan Tuhan

Aria Turns — Thu, 22 Dec 2011 09:35:29 +0000

Salah satu tulisan saya paling populer adalah: Lemma Zorn dan Pembuktian keberadaan Tuhan. Saya yakin itu disebabkan oleh judulnya yang bombastis, pembuktian keberadaan tuhan. Tulisan saya tersebut sering digunakan para Theist (yang percaya Tuhan) sebagai senjata untuk melawan para Atheist dalam perdebatan keberadaan Tuhan di forum-forum Internet.

Nah..sekarang pertanyaannya.

Apakah tulisan saya tersebut benar-benar membuktikan keberdaan Tuhan?

Mohon maaf, sama sekali tidak malah sebenarnya tulisan saya tersebut bisa digunakan untuk menyangkal Tuhan, nah lho?

Di tulisan tersebut saya mengatakan

Nah yang menarik dari lemma zorn, kita bisa membuktikan keberadaan Tuhan dengan menggunakan Lemma ini. Pertama-tama kita definisikan relasi terurut sebab-akaibat jika penyebab dari , atau dengan kata lain adalah akibat dari kemudian kita asumsikan 2 hal berikut:

Alam semesta ini bisa dianggap sebagai alam semestanya himpunan karna semua objek empiris, semua objek sains termuat di alam semesta

Semua rantai kejadian di alam semesta mempunyai penyebab umum

Jika kita sependapat dengan 2 hal tersebut maka menurut lemma zorn, alam semesta ini mempunyai elemen maksimal. Jika kita anggap elemen maksimal dari alam semeta sebagai maka menurut definisi dari elemen maksimal tidak ada satupun di alam semesta dimana , itu artinya bukan lah akibat dari semua hal di alam semesta ini, Kita semua percaya di alam semesta ini berlaku hukum sebab-akibat tetapi menurut lemma zorn ada suatu yang diluar dari hukum sebab akibat. pertanyaannya adalah apakah itu? bisakah kita artikan sebagai tuhan? Answer yourself

Di akhir tulisan saya menutup dengan pertanyaan apakah itu? bisakah kita artikan sebagai tuhan? Banyak orang menjawab ya padahal sebenarnya jawabannya Tidak. Karena termuat di alam semesta.

Apakah Tuhan termuat di Alam semesta?

Semua Agama Ibrahimic mengatakan Tuhan di Luar alam semesta.

Kalau bukan Tuhan, lalu apa itu yang tidak terikat hukum sebab-akibat dan berada di dalam alam semseta?

Mekanika Quantum menjawab adalah partikel-partikel sub-atomic, seperti Quark, electron, neutrino. Bahkan boleh saja adalah alam semesta itu sendiri. Seperti yang dikatakan Hawking

Spontaneous creation is the reason there is something

Jadi pendapat Hawking yang mengatakan alam semesta tercipta begitu saja spontan tanpa ada penyebab itu sejalan dengan Lemma Zorn.

Berdasarkan Lemma Zorn, sah-sah saja, boleh-boleh saja Alam semesta tercipta dengan sendirinya secara spontan tanpa perlu ada penyebab.

Apakah itu berarti lemma Zorn telah menyangkal keberadaan Tuhan?

Silahkan kalian, jawab sendiri

Akhir yang bahagia

Aria Turns — Wed, 14 Dec 2011 15:34:34 +0000

Setiap hari minggu pada musim dingin tahun 1933, di Budhapest. Sekelompok kecil Mahasiswa bertemu di taman kota atau di Kafe untuk berdiskusi tentang Matematika. Mahasiswa-mahasiswa yang biasanya mengikuti pertemuan adalah Paul Erdös, György (George) Szekeres, Esther Klein.

Pada satu pertemuan, Esther Klein memberikan tantangan kepeda pesarta diskusi untuk memecahkan masalah pada geometri bidang yang baru saja ia temukan. Bayangkan ada 5 titk yang terletak pada bidang datar. Peletakan 5 titik tersebut bebas asalkan tidak ada 3 titik yang segaris. jika 4 titik di hubungkan dengan garis maka akan membentuk segi empat. Esther menyadari jika diberikan 5 titik dengan tidk ada 3 titik yang segaris maka 4 dari 5 titik akan selalu bisa membentuk segi-empat yang cembung (convex).

Apa itu cembung?

