Category Archives: himpunan

himpunan

Maksimal, Maksimum, Minimal, Minimum, Apa bedanya?

Di dalam Poset ada 2 pasang definisi yang serupa, mirip tetapi mempunyai arti yang berbeda dan sering membuat orang bingung. Yang pertama adalah maksimal dengan maksimun, yang kedua adalah minimal dengam minimum.

Dalam kamus bahasa maksimal dan maksimun itu sami mawon tetapi dalam poset mereka berdua sedikit berebeda, begitu pula dengan minimal dengam minimum.

Maksimal vs Maksimum

Definisi: Diberikan \left(E,\preceq\right),elemen m\in E dilatakan elemen maksimal jika TIDAK ADA  x\in E sedemikian hingga m\prec x.

Jadi elemen m dalam suatu poset dikatakan maksimal jika tidak ada elemen lain yang lebih besar dari m. Dengan kata lain  m adalah elemen maksimal jika tidak lebih kecil dari semua elemen di suatu Poset.

Sekarang kita bahas elemen maksimum

Definisi: Diberikan \left(E,\preceq\right),elemen p\in E dilatakan elemen maksimum atau disebut juga  elemen terbesar jika untuk semua  x\in E berlaku x\preceq p

Sesuai dengan namanya elemen maksimun adalah elemen tersebar, artinya semua elemen didalam poset akan selalu lebih kecil atau sama dengan elemen maksimun tersebut.

Sekarang kita masuk ke contoh, supaya lebih jelas

Continue reading →

Standard
himpunan

Yang sebenarnya tentang Lemma Zorn dan Tuhan

Salah satu tulisan saya paling populer adalah: Lemma Zorn dan Pembuktian keberadaan Tuhan. Saya yakin itu disebabkan oleh judulnya yang bombastis, pembuktian keberadaan tuhan. Tulisan saya tersebut sering digunakan para Theist  (yang percaya Tuhan) sebagai senjata untuk melawan para Atheist dalam perdebatan keberadaan Tuhan di forum-forum Internet.

Nah..sekarang pertanyaannya.

Apakah tulisan saya tersebut benar-benar membuktikan keberdaan Tuhan?

Mohon maaf, sama sekali tidak malah sebenarnya tulisan saya tersebut bisa digunakan untuk menyangkal Tuhan, nah lho?

Continue reading →

Standard
himpunan

Real dan Kompleks mempunyai cardinalitas yang sama

Kita tahu bahwa himpunan bilangan real \mathbb{R} merupakan himpuan bagian dari himpuan bilagan kompleks \mathbb{C}. Apakah itu berarti cardinalitas (banyak elemen) pada \mathbb{C} lebih besar dari \mathbb{R}, \mathbb{\left|\mathbb{C}\right|>\left|R\right|}? Kita juga tahu bahwa setiap elemen di \mathbb{C} mempunyai bentuk a+bi untuk sebarang a,b\in\mathbb{R}. Apakah itu berarti  \left|\mathbb{C}\right|=\left|\mathbb{R}\right|+\left|\mathbb{R}\right|

Tidak, tidak, \mathbb{C} mempunyai cardinalitas yang sama dengan \mathbb{R}, \left|\mathbb{C}\right|=\left|\mathbb{R}\right|

Continue reading →

Standard
himpunan, Paradoks, pembuktian

Teorema Cantor

Diberikan sebarang himpunan S, didefinisikan himpunan kuasa (power set) dari S (dinotasikan P\left(S\right)) yaitu himpunan yang berisikan semua subhimpunan dari S. Contoh: S=\left\{ a,b\right\} maka P\left(S\right)=\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} .  Itu artinya himpunan kuasa adalah himpunan yang berisikan himpunan-himpunan.

Jika S berhingga dengan n elemen maka P\left(S\right) memuat 2^n elemen. (Itu karena untuk membuat subhimpunan dari S, kita harus melihat kesemua n elemen lalu memililih setiap elemen apakah mau dimasukkan ke subhimpunan atau tidak. Ada 2^n cara untuk membuat pilihan sebanyak n). Hal tersebut juga berlaku untuk himpunan dengan nol elemen yaitu himpunan kosong \emptyset, himpunan kuasa dari \emptyset adalah P\left(\emptyset\right)=\left\{ \emptyset\right\}  himpunan beranggotakan himpunan kosong.

