Bilangan Ganjil dan Kubik

Sumber: Halaman FB WE Love Math

Sumber: Halaman FB WE Love Math

Pola bilangan yang amat cantik, bukan? Pola tersebut mengatakan bahwa n^3 bisa dibentuk dari penjumlahan bilangan ganjil berurutan sebanyak n buah. Konon katanya pola tersebut ditenukan oleh Nicomachus dari Geresa, Jordania sekitar abad pertama masehi. Bentuk umum dari pola di atas adalah:

n^{3}=\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+3\right)+\left(n^{2}-n+5\right)+\ldots+\left(n^{2}-n+\left[2n-1\right]\right)

 Nah.. sekarang mari kita buktikan.

Dalam notasi sum, sisi kanan persamaan diatas dapat ditulis menjadi

{\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}n^{2}-n+2k-1}

{\displaystyle =\left(\sum_{k=1}^{n}n^{2}-n\right)+\left(\sum_{k=1}^{n}2k-1\right)}

{\displaystyle =n\left(n^{2}-n\right)+\left(\sum_{k=1}^{n}2k-1\right)}

Berdasarkan teorema bilangan ganjil, diperoleh

{\displaystyle =n\left(n^{2}-n\right)+n^{2}}

{\displaystyle =n^{3}}

Kebalikan Teorema Pythagoras

akar-2Kemarin di Twitter, saya di mention Prof Hendra Gunawan, beliau baru saja menerbitkan bab 4 dari buku yang sedang ditulisnya berjudul Gara-Gara Hantu Lingkaran. Bab 4 menceritakan  karya terbesar Euclid di bidang matematika yaitu “Stoicheia” (Ind. “Elemen”), buku matematika .yang terdiri dari 13 jilid, membahas geometri dan dasar-dasar teori bilangan. Menurut Prof Hendra, jilid I dari buku tersebut membahas Teorema Pythagoras dan kebalikannya!

Seperti apa kebalikan dari Teorema Pythagoras ?

Kita semua tahu Teorema Pythagoras mengatakan: Jika suatu segitiga siku-siku dengan panjang sisi miring c serta a dan b adalah panjang dua sisi lainya maka berlaku a2 + b2 = c, Tinggal kita balik saja dalilnya menjadi:

Jika sutau segitiga △ ABC dengan panjang sisi a, b dan c serta berlaku a2 + b2 = c2 maka segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku.

Bukti:

Dikontruksikan segitiga siku-siku △ DEF dengan panjang sisi non-miring a dan b maka menurut Pythagoras berlaku

sisi miring² = a2 + b2

Bedasarkan asumis yang diketahui, diperoleh sisi miring² =  c2 = a2 + b. Itu berarti △ DEF mempunyai panjang sisi-sisi yang sama dengan △ ABC, disimpulkan △ ABC dan △ DEF kongkruen

QED

Prima dan 6

Di postingan sebelumnya, saya membahas hubungan bilangan prima dengan 24, sekarang saya akan membahas hubungan bilangan prima dengan 6.

Tahukah kalian, bahwa setiap bilangan prima yang lebih besar daripada 3 mempunyai bentuk 6n +1 ( kelipatan enam tambah satu ) atau 6n – 1 ( kelipatan enam kurang satu ) .

Contoh

  • 5 = 6 × 1 – 1
  • 7 = 6 × 1 + 1 
  • 11 = 6 × 2 – 1 
  • 13 = 6 × 2 + 1 
  • 17 = 6 × 3 – 1 
  • 19 = 6 × 3 + 1 

Sekarang mari kita buktikan

Bukti:

Suatu bilangan bulat postif m yang lebih besar daripada 3, jika dibagi 6 akan mempunyai bentuk m = 6n + r dengan n bilangan bulat non negatif dan r adalah sisa yang nilainya salah satu dari : 0, 1, 2, 3,  4, atau 5.

