Dugaan Himpunan Gabungan-Tertutup

Sumber: fanpop.com

Sumber: fanpop.com

Di Matematika masih banyak sekali masalah-masalah terbuka (Open Problems) yaitu masalah / persoalan yang belum ditemukan jawaban atau solusinya. Salah satunya adalah Dugaan Himpunan Gabungan-Tertutup (Union-Closed Set Conjecture).  Dugaan Himpunan Gabungan-Tertutup bisa dikatakan cukup sederhana mudah dipahami oleh orang awam sekalipun. Untuk bisa memahaminya kalian harus terlebih dulu paham terminologi-terminologi berikut:

Definisi 1:  Suatu himpunan F dikatakan keluarga himpunan, jika angota-anggota F juga merupakan himpunan.

Contoh 2 : Diberikan A={ 1, 2 }, B={ 5, 7 }, C={ 11, 13, 15 } maka F = { A, B, C } adalah keluaga himpunan.

Nah.. mudahkan pengertian dari keluarga himpunan, selanjutnya bentuk khusus dari keluaga himpunan:

Definisi 3: Suatu keluarga himpunan F dikatakan Gabungan-Tertutup jika untuk setiap gabungan 2 himpunan di F juga termuat di F. Dengan kata lain,  untuk setiap A, B  ∈  F maka A ∪ B ∈  F.

Continue reading

Irisan kekosongan adalah segalanya

Sumber: lauralavigne.com

Sumber: lauralavigne.com

Himpunan yang isinya adalah himpunan juga, disebut Keluarga Himpunan ( Family of Set)

Contoh 1:  A = {1, 2}, B = {1, 2, 3} ,  C = (1, 2, 3, 4},  D = {1, 2, 3, 4, 5} maka

F = { A, B, C, D} adalah keluarga himpunan

Andaikan S adalah keluarga himpunan, irisan semua himpunan yang berada didalam S disebut irisan atas S, dinotasikan ∩S

Contoh 2: Dari contoh 1 maka irisan atas F adalah ∩F = A ∩ B ∩ C ∩ D = {1,2}

Secara formal irisan atas keluarga himpunan S didefinisikan sebagai berikut:

{\displaystyle \bigcap S=\left\{ x:\left(\forall X\right)\left(X\in S\Rightarrow x\in X\right)\right\} }

Kita mengenal himpunan kosong, dinotasikan \emptyset yaitu himpuan yang tidak ada isinya, kosong belaka. Nah.. jika himpunan boleh kosong, apakah keluarga himpunan boleh kosong? Tentu saja boleh, kita notasikan \Phi sebagai keluarga kosong, keluarga himpunan yang tidak ada isinya.

Nah.. sekarang pertanyaannya:

Apa itu \bigcap\Phi ? Apa itu irisan atas keluarga kosong?

Continue reading

Maksimal, Maksimum, Minimal, Minimum, Apa bedanya?

Di dalam Poset ada 2 pasang definisi yang serupa, mirip tetapi mempunyai arti yang berbeda dan sering membuat orang bingung. Yang pertama adalah maksimal dengan maksimun, yang kedua adalah minimal dengam minimum.

Dalam kamus bahasa maksimal dan maksimun itu sami mawon tetapi dalam poset mereka berdua sedikit berebeda, begitu pula dengan minimal dengam minimum.

Maksimal vs Maksimum

Definisi: Diberikan \left(E,\preceq\right),elemen m\in E dilatakan elemen maksimal jika TIDAK ADA  x\in E sedemikian hingga m\prec x.

Jadi elemen m dalam suatu poset dikatakan maksimal jika tidak ada elemen lain yang lebih besar dari m. Dengan kata lain  m adalah elemen maksimal jika tidak lebih kecil dari semua elemen di suatu Poset.

