Category Archives: pembuktian

geometri, pembuktian

Pembuktian Jumlah sudut segitiga adalah 180°

Mungkin kalian sudah tahu bahwa jumlah sudut segitiga adalah 180°. Saya sendiri beberapa kali mengatakan demikian di blog ini. Nah.. sekarang mari kita buktikan. Pembuktiannya mudah saja kok, cukup menggunakan materi garis dan sudut yang sudah kita pelajari waktu SMP.

Teorema: Jumlah sudut segitiga adalah 180°

Bukti: Diberikan segitiga ABC. Garis AB diperpanjang, kemudian buat garis BD yang sejajara dengan AC. Seperti gambar berikut:

jumlah sudut segitiga

Jika dua garis sejajar dipotong oleh suatu garis lain maka sudut-sudut yang berseberangan dalam akan sama besar, begitupula sudut-sudut yang sehadap akan sama besar juga. Diperoleh c=d dan a=e.

Sudut b, d dan e terletak pada garis lurus, itu berarti jumlah sudut ketiganya 180°, karena c=d dan a=e  diperoleh

a+b+c=180°

QED

Catetan:

Teorema diatas hanya berlaku pada Geometri Euclidean. Dengan kata lain  jika kita menggambar segitiga pada bidang datar. Jika kita menggambar segitiga pada bidang lengkung maka teorema diatas tidak berlaku. Coba dech gambar segitiga pada permukaan bola, lalu hitung jumlah sudutnya, apakah 180°?

Standard
Analisis, pembuktian
Grafik fungsi Thomae dari 0 sampai 1

Grafik fungsi Thomae dari 0 sampai 1

Pada Tahun 1875, Matematikawan Jerman Carl Johannes Thomae mendefinisikan suatu fungsi f\left(x\right)dengan sifat yang aneh bin ajaib. Fungsi f\left(x\right) hanya kontinyu di bilangan irasional tetapi diskontinyu di bilangan rasional.

Fungsi f\left(x\right) yang didefinisikan oleh Om Thomae diberi nama sesuai namanya Fungsi Thomae. Definisi fungsinya sebagai berikut:

{\displaystyle f\left(x\right)=\begin{cases} 0, & x\notin\mathbb{Q}\\ \frac{1}{m}, & x\in\mathbb{Q}\:\mathrm{dengan}\: x=\frac{n}{m}\:\mathrm{dalam\: bentuk\: paling\: sederhana} \end{cases}}

Teorema: Fungsi Thomae kontinyu pada bilangan irasional tetapi diskontinyu pada bilangan rasional.

Bukti: Ambil c\in\mathbb{Q} maka terdapat deret irasional \left(x_{n}\right) dengan \lim\left(x_{n}\right)=c padahal \lim\left(f\left(x_{n}\right)\right)=0\neq f\left(c\right). Terbukti f\left(x\right) diskontinyu di c\in\mathbb{Q}.

Continue reading →

Popcorn

Aside
geometri, pembuktian

Rumus Luas Lingkaran, dapat dari mana?

{\displaystyle L=\pi r^{2}}

Diatas adalah Rumus luas lingkaran, tentunya kalian sudah mengetahuinya. Nah…pernah kalian bertanya dari mana rumus tersebut diperoleh? Mengapa rumus luas lingkaran   L=\pi r^{2} ?

Ada banyak cara untuk menjelaskan bagaimana rumus luas lingkaran diperoleh, seperti menggunakan kallulus Integral. Tenang saja.. saya tidak mengunakan cara tersebut, tidak ada integral pada khotbah saya kali ini :) . Saya akan membahas cara yang paling sederhana, yang konon kabarnya cara yang digunakan Euclid, 2300 tahun yang lalu.

Oya sekedar mengingatkan \pi adalah rasio keliling lingkaran dengan diameter lingkaran

{\displaystyle \pi=\frac{\mathrm{keliling}}{\mathrm{diameter}}=\frac{2\pi r}{r}}

Misal kita punya lingkaran berjari-jari r. Cara yang dipakai Euclid sebagai berikut:

Bagian atas lingkaran kita warnai orange dan bagian bawahnya kita warnai biru laut lalu lingkaran tersebut kita potong menjadi 16 potong, seperti gambar berikut

Continue reading →

Standard
aljabar abstrak, pembuktian

Center dan Centralizer, Apa Bedanya?

teori GrupCenter dan centralizer, dua definisi pada Teori Grup yang pengertianya mirip-mirip dan sering membuat orang bingung membdekan keduanya. Melalui postingan ini, saya akan menjelasa perbedaannya keduanya. Oya literatur yang saya pakai adalah Abstract Algebra, Grillet. Literatur utama saya ketika skripsi dulu.

kita bahas Centralizer terlebih dahulu.