Konsep cembung-cekung pada Geometri itu mirip-mirip dengan konsep cebung-cekung pada Lensa. Suatu segi-n dikatakan conveks jika tidak ada sudut cekung yaitu menjorok kedalam dengan kata lain tidak mempunyai sudut dalam (interior angles) lebih dari 180°

ACDE conveks tetapi ABCE (yang diasir) tidak karena sudut B cekung, menjorok kedalam

Esther bertanya kepada peserta diskusi apakah mampu membuktikan bahwa segi empat yang cembung akan selalu ada jika diberikan 5 titik yang terletak pada bidang dengan tidak ada 3 titik yang segaris. Setelah memeberikan waktu kepada peserta diskusi untuk menjawab, Esther menjelaskan pembuktiannya. Menurutnya ada 3 cara bagaimana meletakkan sebarang 5 titik pada bidang, Pertama ke-4 titik membentuk segi-4 yangcembung dan 1 titik tersisa berada didalam. Kedua ke-4 titik membentuk segi-4 yang cembung dan 1 titik tersisa berada diluar. Terakhir tiga titik memebentuk segitiga dan 2 titik tersisa didalam segitiga maka pastilah kedua titik tersisa akan membentuk segi-4 cembung dengan 2 titik dari segitiga.

Ternyata masalah yang dilempar oleh Esther amat menarik perhatian kelompok belajar itu untuk mendalaminya lebih lanjut. Pada tahun 1935 Erdos dan Szekeres menerbitkan paper berjudul A Combinatorial Problem in Geometry, yang membahas generalisasi dari masalah tersebut.

Apakah terdapat fungsi sedemikian hingga terdapat himpunan yang memuat paling banyak titik yang terletak pada bidang dan tidak ada 3 titik yang segaris serta terdapat himpunan bagian sebanyak titik yang membentuk segi-n cembung?

Nah…pertanyaan inilah yang oleh Erdos dinamakan Masalah yang berakhir berakhir bahagia (Happy Ending Problem), karena merujuk perrnikahan Szekeres dan Esther di tahun yang sama.

Erdos dan Szekeres mengatakan bahwa pertanyaan diatas mengakibatkan 2 pertanyaan penting yang harus dijawab.

Apakah fungsi , itu ada?
Jika, ya bagaimana mendefinsikan fungsi ?

Mereka berdua hanaya mampu menjawab pertanyaan pertama, Ya fungsi , itu ada tetapi mereka tidak mampu menjawab pertanyaan yang kedua. Mereka hanya mampu menemukan batas atas dan bawah dari , yaitu

, untuk

Dengan adalah koefisen binomial.

Sampai detik ini pertanyaan ke-2 belum terjawab. Belum ada yang mampu mendefinisikan . Pada tahun1970, diketahui dan tahun 2007 diketahui . Berapa untuk ?, masih merupakan misteri. Akan tetapi setidaknya kita tahu bahwa nilai selalu berhingga.

Kredit gambar: Planetmath.org dan Maa.org

Hore, Mbah Google sekarang bisa gambar grafik fungsi

Aria Turns — Tue, 06 Dec 2011 11:50:41 +0000

Di Blognya, Google mengumumkan bahwa sekarang ia mampu menggambar grafik fungsi. Tinggal ketik saja fungsinya pada kolom pencarian maka walah akan muncul grafik interaktif pada halaman pencarian. Tidak hanya satu fungsi, tapi Google mampu menggambar banyak fungsi sekaligus tinggal pisahkan saja dengan koma. Sayang belum ada penjelasan fungsi-fungsi apa saja yang didukung oleh Google tetapi saya lihat Goggle sanggup menhgambar fungsi-fungsi yang umum digunakan seperti Trigonometri, suku banyak, eksponensial, logaritma.

Saat ini baru grafik 2-D, semoga kedepan google sanggup menggambar grafik 3-D.

Kita lihat saja fitur-fitur Matematika apalagi yang akan dimunculkan Goole. Apakah ini artinya Google bakal menjadi saingan WolframAlpha?

Oya coba kalian ketik: (sqrt(cos(x))*cos(200x)+sqrt(abs(x))-0.7)*(4-x*x)^0.01, sqrt(9-x^2), -sqrt(9-x^2) from -4.5 to 4.5 , pada kolom pencarian Google dan lihat apa yang terjadi

Perbedaan definisi fungsi kontinyu di kalkulus dan di Analisis Real

Aria Turns — Thu, 01 Dec 2011 02:17:34 +0000

Buku kalkulus yang saya punya adalah Kalkulus dan Geoemtri Analisis, Purcell, edisi Terjemahan, sedangkan buku analisi real yang saya punya: Introduction to Real Analysis, Bartle. Saya baru ngeh baru sadar ternyata definisi fungsi kontinyu pada kedua buku tersebut berbeda dan perbedaan tersebut tidak ekuivalen. Setelah saya melakukan penelusuran di Internet, saya sampai pada satu kesimpulan definisi fungsi kontinyu di kalkulus berbeda dengan yang ada di Analisis Real.

