x^y=y^x

x^y=y^x

Jelas, jika x=y, apapun bilangan, minumnya teh botol sosro akan selalu memenuhi persamaan diatas tetapi itu sama sekali tidak menarik. Dengan mudah diketahui 2^4=4^2, dengan kata lain 2 dan 4 adalah solusi pasangan bilangan bulat berbeda dari persamaan diatas. Nah..sekarang pertanyaannya adalah solusi pasangan bilangan bulat berbeda selain 2 dan 4?

Diasumsikan x dan y adalah bilangan bulat, diperoleh bilangan rasional k=y/x. itu berarti y=kx, masukkan ke persamaan diperoleh

x^{kx}=\left(kx\right)^{x}

\left(x^{k}\right)^{x}=\left(kx\right)^{x}

berakibat

x^{k}=kx

x^{k-1}=k

Kita mendapatkan solusi umum

{\displaystyle x=k^{\frac{1}{k-1}},\: y=k\cdot k^{\frac{1}{k-1}}=k^{\frac{k}{k-1}}}

Karena k adalah bilangan rasional maka \frac{1}{k-1} adalah bilangan rasional juga. Diasumsikan  \frac{p}{q}=\frac{1}{k-1} dalam bentuk yang paling sederhana, dengan kata lain p dan q relatif prima. Diperoleh:

k-1=\frac{q}{p},\: k=\frac{p+q}{p},\,\frac{k}{k-1}=\frac{p+q}{q}

Masukkan ke solusi umum, diperoleh:

{\displaystyle x=\left(\frac{p+q}{p}\right)^{p/q},\, y=\left(\frac{p+q}{p}\right)^{\frac{p+q}{q}}}

Kita mengininkan x dan y adalah bilangan bulat maka haruslah (p+q)/p, p/q dan (p+q)/q juga merupakan bilangan bulat. Karena p dan q relatif prima maka p+q juga relatif prima terhadap p dan q.  So satu-satunya kemungkinan hanyalah p = q = 1.

Oh sekarang jelas sudah bahwa

{\displaystyle x=\left(\frac{1+1}{1}\right)^{1/1}=2,\, y=\left(\frac{1+1}{1}\right)^{\frac{1+1}{1}}=4}

Satu-satunya pasanangan bilangan bulat berbeda yang menjadi solusi dari persamaan diatas.

Teorema Sisa Cina

Sumber: ciee.org

Sumber: ciee.org

Saya punya soal cerita sebagai berikut

Alkisah seorang Nenek pergi ke pasar dengan membawa keranjang berisi telur.Di pasar keranjang tersebut ditaruh di bawah, tanpa sengaja seorang pemuda menginjak keranjang tersebut sehingga pecah semua telur yang berada didalam keranjang. Pemuda tersebut berniat menganti kerugian dan bertanya kepada si nenek berapa jumlah telur di keranjang. Akan tetapi si Nenek tidak ingat berapa jumlah telur di keranjang.  Si Nenek hanya ingat jika jumlah telur tersebut dibagi 3 maka sisanya 2 telur. Jika dibagi 5 maka sisanya 3 telur dan jika dibagi 7 maka sisanya 2 telur.

Berapa jumlah telur terkecil yang mungkin dimiliki si Nenek?

Jika kita ubah kedalam bahasa matematis, soal tersebut meminta kita mencari solusi dari sitem linear kongkruen

x\equiv2\pmod3

x\equiv3\pmod5

x\equiv2\pmod7

Bagaimana mencari solusi dari sistem linear kongkruen?

Continue reading

Pembuktian Sang Presiden

James  Garfield, Presiden AS ke-20 yang membuktikan Teorema Phytagoras. Sumber: Wikipedia

James Garfield, Presiden AS ke-20 yang membuktikan Teorema Phytagoras. Sumber: Wikipedia

Teorema Pythagoras, siapa yang tidak mengenal Teorema ini? Teorema Pythagoras membahas hubungan spesial ketiga sisi segitiga siku-siku sering ditulis  a2 + b2 = c2   dengan c adalah sisi miring sedangkan a dan b adalah dua sisi lainnya Kalian tahu? ada ratusan cara pembuktian Teorema Pytagoras. Terdapat Buku berjudul The Pythagorean Proposition yang   membahas 367 cara pembuktian Teorema Pytagoras. Woow…banyak sekali pembuktiannya, bukan?

Dari sekian banyak pembuktian Teorema Pythagoras ternyata salah satunya ditulis oleh Presiden Amerika Serikat (AS) yaitu James Abram Garfield, Presiden AS ke-20. Konon katanya sebelum masuk ke ranah politik, James Garfield bercita-cita menjadi Profesor Matematika, pembuktiannya ditulis 5 tahun sebelum dia terpilih menjadi Presiden.