Definisi 1: Untuk sebarang, grup G, Centralizer pada G dari suatu x\in G adalah

C_{G}\left(x\right)=\left\{ g\in G|gx=xg\right\}

Untuk suatu x\in G maka C_{G}\left(x\right) adalah himpunan bagian tak-kosong dari G yang berisikan elemen-elemen yang bersifat komutatif terhadap x.  Jika G adalah grup abelian maka jelas C_{G}\left(x\right)=G, untuk sebarang x\in G. Jika  G grup non-abelian maka e\in C_{G}\left(x\right), untuk sebarang  x\in G. Itulah sebabnya centralizer mustahil himpunan kosong, apapun grupnya, apapun elemen x yang dipilih pastilah elemen identitas termuat didalam centralizer. Karena elemen identitas bersifat komutatif terhadap semua elemen di grup, maka untuk sebarang grup G berlaku C_{G}\left(e\right)=G.

Jika Centralizer berisikan elemen-elemen yang komutatif terhadap suatu x\in G maka center berisikan elemen-elemen yang komutatif terhadap SEMUA   x\in G. Continue reading →

Standard
Paradoks, pembuktian

Semua bilangan itu menarik

Bilangan

Menarik

Orang bule bilang interesting, menurut Kamus besar itu artinya

mempengaruhi atau membangkitkan hasrat untuk memperhatikan (mengindahkan dsb)

kawan, mengenai bilangan  adakah bilangan yang kamu anggap menarik? Apakah tanggal lahir mu? Apakah 8? Karena kau percaya itu membawa keberuntungan ataukah 13 si angka sial tapi justru bagimu itu menarik.

Saya sendiri tertarik dan suka angka 5, karena 5 itu prima, fibonacci dan saya lahir tanngal 5²-5-x5.

Mungkin kita punya bilangan menarik yang berbeda-beda lalu bagaimana menurut pendapat matematika itu sendiri? Adakah bilangan yang dianggap menarik bagi Matematika? Percaya atau tidak bagi matematika semua bilangan itu menarik.

Continue reading →

Standard
geometri, pembuktian

Teorema Bendera British

Image

Sumber: Wikipedia

Union jack, bendera United Kingdom (UK) atau lengkapnya United Kingdom of Great Britain and Northern Ireland. Mengapa saya menampilkan si Union Jack karena di matematika tepatnya di Geometri ada teorema bernama Teorema bendera British, dinamakan demikaian karena jika diilustrasikan akan menyerupai si Union Jack

Teorema Bendera British (TBB): Diberikan persegi panjang ABCD, dan seberang titik P didalam ABCD, Jika diberikan 4 garis yang menghubungkan titik P dengan ke-4 sudut ABCD maka diperoleh hubungan

AP^2+PC^2=BP^2+DP^2

Gambar 1

Gambar 1 (sumber: artofproblemsolving.com)

Continue reading →

Standard
Analisis, kalkulus, pembuktian

Pembuktian Teorema Fundamental Kalkulus

Saya pernah mengatakan bahwa Teorema Fundamental Kalkulus (TFK) adalah Teorema yang paling mengagumkan. Sekarang mari kita buktikan TFK. TFK adalah cara kita menghitung integral tentu \int_{a}^{b}f\left(x\right)\, dx dengan menggunakan anti-turunan dari f(x).

Definisi: Diberikan f adalah fungsi kontinyu pada interval tertutup \left[a,b\right]. Kita bagi  \left[a,b\right] menjadi n interval bagian yang sama panjang \left[a=x_{0},x_{1}\right],\left[x_{1},x_{2}\right],\ldots,\left[x_{n-1},x_{n}=b\right] dengan panjang setiap interval bagian adalah \Delta x=\left(b-a\right)/n. Untuk sebarang c_{i}\in\left[x_{i-1},x_{i}\right] dengan i=1,2,3,\ldots,n maka integral tentu pada f dari a ke b didefiniskan

{\displaystyle \int_{a}^{b}f\left(x\right)\, dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}f\left(c_{i}\right)\Delta x}

integral tentu

Continue reading →

Standard
graph theory, pembuktian

Jika Enam Orang Bertemu

enam orang

Sumber: sparkselite.com.au

Jika ada 6 orang bertemu, melakukan pertemuan maka jelas setiap 2 orang dari 6 orang tersebut hanya memiliki 2 kemungkinan hubungan: saling mengenal atau sebaliknya tidak saling mengenal, baru berkenalan pada pertemuan tersebut. Nah.. yang jadi pertanyaan adalah:

Ada berapa orang yang saling mengenal atau sebaliknya tidak saling mengenal?