Kalkulus mengatakan

Diberikan , dan . Fungsi dikatakan kontinyu di titik , jika berlaku: terdefinsi dan

Sekarang kita jabarkan kedalam bentuk epsilon-delta, diperoleh pernyataan.

Untuk sebarang 0' title='\epsilon >0' class='latex' /> terdapat 0' title='\delta >0' class='latex' /> sedemikian hingga, jika dengan maka .

Sedangkan Analisis real berkata

Diberikan , dan . Fungsi dikatakan kontinyu di titik , jika berlaku pernyataan berikut.

Untuk sebarang 0' title='\epsilon >0' class='latex' /> terdapat 0' title='\delta >0' class='latex' /> sedemikian hingga, jika dengan maka .

Dimana letak perbedaannya?

Kalkulus mengatakan , itu artinya jarak ke tidak boleh nol. Dengan kata lain haruslah berbeda dengan ()

Sedangkan analisis Real mengatakan , itu artinya jarak ke boleh nol. Dengan kata lain boleh saja . Jadi definsi kekontinyuan di analisis real tidak serupa dengan

Apa akibat dari perbedaan ini?

Titik terasing kontinyu atau diskontinyu?

Definsi: Diberikan , dan . Titik dikatakan titik terasing (Isolated point), jika terdapat 0' title='r>0' class='latex' /> sedemikian hingga

Contoh: , jelas 20 adalah titik terasing di

Di kalkulus, sebarang fungsi akan selalu diskontinyu di titik terasing sebaliknya di analisis real akan selalu kontinyu di titik tersebut. Untuk lebih jelasnya lihat contoh berikut.

Contoh: Diberikan dan yang didefinsikan .

Menurut kalkulus, fungsi diskontinyu di 20. Karena tidak ada. Mengapa tidak ada? Karena untuk sebarang 0' title='\epsilon >0' class='latex' /> tidak berlaku , dengan dan

Sebaliknya menurut analisis real, fungsi kontinyu di 20. Jika kita ambil maka jelas berlaku

Dalam analisis real, definsi fungsi kontinyu di titik akan memenuhi , jika merupakan titik akumulasi.

Definsi : Diberikan , dan . Titik dikatakan titik Akumulasi (Accumulation point), jika untuk sebarang 0' title='r>0' class='latex' />, terdapat sedemikian hingga .

Secara sederhana titik akumulasi merupakan lawan dari titik terasing

Yang jadi pertanyaan buat saya.

Mengapa perbedaan ini terjadi?

Kalian jangan anggap remeh perbedaan ini, Jika kalian mendapatkan soal sebagai berikut.

Diberikan himpunan bilangan asli dan yang didefinsikan .

Apakah kontinyu di ?

Hayoo.. apa jawaban kalian? Tergantung definsi kekontinyuan mana yang kalian gunakan.

Bidadari di ranah Matematika

Aria Turns — Fri, 25 Nov 2011 16:25:10 +0000

Cantik banget, bukan? Jujur, sebagai laki-laki saya benar-benar terpana dengan kecantikannya. Siapa dia? Namanya Julia Ruscher, dia bukan artis, bintang film atau pun foto model. Dia adalah Matematikawati Jerman dengan bidang keahlian Proses Stokastik .

Sulit dipercaya bukan? Ada wanita berparas amat rupawan mendalami matematika

Saya yakin kalau di Indonesia, dia pasti udah jadi bintang film atau minimal bintang iklan ,

Oya ada Videonya di Youtube, cekidot:

Tangga Setan

Aria Turns — Wed, 23 Nov 2011 15:28:39 +0000

Fungsi Cantor adalah fungsi yang spesial karena fungsi tersebut kontinyu, naik dari 0 menuju 1 tetapi memepunyai turunan nol hampir disemua titik, selain itu fungsi cantor mempunyai julukan seram yaitu Tangga setan (Devil’s staircase).

Sebelum kita mendefinisikan fungsi Cantor, kita harus mengkontruksikan interval-interval sebagai berikut:

Diberikan interval tertutup , kemudian bagi menjadi 3 bagian sama panjang lalu hilangkan bagian tengahnya yaitu: interval terbuka .
Diperoleh 2 interval tertutup dan , lakukan hal serupa kepada 2 interval tertutup tadi, hilangkan interval terbuka dan .
Interval tersisa adalah dan , lakukan hal serupa, hilangkan interval terbuka dan .

Lanjutkan terus langkah diatas, sampai langkah ke-n, interval yang dihilangkan adalah .

Jika adalah gabungkan semua maka komplemen adalah himpunan Cantor .