Sekarang kita bahas elemen maksimum

Definisi: Diberikan \left(E,\preceq\right),elemen p\in E dilatakan elemen maksimum atau disebut juga  elemen terbesar jika untuk semua  x\in E berlaku x\preceq p

Sesuai dengan namanya elemen maksimun adalah elemen tersebar, artinya semua elemen didalam poset akan selalu lebih kecil atau sama dengan elemen maksimun tersebut.

Sekarang kita masuk ke contoh, supaya lebih jelas

Continue reading

Yang sebenarnya tentang Lemma Zorn dan Tuhan

Salah satu tulisan saya paling populer adalah: Lemma Zorn dan Pembuktian keberadaan Tuhan. Saya yakin itu disebabkan oleh judulnya yang bombastis, pembuktian keberadaan tuhan. Tulisan saya tersebut sering digunakan para Theist  (yang percaya Tuhan) sebagai senjata untuk melawan para Atheist dalam perdebatan keberadaan Tuhan di forum-forum Internet.

Nah..sekarang pertanyaannya.

Apakah tulisan saya tersebut benar-benar membuktikan keberdaan Tuhan?

Mohon maaf, sama sekali tidak malah sebenarnya tulisan saya tersebut bisa digunakan untuk menyangkal Tuhan, nah lho?

Continue reading

Real dan Kompleks mempunyai cardinalitas yang sama

Kita tahu bahwa himpunan bilangan real \mathbb{R} merupakan himpuan bagian dari himpuan bilagan kompleks \mathbb{C}. Apakah itu berarti cardinalitas (banyak elemen) pada \mathbb{C} lebih besar dari \mathbb{R}\mathbb{\left|\mathbb{C}\right|>\left|R\right|}? Kita juga tahu bahwa setiap elemen di \mathbb{C} mempunyai bentuk a+bi untuk sebarang a,b\in\mathbb{R}. Apakah itu berarti  \left|\mathbb{C}\right|=\left|\mathbb{R}\right|+\left|\mathbb{R}\right|

Tidak, tidak, \mathbb{C} mempunyai cardinalitas yang sama dengan \mathbb{R}, \left|\mathbb{C}\right|=\left|\mathbb{R}\right|

Continue reading

Teorema Cantor

Diberikan sebarang himpunan S, didefinisikan himpunan kuasa (power set) dari S (dinotasikan P\left(S\right)) yaitu himpunan yang berisikan semua subhimpunan dari S. Contoh: S=\left\{ a,b\right\} maka P\left(S\right)=\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} .  Itu artinya himpunan kuasa adalah himpunan yang berisikan himpunan-himpunan.

Jika S berhingga dengan n elemen maka P\left(S\right) memuat 2^n elemen. (Itu karena untuk membuat subhimpunan dari S, kita harus melihat kesemua n elemen lalu memililih setiap elemen apakah mau dimasukkan ke subhimpunan atau tidak. Ada 2^n cara untuk membuat pilihan sebanyak n). Hal tersebut juga berlaku untuk himpunan dengan nol elemen yaitu himpunan kosong \emptyset, himpunan kuasa dari \emptyset adalah P\left(\emptyset\right)=\left\{ \emptyset\right\}  himpunan beranggotakan himpunan kosong.

Kita tahu bahwa n<2^n akan selalu benar, itu berarti himpunan berhingga akan selalu lebih kecil dari himpunan kuasanya lalu bagaimana dengan himpunan tak-hingga? Menurut Teorema Cantor, hal tersebut juga berlaku untuk himpunan tak-hingga. Continue reading

Relasi ekuivalen, kelas ekuivalensi dan partisi

Konsep relasi pada Matematika serupa dengan pengertian relasi pada sehari-hari. AKan saya mulai dengan definisi formal relasi

Definisi 1: Suatu relasi (biner) pada himpunan S adalah himpunan bagian R dari produk cartesian S\times S. Jika R adalah suatu relasi dan \left(x,y\right)\in R maka dikatakan x berelasi ke y pada R atau singkatnya xRy

Contoh 2: boleh dibilang relasi yang paling dikenal adalah relasi “=” (Sama dengan) yang memut semua elemen  \left(x,x\right)\in S\times S

Contoh 3: Diberikan S=\left\{ 1,2,3\right\} dan R=< (kurang dari). Tuliskan semua elemen R.

