Amirp

Sumber: menkind.co.uk

Amirp merupakan kata prima yang ditulis terbalik, merujuk pada bilangan prima yang ketika angka-angkanya dibalik menjadi bilangan prima baru.  Contoh: 17 jika dibalik menjadi 71, bilangan prima yang berbeda dari 17. Oya Prima Palindrome seperti  151 atau 787 bukanlah Amirp karena kalau angka-angkanya dibalik , hasilnya ya bilangan prima Palindrome itu sendiri. Dengan alasan sama bilangan prima berangka tunggal seperti 7 atau 5 tidaklah  Amirp.

Urutan Amirp dimulai dari : 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 107, 113, 149, 157…

Wikipedia mengatakan Emirp terbesar yang diketahui oleh kita sampai saat ini adalah 10¹⁰⁰⁰⁶+941992101×10⁴⁹⁹⁹+1

Sopan

Dalam bermasyarakat kita dituntut untuk bersikap sopan . Menurut KBBI, sopan artinya:

Sumber: asiantribune.com

so·pan a 1 hormat dan takzim (akan, kpd); tertib menurut adat yg baik: dng — ia mempersilakan tamunya duduk; kpd orang tua kita wajib berlaku –; 2 beradab (tt tingkah laku, tutur kata, pakaian dsb); tahu adat; baik budi bahasanya: ia berlaku amat — kpd kedua orang tuanya; 3 baik kelakuannya (tidak lacur, tidak cabul): sekarang ini kita sukar untuk membedakan perempuan yg — dan yg lacur;

Tiap masyarakat mempunyai nilai kesopanan yang berbeda-beda. Pribahasa berkata:

Di mana bumi dipijak, di situ langit dijunjung

Artinya dimana pun kita berada kita harus bisa bersifat sopan menurut nilai-nilai kesopanan yang berlaku disana.

Lho kok saya jadi ngomongin si Sopan? Apa hubungannya dengan matematika? Tenang aja ada hubungannya kok. Asal kalian tahu bilangan itu sama dengan kita ada yang sopan ada yang kurang ajar, tidak sopan.

Definsi: Suatu bilangan asli dikatakan Sopan, jika merupakan hasil penjumlahan dua atau lebih bilangan-bilangan asali yang berurutan.

Contoh: 

• 3 sopan karena 3=2+1
• 5 sopan karena 5=2+3
• 55 Sopan karena 55=13+12+11+10+9

Dari definisi atas, jelas semua bilangan Segitiga itu sopan, begitupula semua bilangan ganjil juga sopan. Karena bilangan ganjil mempunyai bentuk 2m+1,dipeoleh 2m+1=m+(m+1). Sedangkan bilangan tidak sopan akan mempunyai bentuk .

Bola Meriam

Alkisah Kapten Jack sparrow, seorang Kapten Kapal dagang pada abad Pertengahan. Kapten Jack sedang dalam misi membawa rempah-rempah dari Indonesia ke Eropa. Untuk melindungi dari Perompak, kapal sang Kapten dilengkapi dengan meriam. Tentu saja yang namanya meriam membutuhkan bola meriam. Di masa itu umumnya bola meriam disususun secara piramida kuadrat, perhatikan gambar berikut:

Sumber: walkingrandomly.com

Pada gambar diatas lapisan paling bawah terdapat 16 bola, diatasnya ada 9 bola, atasnya lagi 4 bola dan paling atas hanya ada 1 bola. Total ada 16+9+4+1=30 bola. Nah..30 adalah bilangan Piramida kuadrat ke-4.

Aneh

Gambar tidak ada hubungan dengan tulisan

Di Teori Bilangan ada istilah Bilangan Aneh (Weird Number) yaitu bilangan asli yang mempunyai sifat berlimpah tetapi tidak semi-sempurna.

Apa yang dimaksud dengan berlimpah?
Apa yang dimaksud dengan semi-sempurna?

Kita bahas tentang berlimpah terlebih dahulu.

Definsi I: Bilangan asli , dikatakan berlimpah (Abundant) jika penjumlahan semua pembagi sejatinya (yaitu bilangan yang dapat membagi , termasuk 1 kecuali itu sendiri), hasilnya lebih besar dari .

Contoh I:
12 adalah bilangan berlimpah karena pembagi sejati dari 12 adalah : 1,2,3,4,6 dan 1+2+3+4+6=16>12
18 adalah bilangan berlimpah karena 1+2+3+6+9=21>18
20 adalah bilangan berlimpah karena 1+2+4+5+10=22>20
24 adalah bilangan berlimpah karena 1+2+3+4+6+8+12=36>24.
Jelas, semua bilangan prima tidak berlimpah karena bilangan prima hanya punya pembagi sejati 1.

Umumnya bilangan berlimpah adalah semi-sempurna.

Super Sempurna

Di Teori Bilangan ada definisi bilangan Super Sempurna yang diperkenalkan oleh Suryanarayana (1969). Bilangan super Sempurna merupakan pengembangan dari bilangan sempurna.

Untuk memahami bilangan super Sempurna, terlebih dulu  kita harus paham fungsi pembagi ( divisors function).

Definisi: Diberikan bilangan asli , fungsi pembagi adalah jumlah semua pembagi dari

Contoh :   karena semua pembagi dari 6 adalah: 1,2,3, dan 6.  Untuk 5 diperoleh .

Berdasarkan definisi fungsi pembagi kita memperoleh definsi bilangan sempuna sebagai berikut.

Definisi: Bilangan asli adalah bilangan sempurna jika

Contoh: 6 adalah bilangan sempurna karena

Sedangkan bilangan super Sempurna didefinisikan sebagai berikut:

Bilangan super Sempurna adalah bilangan asli yang memenuhi  .