Pembuktiannya sebagai berikut:

Continue reading

01 dan 99

Coba kalian perhatikan:

99^{1}=\mathbf{99}

99^{2}=98\mathit{01}

99^{3}=9702\mathbf{99}

99^{4}=960596\mathit{01}

99^{5}=95099004\mathbf{99}

99^{6}=9414801494\mathit{01}

Sudah terlihat kan polanya? Untuk n genap maka 99^n berakhir di 01, sedangkan untuk n ganjil maka 99^n berakhir di 99.

Sekarang mari kita buktikan bahwa pola tersebut berlaku untuk semua bilangan bulat positif n

Untuk pembuktiannya kita akan menggunakan aritmatika modular. Salah satu teorema adalam aritmatika modular menyatakan

Teorema: jika a\equiv b\pmod k maka a^n\equiv b^n\pmod k

Pertama-tama kita buktikan untuk n genap.

Diketahui 99\equiv -1\pmod {100} berdasakan teorema diatas diperoleh 99^n\equiv -1^n\pmod {100}.

Karena n genap maka 1=-1^n, diperoleh

 99^n\equiv 1\pmod {100}.

Itu berarti untuk n genap, 99^n adalah kelipatan 100 lebih 1. Oleh karena itu 99^n pastilah berakhir di 01.

Selanjutnya, untuk n ganjil.

Untuk n ganjil maka -1=-1^n.

Gunakan teorema diatas diperoleh

99^{n}\equiv-1^{n}\pmod{100}\rightarrow99^{n}\equiv-1\pmod{100}

Jadi untuk n ganjil, 99^n adalah kelipatan 100 kurang 1, yang berarti  99^n berakhir di 99

\square

Dengan cara yang sama kita bisa membuktikan pola untuk 9^n, 999^n bahkan secara umum 999\ldots9^{n}

Pembuktian 3 ≠ 2

satu dua tiga

Anak kecil sekali pun tahu bahwa 2 dan 3 adalah bilangan yang berbeda, 2 bukanlah 3, 3 tidak sama dengan 2. Banyak orang orang yang beranggapan bahwa pernyataan 3 ≠ 2 adalah pernyataan yang amat jelas, trivial, tidak perlu dibuktikan lagi. Padahal dalam matematika, selama suatu pernyataan bukanlah aksioma, kita wajib menuntut pembuktian terhadap pernyataan tersebut.

Teorema: 3 ≠ 2

Segala sesuatu dalam matematika berdasarkan Aksioma. Aksioma dari Bilangan (asli) dinamakan Postulate Peano

Postulate Peano: Sistem bilangan asli memuat himpunan tak kosong \mathbb{N} dengan salah satu elemennya adalah 1 dan dilengkapi operasi biner + sedemikian hinnga belaku:

P1.  x+1\neq1 untuk semua x\in\mathbb{N}

P2.  jika x+1=y+1 maka x=y x,y\in\mathbb{N}

P3.  x+(y+1)=(x+y)+1 untuk semua x,y\in\mathbb{N}

P3 . Jika G adalah himpunan, G\subseteq\mathbb{N} dimana

1) 1\in G

2) n\in G\Rightarrow n+1\in G untuk semua n\in G

Maka G=\mathbb{N}

Continue reading

Pembuktian Jumlah sudut segitiga adalah 180°

Mungkin kalian sudah tahu bahwa jumlah sudut segitiga adalah 180°. Saya sendiri beberapa kali mengatakan demikian di blog ini. Nah.. sekarang mari kita buktikan. Pembuktiannya mudah saja kok, cukup menggunakan materi garis dan sudut yang sudah kita pelajari waktu SMP.

Teorema: Jumlah sudut segitiga adalah 180°

Bukti: Diberikan segitiga ABC. Garis AB diperpanjang, kemudian buat garis BD yang sejajara dengan AC. Seperti gambar berikut:

jumlah sudut segitiga

Jika dua garis sejajar dipotong oleh suatu garis lain maka sudut-sudut yang berseberangan dalam akan sama besar, begitupula sudut-sudut yang sehadap akan sama besar juga. Diperoleh c=d dan a=e.

Sudut b, d dan e terletak pada garis lurus, itu berarti jumlah sudut ketiganya 180°, karena c=d dan a=e  diperoleh

a+b+c=180°

QED

Catetan:

Teorema diatas hanya berlaku pada Geometri Euclidean. Dengan kata lain  jika kita menggambar segitiga pada bidang datar. Jika kita menggambar segitiga pada bidang lengkung maka teorema diatas tidak berlaku. Coba dech gambar segitiga pada permukaan bola, lalu hitung jumlah sudutnya, apakah 180°?

Popcorn

Grafik fungsi Thomae dari 0 sampai 1

Grafik fungsi Thomae dari 0 sampai 1

Pada Tahun 1875, Matematikawan Jerman Carl Johannes Thomae mendefinisikan suatu fungsi f\left(x\right)dengan sifat yang aneh bin ajaib. Fungsi f\left(x\right) hanya kontinyu di bilangan irasional tetapi diskontinyu di bilangan rasional.