Pertanyaan diatas dapat dijawab oleh teorema berikut:

Teorema: Jika 6 orang bertemu maka paling tidak ada 3 orang saling mengenal atau sebaliknya paling tidak ada 3 orang tidak saling mengenal

Teorema diatas punya banyak nama ada yang menyebutnya Teorema pada teman dan orang asing (Theorem on friends and strangers), ada yang menyebutnya Teorema pesta (Party Theorem) ,ada yang yang menyebutnya Teorema Ramsey (Ramsey’s Theorem) karena pertama kali di publish oleh Frank P. Ramsey.

Continue reading →

Standard
Analisis, pembuktian

Barisan cauchy tetapi tidak konvergen

Bagi kalian yang mempelajari analisis real khususnya materi mengenai barisan Cauchy, tentunya mengenal teorema berikut

Teorema: Suatu barisan di bilangan real adalah cauchy jika hanya jika barisan tersebut konvergen

Teorema diatas sering disebut Kriteria Konvergensi Cauchy. Nah..apakah kalian tahu bahwa ada barisan Cauchy yang tidak konvergen? Wah.. kok bisa? Apa itu berarti teorema diatas salah? Tenang saja.. teorema tersebut benar tetapi tetapi teorema tersebut hanya berlaku di Billangan real, untuk ruang lain selain bilangan real belum tentu berlaku.

Sekarang mari kita lihat, contoh barisan cauchy yang tidak konvergen

  1. Didefiniskan barisan x_n=\left(1/n\right) dan I=\left(0,\infty\right), dengan mudah diketahui x_n merupakan barisan Cauchy tetapi tidak konvergen di I karena \lim_{n\rightarrow\infty}X_{n}=0\notin I.
  2. Didefinisikan barisan q_{n}=\left(1+1/n\right)^{n} pada \mathbb{Q}. Barisan q_n Cauchy tetapi tidak konvergen di \mathbb{Q}.. Karena \lim_{n\rightarrow\infty}Q_{n}=e\notin\mathbb{Q}.

Dari 2 contoh diatas bisa kita lihat sebenarnya x_n dan q_n sebenarnya mempunyai limit akan tetapi limitnya tidak berada didalam ruang dimana X_n dan Q_n berada. Nah.. ini lah yang saya maksud dengan tidak konvergen.

Secara umum suatu ruang Metrik M dikatakan komplit jika setiap barisan cauchy di M konvergen ke suatu titik dimana titik tersebut berada didalam M. Contoh ruang Metrik komplit adalah Bilangan Real. Dari 2 contoh diatas bisa kita simpulkan I=\left(0,\infty\right) dan \mathbb{Q} bukanlah ruang Metrik komplit.

Jika didalam Metrik tidak komplit, suatu barisan cauchy belum tentu konvergen,apakah sebaliknya juga berlaku?

Apakah barisan konvergen belum tentu cauchy didalam Metrik tidak komplit?

Continue reading →

Standard
graph theory, pembuktian

Politikus berteman dengan semua orang

politikus

Para Politikus di DPR

Di dalam Teori Graph , ada satu teorema yang cukup elegan, yang menjelasakan fenomena unik yang bisa saja terjadi didalam hubungan bermasayarakat. Teorema tersebut dinamakan Teorema Pertemanan (Frienship Theorem). secara informal Teorema pertemanan menyatakan :

Dalam suatu komunitas, jika setiap 2 orang mempunyai tepat 1 teman bersama maka ada 1 orang (disebut Politikus) yang berteman dengan semua orang di komunitas tersebut.

Nah… yang saya maksud dengan berteman adalah saling mengenal. Budi dan bejo  berteman artinya Budi dan Bejo saling mengenal. Jika kita menganggap komunitas sebgai graph sedangkan orang-orang didalamnya direpresentasikan dengan titik. Lalau 2 orang berteman bisa direpresentasikan sebgai 2 titik yang berdekatan (adjacent) maka secara formal teorema pertemanan menyatakan:

Teorema Pertemanan (TP): Diberikan graph berhingga G, jika setiap 2 titik di G mempunjyai tepat 1 tetangga bersama maka terdapat 1 titik yang berdekatan dengan semua titik di G.

Perlu dicatat bahwa ada graph yang memenuhi TP, yaitu graph kincir angin (Windmill Graph) perhatikan gambar disamping, kincir angin graphdengan u adalah politikus. Bahkan Graph kincir angin adalah satu-satunya graph yang memenuhi TP.  Karena keberadaan politikus hanya dimungkinkan dengan graph Kincir angin.

Yang amat menarik ternyata TP tidak berlaku untuk graph tak-hinga, Dengan kata lain ada graph tak-hingga yang setiap pasang titiknya mempunyai 1 tetangga bersama tetapi tanpa adanya politikus. Untuk mengkontruksikan Graph tak-hingga seperti itu mudah saja. bisa kita mulai dengan 5-siklik kemudian terus tambahkan 1 tetangga bagi setiap pasang titik yang belum mempunyai  tetangga bersama

Continue reading →

Standard