  • Jika nilai r adalah 0, 2 atau 4 maka m adalah bilangan genap, artinya bukan bilangan prima
  • Jika nilai r adalah 3 maka m habis dibagi 3, artinya bukan bilangan prima.

So… supaya m prima maka nilai r nya harus bernilai

  • 1 ( berbentuk m = 6n + 1, kelipatan 6 ditambah 1)

atau

  • 5 (berbentuk m = 6n +5 = 6(n + 1) -1,  kelipatan 6 dikurang 1)

QED

Satu hal yang perlu kalian ingat, sebaliknya belum tentu berlaku, bilangan yang berbentuk 6n + 1 atau 6n – 1 belum tentu prima. Contohnya 25 = 6 × 4 +1, padahal 25 bukan prima.

Referensi:  primes.utm.edu

Teorema Isoperimetrik

lingkaranKonon katanya Masyarakat Yunani Kuno sudah mengetahui bahwa lingkaran mempunayai luas terbesar diantara senua bangun datar lainya yang mempunyai keliling yang sama. Inilah yang disebut dengan Teorema Isoperimetrik ( Iso =  Sama, perimetrik = Keliling). Misalkan terdapat trapesium, segi-17, dan lingkaran, ketiganya mempunyai keliling yang sama, Teorema Isoperimetrik menjamin lingkaranlah yang mempunyai luas terbesar daripada trapesium dan segi-17.

Meskipun Yunani kuno yang hidup lebih dari 2300 tahun lalu sudah mengetahui fakta matematis tersebut akan tetapi Teorema Isoperimetrik baru bisa dibuktikan pada abad 19. Secara formal Teorema Isoperimetrik  menyatakan:

Teorema Isoperimetrik: Untuk semua C kurva sederhana tertutup di \mathbb{R}^{2} dengan keliling P dan luas A berlaku

{\displaystyle A\leq\frac{P^{2}}{4\pi}}

Pertidaksamaan diatas akan menjadi persamaan jika hanya jika C adalah lingkaran.

Teorema Isoperimetrik sering juga diseput Pertidaksamaan Isoperimetrik karena memuat pertidaksamaan. Nah sekarang mari kita buktikan.

Continue reading

x^y=y^x

x^y=y^x

Jelas, jika x=y, apapun bilangan, minumnya teh botol sosro akan selalu memenuhi persamaan diatas tetapi itu sama sekali tidak menarik. Dengan mudah diketahui 2^4=4^2, dengan kata lain 2 dan 4 adalah solusi pasangan bilangan bulat berbeda dari persamaan diatas. Nah..sekarang pertanyaannya adalah solusi pasangan bilangan bulat berbeda selain 2 dan 4?

Diasumsikan x dan y adalah bilangan bulat, diperoleh bilangan rasional k=y/x. itu berarti y=kx, masukkan ke persamaan diperoleh

x^{kx}=\left(kx\right)^{x}

\left(x^{k}\right)^{x}=\left(kx\right)^{x}

berakibat

x^{k}=kx

x^{k-1}=k

Kita mendapatkan solusi umum

{\displaystyle x=k^{\frac{1}{k-1}},\: y=k\cdot k^{\frac{1}{k-1}}=k^{\frac{k}{k-1}}}

Karena k adalah bilangan rasional maka \frac{1}{k-1} adalah bilangan rasional juga. Diasumsikan  \frac{p}{q}=\frac{1}{k-1} dalam bentuk yang paling sederhana, dengan kata lain p dan q relatif prima. Diperoleh:

k-1=\frac{q}{p},\: k=\frac{p+q}{p},\,\frac{k}{k-1}=\frac{p+q}{q}

Masukkan ke solusi umum, diperoleh:

{\displaystyle x=\left(\frac{p+q}{p}\right)^{p/q},\, y=\left(\frac{p+q}{p}\right)^{\frac{p+q}{q}}}

Kita mengininkan x dan y adalah bilangan bulat maka haruslah (p+q)/p, p/q dan (p+q)/q juga merupakan bilangan bulat. Karena p dan q relatif prima maka p+q juga relatif prima terhadap p dan q.  So satu-satunya kemungkinan hanyalah p = q = 1.