Fungsi Cantor

Diberikan fungsi cantor, , yang didefinisikan sebagai berikut:

Contoh:

untuk

Fungsi Cantor terdefinisi di tetapi tidak di , supaya fungsi cantor terdefinisi pada semua titik , kita harus membuat fungsi cantor terdefinsi pada . Diberikan maka terdapat barisan naik (increasing sequence) dengan yang konvergen ke , begitupula terdapat barisan turun (decreasing sequence) dengan yang konvergen ke . Karena terdefinisi pada dan maka dedefinsikan

Sekarang fungsi cantor terdefinisi pada semua titik . Jika digambar grafiknya diperoleh

Grafiknya Menyerupai tangga dengan jumlah anak tangga tak hingga banyak. Itu sebabnya fungsi cantor dijuluki Tangga setan. Jika kita menaiki anak tangga satu persatu, kita tidak akan pernah samapai ke puncak.

Fungsi Cantor kontinyu pada mempunyai turunan nol pada tetapi tidak terturun pada

Note: Dari literatur yang saya baca banyak cara mendefinisikan fungsi Cantor, tapi jangan kwatir ksemua cara tersebut ekuivalen:

Kredit gambar: Math.harvard.edu

Pembuktian hasil kali Gradien 2 garis yang saling tegak lurus adalah -1

Aria Turns — Tue, 15 Nov 2011 04:58:59 +0000

Pada postingan Gradien garis mendatar dan Garis tegak, saya sering mendapat pertanyaan

Mengapa hasil kali Gradien 2 garis yang saling tegak lurus adalah -1?

Dalam postingan ini saya akan menjawab pertanyaan diatas.

Diberikan 2 garis dan yang saling tegak lurus. Tanpa mengurangi generalitas (Without loss of generality) diasumsikan kedua garis berpotongan dititik awal . Karena sebenarnya kedua garis dapat digeser kemana saja tanpa merubah gradient. Andaikan terdapat titik pada garis dan titik pada garis , seperti ditunjukan pada gambar diatas. Diperoleh gradien garis adalah dan gradien garis adalah .

Kita akan membuktikan

Ketiga titik , dan membentuk segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku pada sudut .

Gunakan teorema Pythagoras, diperoeleh

(jarak ke )²+ (jarak ke )²=(jarak ke )²

Silahkan kalian jabarkan sendiri, diperoleh

Dari persamaan terakhir dengan mudah diperoleh

Terbukti hasil kali Gradien 2 garis yang saling tegak lurus adalah -1

QED

Cara Trigonometri

Selain cara diatas, kita juga bisa menggunakan cara trigonometri untuk membuktikan asil kali Gradien 2 garis yang saling tegak lurus adalah -1. Kita tahu gradien suatu garis bisa direpresentasikan dalam bentuk , dengan adalah sudut antara garis dengan sumbu absis.

Diberikan garis dengan gradien . Jika ada garis yang tegak lurus dengan garis maka gradien garis adalah .

Gunakana rumus trigonometri berikut

Diperoleh

Karena tidak terdefinisi, kita harus melakukan sedikit trik dengan mensubtitusi . Silahkan kalian lanjutkan sendiri untuk memperoleh

Jelas

Himpunan kosong adalah persekitaran, berapa jari-jarinya?

Aria Turns — Fri, 11 Nov 2011 02:29:48 +0000

Pada diskusi di postingan Ruang 2-metrik, saya mengatakan

himpunan kosong itu persekitaran lho

Kemudian pernyataan saya ini mendapat pertanyaan dari Mimin

emmmm…apabila himpunan kosong itu persekitaran, berapa jari-jarinya??

setiap persekitaran itu pasti ada jari-jarinya..

Untuk menjawabnya mari kita lihat kembali definisi persekitaran.

Definsi: Diberikan ruang metrik , untuk sebarang dan konstanta real 0' title='r>0' class='latex' />, himpunan

disebut persekitaran (Neighbourhood) titik dengan jari-jari . Himpunan sering pula disebut Bola terbuka (Open Ball) dengan titik pusat dan jari-jari .

Jadi himpunan berisikan semua titik yang jaraknya ke titik kurang dari . Dengan kata lain

Begitupula jika ada yang mengatakan himpunan kosong adalah persekitaran dari titik dengan jari-jari , itu artinya:

Antiseden dari Kalimat implikasi diatas bernilai salah, karena kita tahu himpunan kosong tidak mempunyai anggota. Dalam ilmu logika, tidak peduli apa kosekuennya, kalimat implikasi akan selalu bernilai benar, jika antisedennya bernilai salah. Itu berarti berapapun nilai pernyataan akan selalu bernilai benar.

Kesimpulan: Himpunan kosong adalah persekitaran titik dengan jari-jari berapapun