Contoh: 16 adalah bilangan super Sempurna karena  diperoleh  .

Dari definisi bilangan super Sempurna dengan mudah kita lihat memang bilangan tersebut merupakan pengembangan dari bilangan sempurna.

Beberapa bilangan super Sempurna yang pertama adalah: 2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144

Teorema: Jika adalah bilangan super Sempurna maka dengan adalah prima Mersenne.

Serupa dengan bilangan sempurna sampai detik ini keberadaan bilanagan super sempurna ganjil masih misterius, apakah ada atau tidak.

Generalisasi

Bilangan super sempurna-m adalah bilangan asli yang memenuhi , sedangkan bilangan sempurna-(m,k) adalah bilangan yang memenuhi .

Bilangan Achilles

Achilles

Brad Pitt sebagai Achilles di Film Troy (2004)

Ksatria hebat di Jaman Yunani kuno yang menjadi pahlawan di perang Trojan. Legenda mengatakan ibunya bernama Thertis, seorang peri air dan bapaknya bernama Peleus hanyalah manusia Biasa. Konon ketika kecil Achilles dicemplungkan oleh ibunya di sungai Styx, sungai yang memisahkan dunia atas dengan duniah bawah (Underworld). Hal tersebut membuat Achilles kebal terhadap senjata tetapi tidak dibagian lututnya. Karena sang ibu memegang lututnya ketika mencemplungkannya di sungai Styx. Oleh karena itu Achilles tumbuh menjadi lelaki gagah perkasa, kuat, kebal senjata tetapi tidak sempurna masih memiliki kelemahan. Karena lutut adalah titik lemahnya legenda juga mengatakan Ia meninggal akibat lututnya terkena panah di Perang trojan.

Nah.. di Matematika ada yang namanya Bilangan Achilles dinamakan demikian karena mencerminkan karakater Achilles, kuat tetapi tidak sempurna. Sebelum saya menjelaskan apa itu bilangan Achilles, kalian harus paham 2 hal berikut:

Definisi I: Bilangan asli dikatakan kuat (powerful) jika setiap faktorisasi primanya menghasilkan faktor-faktor prima dengan pangkat terkecil 2. Contoh: 36 dan 49 adalah bilangan kuat karena  dan , sedangkan 48 bukan bilangan kuat karena .

Definisi II: Bilangan asli   dikatakan kuasa sempurna (Perfect Power) jika terdapat bilangan asli dan   sedemikiah hingga . Contoh: 16, 25 dan 27 adalah kuasa sempurna karena dan .

Jika kita telah paham 2 definisi bilangan diatas barulah kita mampu memahami definisi bilangan Achilles,

Tak Tersentuh

Saya perkenalkan ke kalian Bilangan Tak tersentuh (untouchable number). Saya yakin kalian belum pernah mendengarnya

Apa itu bilangan Tak tersentuh?

Bilangan tak tersentuh adalah bilangan asli n yang bukan merupakan hasil penjumlahan semua pembagi sejati (proper divisor) dari sebarang bilangan asli. Dengan kata lain Bilangan tak tersentuh adalah bilangan asli n yang tidak mempunyai bilangan asli m sedemikian hingga

Jadi bilangan tak tesentuh adalah bilangan yang tidak dapat “disentuh” oleh penjumlahan pembagi sejati dari sebarang bilangan.

17

17 is the only prime of the form p^q + q^p, where p and q are prime

Pernyataan dari situs primes.utm.edu. Jika kita ambil p=2 dan q=3 maka jelas 17=2³ + 3² . Sayangnya, situs tersebut tidak menyertakan pembuktiannya. Saya sempet googling mencari pembuktiannya tetapi tidak ketemu. Oleh karena itu mari kita buktikan saja sendiri pernyataan diatas.

Untuk membuktikan pernyataan diatas, kita menggunakan beberapa fakta matematis sebagai berikut:

• 2 adalah satu-satunya bilangan prima genap, selain 2, semua bilangan prima adalah ganjil
• bilangan ganjil + bilangan ganjil=bilangan genap
• bilangan ganjil + bilangan genap=bilangan ganjil
• bilangan ganjil × bilangan ganjil =bilangan ganjil
• bilangan genap × bilangan genap =bilangan genap

Pernyataan diatas dibuktikan melalui 3 kasus.

Spiral Ulam dan Misteri Bilangan Prima

Sekarang kita akan membuat Spiral Ulam yaitu  Spiral yang tersusun dari bilangan. Dinamakan demikian karena di temukan secara tidak sengaja oleh Stanislaw Ulam saat merasa bosen ketika mengahadiri suatu seminar sains ditahun 1963

Yang kita butuhkan adalah  selembar kertas grafik, itu lho kertas kotak-kotak dan alat tulis. Tulis 1 pada suatu kotak, kemudian 2 di kanan 1. 3 di atas 2, 4 di kiri 3, 5 di kiri 4, 6 dibawah 5, 7 dibawa 6, 8 di kanan 7 begitu seterusnya sehingga membentuk spiral. Perhatikan Gambar berikut

Spiral Ulam ukuran 7×7, kemudian kita beri tanda pada bilangan-bilangan primanya.

Google Calculator dan pembagian dengan Nol

Iseng-iseng pakai Google Calculator, ternyata saya mendapatkan kejutan. Menurut google calculator 1÷0= tak hingga. Saya coba bilangan lain 5÷0, 6÷0, 100÷0 hasilnya sami mawon tak hingga.

Mengapa ini bisa terjadi? Orang-orang Google seharusnya paham bahwa pembagian dengan nol (division by zero) itu tak terdefinisi bukan tak hingga.

Baiklah, saya cuman bisa berharap ada penjelasan dari Google, mengenai hal ini.