Prima Mersenne

Marin mersenne sumber: Wikipedia

Marin mersenne sumber: Wikipedia

Prima Mersenne dinotasikan M_p adalah bilangan prima yang mempunyai bentuk 2^p-1 dengan p juga bilangan prima. Berikut adalah 5 prima Mersenne yang pertama:

M_2=2^2-1=3, M_3=2^3-1=7, M_5=2^5-1=31 , M_7=2^7-1=127 dan M_13=2^13-1=8191

Prima Mersenne mempunyai beberapa fakta menarik sebagai berikut:

1.  Baru diketahui 48 prima Mersenne

Sampai tulisan ini ditulis, hanya ada jkt48 prima Mersenne, yang kita ketahui.  Prima Mersenne ke- 48 adalah M_{57.885.161} ditemukan 25 januari 2013. Prima Mersenne ke-48 juga merupakan bilangan prima terbesar yang saat ini kita ketahui. Konon katanya untuk menuliskan M_{57.885.161} dibutuhkan 4.647 halaman dengan 75 digit per baris dan 50 baris per halaman. Silahkan klik di sini untuk melihat ke-48 prima Mersenne

2. Berhingga atau tidak berhingga?

Sampai detik ini para Matematikawan tidak mengetahui apakah prima Mersenne mempunyai jumlah berhingga atau tak berhingga? Banyak yang menduga prima Mersenne mempunyai jumlah tak hingga banyaknya tetapi sampai detik ini belum ada yang mampu membuktikan secara matematis dugaan tersebut.

Continue reading

Bilangan Ganjil dan Kubik

Sumber: Halaman FB WE Love Math

Sumber: Halaman FB WE Love Math

Pola bilangan yang amat cantik, bukan? Pola tersebut mengatakan bahwa n^3 bisa dibentuk dari penjumlahan bilangan ganjil berurutan sebanyak n buah. Konon katanya pola tersebut ditenukan oleh Nicomachus dari Geresa, Jordania sekitar abad pertama masehi. Bentuk umum dari pola di atas adalah:

n^{3}=\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+3\right)+\left(n^{2}-n+5\right)+\ldots+\left(n^{2}-n+\left[2n-1\right]\right)

 Nah.. sekarang mari kita buktikan.

Dalam notasi sum, sisi kanan persamaan diatas dapat ditulis menjadi

{\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}n^{2}-n+2k-1}

{\displaystyle =\left(\sum_{k=1}^{n}n^{2}-n\right)+\left(\sum_{k=1}^{n}2k-1\right)}

{\displaystyle =n\left(n^{2}-n\right)+\left(\sum_{k=1}^{n}2k-1\right)}

Berdasarkan teorema bilangan ganjil, diperoleh

{\displaystyle =n\left(n^{2}-n\right)+n^{2}}

{\displaystyle =n^{3}}

Prima dan 6

Di postingan sebelumnya, saya membahas hubungan bilangan prima dengan 24, sekarang saya akan membahas hubungan bilangan prima dengan 6.

Tahukah kalian, bahwa setiap bilangan prima yang lebih besar daripada 3 mempunyai bentuk 6n +1 ( kelipatan enam tambah satu ) atau 6n – 1 ( kelipatan enam kurang satu ) .

Contoh

  • 5 = 6 × 1 – 1
  • 7 = 6 × 1 + 1 
  • 11 = 6 × 2 – 1 
  • 13 = 6 × 2 + 1 
  • 17 = 6 × 3 – 1 
  • 19 = 6 × 3 + 1 

Sekarang mari kita buktikan

Bukti:

Suatu bilangan bulat postif m yang lebih besar daripada 3, jika dibagi 6 akan mempunyai bentuk m = 6n + r dengan n bilangan bulat non negatif dan r adalah sisa yang nilainya salah satu dari : 0, 1, 2, 3,  4, atau 5.

  • Jika nilai r adalah 0, 2 atau 4 maka m adalah bilangan genap, artinya bukan bilangan prima
  • Jika nilai r adalah 3 maka m habis dibagi 3, artinya bukan bilangan prima.

So… supaya m prima maka nilai r nya harus bernilai

  • 1 ( berbentuk m = 6n + 1, kelipatan 6 ditambah 1)

atau

  • 5 (berbentuk m = 6n +5 = 6(n + 1) -1,  kelipatan 6 dikurang 1)

QED

Satu hal yang perlu kalian ingat, sebaliknya belum tentu berlaku, bilangan yang berbentuk 6n + 1 atau 6n – 1 belum tentu prima. Contohnya 25 = 6 × 4 +1, padahal 25 bukan prima.

Referensi:  primes.utm.edu

a + b = ab

Perhatikan persamaan berikut

a + b = ab

Jika kita ambil a  = b = 2 , jelas adalah solusi dari persamaan diatas. Dengan kata lain (2,2) adalah pasangan solusi bulat dari persamaan diatas. Nah.. sekarang pertanyaannya:

Adalah  pasangan solusi bilangan bulat positif lain selain (2, 2) ? Syukur2 bukan pasangan kembar.

Untuk menjawabnya, kita lakukan saja manipulasi aljabar.

a + b = ab

a = ab -b

a = b ( a – 1 )

a / ( a – 1) = b.

Supaya b adalah bilangan bulat positif maka haruslah a – 1 = 1. So.. a = 2, itu berarti b = 2 juga. Sekarang jelas ( 2, 2) adalah satu-satunya pasangangan solusi bilangan bulat positif.