Oh sekarang jelas sudah bahwa

{\displaystyle x=\left(\frac{1+1}{1}\right)^{1/1}=2,\, y=\left(\frac{1+1}{1}\right)^{\frac{1+1}{1}}=4}

Satu-satunya pasanangan bilangan bulat berbeda yang menjadi solusi dari persamaan diatas.

Teorema Sisa Cina

Sumber: ciee.org

Sumber: ciee.org

Saya punya soal cerita sebagai berikut

Alkisah seorang Nenek pergi ke pasar dengan membawa keranjang berisi telur.Di pasar keranjang tersebut ditaruh di bawah, tanpa sengaja seorang pemuda menginjak keranjang tersebut sehingga pecah semua telur yang berada didalam keranjang. Pemuda tersebut berniat menganti kerugian dan bertanya kepada si nenek berapa jumlah telur di keranjang. Akan tetapi si Nenek tidak ingat berapa jumlah telur di keranjang.  Si Nenek hanya ingat jika jumlah telur tersebut dibagi 3 maka sisanya 2 telur. Jika dibagi 5 maka sisanya 3 telur dan jika dibagi 7 maka sisanya 2 telur.

Berapa jumlah telur terkecil yang mungkin dimiliki si Nenek?

Jika kita ubah kedalam bahasa matematis, soal tersebut meminta kita mencari solusi dari sitem linear kongkruen

x\equiv2\pmod3

x\equiv3\pmod5

x\equiv2\pmod7

Bagaimana mencari solusi dari sistem linear kongkruen?

Continue reading

Pembuktian Sang Presiden

James  Garfield, Presiden AS ke-20 yang membuktikan Teorema Phytagoras. Sumber: Wikipedia

James Garfield, Presiden AS ke-20 yang membuktikan Teorema Phytagoras. Sumber: Wikipedia

Teorema Pythagoras, siapa yang tidak mengenal Teorema ini? Teorema Pythagoras membahas hubungan spesial ketiga sisi segitiga siku-siku sering ditulis  a2 + b2 = c2   dengan c adalah sisi miring sedangkan a dan b adalah dua sisi lainnya Kalian tahu? ada ratusan cara pembuktian Teorema Pytagoras. Terdapat Buku berjudul The Pythagorean Proposition yang   membahas 367 cara pembuktian Teorema Pytagoras. Woow…banyak sekali pembuktiannya, bukan?

Dari sekian banyak pembuktian Teorema Pythagoras ternyata salah satunya ditulis oleh Presiden Amerika Serikat (AS) yaitu James Abram Garfield, Presiden AS ke-20. Konon katanya sebelum masuk ke ranah politik, James Garfield bercita-cita menjadi Profesor Matematika, pembuktiannya ditulis 5 tahun sebelum dia terpilih menjadi Presiden.

Pembuktiannya sebagai berikut:

Continue reading

01 dan 99

Coba kalian perhatikan:

99^{1}=\mathbf{99}

99^{2}=98\mathit{01}

99^{3}=9702\mathbf{99}

99^{4}=960596\mathit{01}

99^{5}=95099004\mathbf{99}

99^{6}=9414801494\mathit{01}

Sudah terlihat kan polanya? Untuk n genap maka 99^n berakhir di 01, sedangkan untuk n ganjil maka 99^n berakhir di 99.

Sekarang mari kita buktikan bahwa pola tersebut berlaku untuk semua bilangan bulat positif n

Untuk pembuktiannya kita akan menggunakan aritmatika modular. Salah satu teorema adalam aritmatika modular menyatakan

Teorema: jika a\equiv b\pmod k maka a^n\equiv b^n\pmod k

Pertama-tama kita buktikan untuk n genap.