Fungsi f\left(x\right) yang didefinisikan oleh Om Thomae diberi nama sesuai namanya Fungsi Thomae. Definisi fungsinya sebagai berikut:

{\displaystyle f\left(x\right)=\begin{cases} 0, & x\notin\mathbb{Q}\\ \frac{1}{m}, & x\in\mathbb{Q}\:\mathrm{dengan}\: x=\frac{n}{m}\:\mathrm{dalam\: bentuk\: paling\: sederhana} \end{cases}}

Teorema: Fungsi Thomae kontinyu pada bilangan irasional tetapi diskontinyu pada bilangan rasional.

Bukti: Ambil c\in\mathbb{Q} maka terdapat deret irasional \left(x_{n}\right) dengan \lim\left(x_{n}\right)=c padahal \lim\left(f\left(x_{n}\right)\right)=0\neq f\left(c\right). Terbukti f\left(x\right) diskontinyu di c\in\mathbb{Q}.

Continue reading

Rumus Luas Lingkaran, dapat dari mana?

{\displaystyle L=\pi r^{2}}

Diatas adalah Rumus luas lingkaran, tentunya kalian sudah mengetahuinya. Nah…pernah kalian bertanya dari mana rumus tersebut diperoleh? Mengapa rumus luas lingkaran   L=\pi r^{2} ?

Ada banyak cara untuk menjelaskan bagaimana rumus luas lingkaran diperoleh, seperti menggunakan kallulus Integral. Tenang saja.. saya tidak mengunakan cara tersebut, tidak ada integral pada khotbah saya kali ini :) . Saya akan membahas cara yang paling sederhana, yang konon kabarnya cara yang digunakan Euclid, 2300 tahun yang lalu.

Oya sekedar mengingatkan \pi adalah rasio keliling lingkaran dengan diameter lingkaran

{\displaystyle \pi=\frac{\mathrm{keliling}}{\mathrm{diameter}}=\frac{2\pi r}{r}}

Misal kita punya lingkaran berjari-jari r. Cara yang dipakai Euclid sebagai berikut:

Bagian atas lingkaran kita warnai orange dan bagian bawahnya kita warnai biru laut lalu lingkaran tersebut kita potong menjadi 16 potong, seperti gambar berikut

Continue reading

Center dan Centralizer, Apa Bedanya?

teori GrupCenter dan centralizer, dua definisi pada Teori Grup yang pengertianya mirip-mirip dan sering membuat orang bingung membdekan keduanya. Melalui postingan ini, saya akan menjelasa perbedaannya keduanya. Oya literatur yang saya pakai adalah Abstract Algebra, Grillet. Literatur utama saya ketika skripsi dulu.

kita bahas Centralizer terlebih dahulu.

Definisi 1: Untuk sebarang, grup G, Centralizer pada G dari suatu x\in G adalah

C_{G}\left(x\right)=\left\{ g\in G|gx=xg\right\}

Untuk suatu x\in G maka C_{G}\left(x\right) adalah himpunan bagian tak-kosong dari G yang berisikan elemen-elemen yang bersifat komutatif terhadap x.  Jika G adalah grup abelian maka jelas C_{G}\left(x\right)=G, untuk sebarang x\in G. Jika  G grup non-abelian maka e\in C_{G}\left(x\right), untuk sebarang  x\in G. Itulah sebabnya centralizer mustahil himpunan kosong, apapun grupnya, apapun elemen x yang dipilih pastilah elemen identitas termuat didalam centralizer. Karena elemen identitas bersifat komutatif terhadap semua elemen di grup, maka untuk sebarang grup G berlaku C_{G}\left(e\right)=G.

Jika Centralizer berisikan elemen-elemen yang komutatif terhadap suatu x\in G maka center berisikan elemen-elemen yang komutatif terhadap SEMUA   x\in G. Continue reading

Semua bilangan itu menarik

Bilangan

Menarik

Orang bule bilang interesting, menurut Kamus besar itu artinya

mempengaruhi atau membangkitkan hasrat untuk memperhatikan (mengindahkan dsb)

kawan, mengenai bilangan  adakah bilangan yang kamu anggap menarik? Apakah tanggal lahir mu? Apakah 8? Karena kau percaya itu membawa keberuntungan ataukah 13 si angka sial tapi justru bagimu itu menarik.

Saya sendiri tertarik dan suka angka 5, karena 5 itu prima, fibonacci dan saya lahir tanngal 5²-5-x5.

Mungkin kita punya bilangan menarik yang berbeda-beda lalu bagaimana menurut pendapat matematika itu sendiri? Adakah bilangan yang dianggap menarik bagi Matematika? Percaya atau tidak bagi matematika semua bilangan itu menarik.

Continue reading