Itu tadi di dalam bilangan bulat positif, sedangkan di dalam bilangan real persamaan diatas mempunyai tak hingga banyaknya pasangan solusi, yang mempunyai bentuk umum ( a, a /( a – 1 ) ) dengan a adalah bilangan real.

Sebagai contoh : Jika a= 10 maka ( 10, 10/9 ).

Dengan kata lain, telah kita tunjukan bahwa didalam bilangan real ada tak hingga banyaknya pasangan bilangan yang jika di jumlah dan di kalikan mempunyai hasil yang sama.

Pembagian Pecahan

pembagian simbolKetika SD, kita diajari cara pembagian  pecahan adalah dengan mengubah pembagian menjadi perkalian lalu di pecahan kedua kita tukar posisi penyebut dengan pembilangnya.

Contoh:   \frac{3}{4}\div\frac{2}{4}=\frac{3}{4}\times\frac{4}{2}=\frac{12}{8}

Secara umum rumus pembagian pecahan adalah

\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}

dengan a,b,c dan d adalah bilangan bulat tak nol

Mengapa demikian?

Pertama-tama saya ingin memberitahukan 1 fakta matematis yang disembunyikan oleh guru matematika kalian. hehe.. lebay, bahwa pembagain sebenarnya adalah perkalian. Lho kok bisa??

a dibagi b itu sebenarnya berarti a dikali invers (perkalian) dari b, dinotasikan b^{-1}

a\div b=a\times b^{-1}

Apa itu invers?

Diberikan bilangan tak nol a maka  a^{-1} adalah suatu bilangan sedemikian hingga berlaku

Continue reading

Teorema Sisa Cina

Sumber: ciee.org

Sumber: ciee.org

Saya punya soal cerita sebagai berikut

Alkisah seorang Nenek pergi ke pasar dengan membawa keranjang berisi telur.Di pasar keranjang tersebut ditaruh di bawah, tanpa sengaja seorang pemuda menginjak keranjang tersebut sehingga pecah semua telur yang berada didalam keranjang. Pemuda tersebut berniat menganti kerugian dan bertanya kepada si nenek berapa jumlah telur di keranjang. Akan tetapi si Nenek tidak ingat berapa jumlah telur di keranjang.  Si Nenek hanya ingat jika jumlah telur tersebut dibagi 3 maka sisanya 2 telur. Jika dibagi 5 maka sisanya 3 telur dan jika dibagi 7 maka sisanya 2 telur.

Berapa jumlah telur terkecil yang mungkin dimiliki si Nenek?

Jika kita ubah kedalam bahasa matematis, soal tersebut meminta kita mencari solusi dari sitem linear kongkruen

x\equiv2\pmod3

x\equiv3\pmod5

x\equiv2\pmod7

Bagaimana mencari solusi dari sistem linear kongkruen?

Continue reading

Angka Keberuntungan

Ikan Arwana dianngapIkan keberuntungan (Sumber: Fotohewan.info)

Ikan Arwana dianggap Ikan keberuntungan (Sumber: Fotohewan.info)

Dalam budaya Cina, angka 8 dianggap angka keberuntungan karena pengucapannya sama dengan kata yang berati kemakmuran atau kekayaan dalam bahasa mandarin. Lain halnya dibarat, budaya barat (eropa dan Amerika) beranggapan 7 adalah angka keberuntungan karena 7 lapis langit, 7 tingkatan surga, 7 hari penciptaan. Ada juga yang menjadikan tanggal lahirnya sebgai angka keberuntungan.

Sekarang, bagaimana dengan matematika? Apakah Matematika memiliki angka atau bilangan keberuntutungan? Jawabannyanya Ya. bahkan ada banyak bilangan yang dianggap membawa keberuntungan oleh Matematika.

Apa saja bilangan-bilangan keberuntungan  menurut Matematika?

Continue reading

Kemungkinan 2 bilangan adalah relatif Prima

Dua bua bilangan a dan b  dikatakn relatif prima (atau disebut juga koprima) jika fpb (a,b)=1, dengan kata lain a dan b tidak mempunyai faktor prima bersama.

Contoh: 10 dan 13 adalah relatif prima, begitupula 31 dan 36 juga merupakan relatif prima, sedangkan 50 dan 65 bukan relatif prima.

Nah sekarang pertanyaannya:

Berapa kemungkinan 2 bilangan yang dipilih secara acak  merupakan relatif prima?

Untuk menjawab pertanyaan diatas, kita akan mengunakan lemma berikut:

Lemma: Diberikan bilangan prima p, kemungkinan suatu bilangan yang dipilih secara acak mempunyai faktor prima p adalah 1/p

Bukti: Dinotasikan \mathbb{Z}_{p} , Grup modulu bilangan bulat p. Jika suatu bilangan n mempunyai faktor prima p, itu berarti n berada di dalam kelas kongruen 0\in\mathbb{Z}_{p}. Banyaknya kelas kongruen di \mathbb{Z}_{p} adalah p. So.. kemungkinan suatu bilangan dipilih secarak acak berada di dalam kelas kongruen 0\in\mathbb{Z}_{p} adalah 1/p.

Akibat: Diberikan bilangan prima p serta a dan b dua bilangan yang dipilih secara acak maka berlaku

  1. Kemungkinan  a dan b mempunyai p sebagai faktor prima bersama adalah 1/p^2
  2. Kemungkinan a dan b TIDAK  mempunyai p sebagai faktor prima bersama adalah 1-1/p^2.

Continue reading