Diperoleh

R=\left\{ \left(1,2\right),\left(1,3\right),\left(2,3\right)\right\}

Karena memuat semua elemen \left(x,y\right) dengan x<y

Nah..selanjutnya kita bahas relasi ekuivalen

Continue reading

Himpunan kosong termuat disebarang himpunan, ah yang benar?

Kita tahu bahwa himpunan kosong dinotasikan \emptyset adalah himpunan yang tidak mempunyai isi, tidak mempunyai elemen, kosong sesuai dengan namanya himpunan kosong. Nah..salah satu sifat himpuan kosong adalah himpunan kosong temuat disebarang himpunan, atau dengan kata lain himpunan kosong adalah subhimpunan dari sebarang himpunan

\forall A:\,\emptyset\subseteq A

Jadi jika kita mempunyai suatu himpunan A tidak peduli itu himpunan apa, apa isinya pastilah himpunan kosong termuat didalam A.

Bagaimana membuktikannya?

Kita tahu bahwa himpunan A dikatakan termuat di himpunan B, atau dengan kata lain A subhimpunan dari B dinotasikan A\subseteq B jika semua elemen A termuat di B

\forall x\in A\Rightarrow x\in B

Itu berarti untuk membuktikan \forall A:\,\emptyset\subseteq A kita harus membuktikan

Continue reading

Isi adalah kosong, kosong adalah isi

Kalian masih ingat film serial kera sakti, sun go kong? Dalam film tersebut sang Biksu Tong sham chong sering berucap

Isi adalah kosong,kosong adalah isi

Saya akan menjelaskan maksud dari perkataannya secara matematika.

Himpunan

Himpunan adalah kumpulan2 objek yang sejenis dinotasikan dengan kurung buka dan tutup kurawal {}, contoh A={a,b,c} artinya himpunan A berisikan/berelemenkan a,b dan c

(Note: Disini saya menuliskan himpunan dengan huruf kapital dan elemen dengan huruf kecil)

Dengan mudah diketahui  himpunan A mempunyai banyak anggota atau kardinalitas 3 dinotasikan |A|=3.

Himpunan juga bisa berisikan himpunan contoh D={B,C} misalkan B={1,2} dan C={3,4} maka D={{1,2}{3,4}}. Andaikan kita punya himpunan E={1,2,3,4} pertanyaannya

Continue reading

Hipotesis Continuum

Bilangan Cardinal

Bilangan Cardinal / cardinal number adalah bilang yang merepresentasikan banyaknya elemen pasa suatu himpunan dinotasikan dengan|\,| sama dengan notasi nilai mutlak

Contoh: A=\left\{ p,q,r,t\right\} maka |A|=4

Cantor mendefinisikan/menotasikan \aleph_{0}=|\mathbb{N}|, jadi banyaknya elemen himpunan bilangan asli \mathbb{N} sebanyak \aleph_{0} dibaca aleph

***

dua buah himpunan A  dan B dikatakan bercardinal sama (|A|=|B| jika terdapat fungsi bijektif dari A ke B, atau bahas aljabarnya |A|=|B| jika hanya jika A dan B isomorphic. Sedangkan |A| dikatakan “lebih besar” dari |B|  (|A|>|B|) jika jika tidak ada fungsi bijektif dari A ke B.

Yang menarik Cantor menunjukan bahwa himpunan bilangan bulat \mathbb{Z}, himpunan bilangan rasional \mathbb{Q} mempunyai cardinal yang sama dengan himpunan bilangan asli \mathbb{N} atau dengan kata lain |\mathbb{Q}|=|\mathbb{Z}|=|\mathbb{N}|=\aleph_{0}. Jadi jika A\subset B belum tentu |A|<|B|.

Continue reading