Diketahui 99\equiv -1\pmod {100} berdasakan teorema diatas diperoleh 99^n\equiv -1^n\pmod {100}.

Karena n genap maka 1=-1^n, diperoleh

 99^n\equiv 1\pmod {100}.

Itu berarti untuk n genap, 99^n adalah kelipatan 100 lebih 1. Oleh karena itu 99^n pastilah berakhir di 01.

Selanjutnya, untuk n ganjil.

Untuk n ganjil maka -1=-1^n.

Gunakan teorema diatas diperoleh

99^{n}\equiv-1^{n}\pmod{100}\rightarrow99^{n}\equiv-1\pmod{100}

Jadi untuk n ganjil, 99^n adalah kelipatan 100 kurang 1, yang berarti  99^n berakhir di 99

\square

Dengan cara yang sama kita bisa membuktikan pola untuk 9^n, 999^n bahkan secara umum 999\ldots9^{n}

Pembuktian 3 ≠ 2

satu dua tiga

Anak kecil sekali pun tahu bahwa 2 dan 3 adalah bilangan yang berbeda, 2 bukanlah 3, 3 tidak sama dengan 2. Banyak orang orang yang beranggapan bahwa pernyataan 3 ≠ 2 adalah pernyataan yang amat jelas, trivial, tidak perlu dibuktikan lagi. Padahal dalam matematika, selama suatu pernyataan bukanlah aksioma, kita wajib menuntut pembuktian terhadap pernyataan tersebut.

Teorema: 3 ≠ 2

Segala sesuatu dalam matematika berdasarkan Aksioma. Aksioma dari Bilangan (asli) dinamakan Postulate Peano

Postulate Peano: Sistem bilangan asli memuat himpunan tak kosong \mathbb{N} dengan salah satu elemennya adalah 1 dan dilengkapi operasi biner + sedemikian hinnga belaku:

P1.  x+1\neq1 untuk semua x\in\mathbb{N}

P2.  jika x+1=y+1 maka x=y x,y\in\mathbb{N}

P3.  x+(y+1)=(x+y)+1 untuk semua x,y\in\mathbb{N}

P3 . Jika G adalah himpunan, G\subseteq\mathbb{N} dimana

1) 1\in G

2) n\in G\Rightarrow n+1\in G untuk semua n\in G

Maka G=\mathbb{N}

Continue reading

Pembuktian Jumlah sudut segitiga adalah 180°

Mungkin kalian sudah tahu bahwa jumlah sudut segitiga adalah 180°. Saya sendiri beberapa kali mengatakan demikian di blog ini. Nah.. sekarang mari kita buktikan. Pembuktiannya mudah saja kok, cukup menggunakan materi garis dan sudut yang sudah kita pelajari waktu SMP.

Teorema: Jumlah sudut segitiga adalah 180°

Bukti: Diberikan segitiga ABC. Garis AB diperpanjang, kemudian buat garis BD yang sejajara dengan AC. Seperti gambar berikut:

jumlah sudut segitiga

Jika dua garis sejajar dipotong oleh suatu garis lain maka sudut-sudut yang berseberangan dalam akan sama besar, begitupula sudut-sudut yang sehadap akan sama besar juga. Diperoleh c=d dan a=e.

Sudut b, d dan e terletak pada garis lurus, itu berarti jumlah sudut ketiganya 180°, karena c=d dan a=e  diperoleh

a+b+c=180°

QED

Catetan:

Teorema diatas hanya berlaku pada Geometri Euclidean. Dengan kata lain  jika kita menggambar segitiga pada bidang datar. Jika kita menggambar segitiga pada bidang lengkung maka teorema diatas tidak berlaku. Coba dech gambar segitiga pada permukaan bola, lalu hitung jumlah sudutnya, apakah 180°?