Kita tahu bahwa n<2^n akan selalu benar, itu berarti himpunan berhingga akan selalu lebih kecil dari himpunan kuasanya lalu bagaimana dengan himpunan tak-hingga? Menurut Teorema Cantor, hal tersebut juga berlaku untuk himpunan tak-hingga. Continue reading →

Standard
himpunan

Relasi ekuivalen, kelas ekuivalensi dan partisi

Konsep relasi pada Matematika serupa dengan pengertian relasi pada sehari-hari. AKan saya mulai dengan definisi formal relasi

Definisi 1: Suatu relasi (biner) pada himpunan S adalah himpunan bagian R dari produk cartesian S\times S. Jika R adalah suatu relasi dan \left(x,y\right)\in R maka dikatakan x berelasi ke y pada R atau singkatnya xRy

Contoh 2: boleh dibilang relasi yang paling dikenal adalah relasi “=” (Sama dengan) yang memut semua elemen  \left(x,x\right)\in S\times S

Contoh 3: Diberikan S=\left\{ 1,2,3\right\} dan R=< (kurang dari). Tuliskan semua elemen R.

Diperoleh

R=\left\{ \left(1,2\right),\left(1,3\right),\left(2,3\right)\right\}

Karena memuat semua elemen \left(x,y\right) dengan x<y

Nah..selanjutnya kita bahas relasi ekuivalen

Continue reading →

Standard
himpunan

Himpunan kosong termuat disebarang himpunan, ah yang benar?

Kita tahu bahwa himpunan kosong dinotasikan \emptyset adalah himpunan yang tidak mempunyai isi, tidak mempunyai elemen, kosong sesuai dengan namanya himpunan kosong. Nah..salah satu sifat himpuan kosong adalah himpunan kosong temuat disebarang himpunan, atau dengan kata lain himpunan kosong adalah subhimpunan dari sebarang himpunan

\forall A:\,\emptyset\subseteq A

Jadi jika kita mempunyai suatu himpunan A tidak peduli itu himpunan apa, apa isinya pastilah himpunan kosong termuat didalam A.

Bagaimana membuktikannya?

Kita tahu bahwa himpunan A dikatakan termuat di himpunan B, atau dengan kata lain A subhimpunan dari B dinotasikan A\subseteq B jika semua elemen A termuat di B

\forall x\in A\Rightarrow x\in B

Itu berarti untuk membuktikan \forall A:\,\emptyset\subseteq A kita harus membuktikan

Continue reading →

Standard
himpunan

Isi adalah kosong, kosong adalah isi

Kalian masih ingat film serial kera sakti, sun go kong? Dalam film tersebut sang Biksu Tong sham chong sering berucap

Isi adalah kosong,kosong adalah isi

Saya akan menjelaskan maksud dari perkataannya secara matematika.

Himpunan

Himpunan adalah kumpulan2 objek yang sejenis dinotasikan dengan kurung buka dan tutup kurawal {}, contoh A={a,b,c} artinya himpunan A berisikan/berelemenkan a,b dan c

(Note: Disini saya menuliskan himpunan dengan huruf kapital dan elemen dengan huruf kecil)

Dengan mudah diketahui  himpunan A mempunyai banyak anggota atau kardinalitas 3 dinotasikan |A|=3.

Himpunan juga bisa berisikan himpunan contoh D={B,C} misalkan B={1,2} dan C={3,4} maka D={{1,2}{3,4}}. Andaikan kita punya himpunan E={1,2,3,4} pertanyaannya

Continue reading →

Standard
Analisis, himpunan

Hipotesis Continuum

Bilangan Cardinal

Bilangan Cardinal / cardinal number adalah bilang yang merepresentasikan banyaknya elemen pasa suatu himpunan dinotasikan dengan|\,| sama dengan notasi nilai mutlak

Contoh: A=\left\{ p,q,r,t\right\} maka |A|=4

Cantor mendefinisikan/menotasikan \aleph_{0}=|\mathbb{N}|, jadi banyaknya elemen himpunan bilangan asli \mathbb{N} sebanyak \aleph_{0} dibaca aleph

***

dua buah himpunan A  dan B dikatakan bercardinal sama (|A|=|B| jika terdapat fungsi bijektif dari A ke B, atau bahas aljabarnya |A|=|B| jika hanya jika A dan B isomorphic. Sedangkan |A| dikatakan “lebih besar” dari |B|  (|A|>|B|) jika jika tidak ada fungsi bijektif dari A ke B.

Yang menarik Cantor menunjukan bahwa himpunan bilangan bulat \mathbb{Z}, himpunan bilangan rasional \mathbb{Q} mempunyai cardinal yang sama dengan himpunan bilangan asli \mathbb{N} atau dengan kata lain |\mathbb{Q}|=|\mathbb{Z}|=|\mathbb{N}|=\aleph_{0}. Jadi jika A\subset B belum tentu |A|<|B|.

Continue reading →

Standard
himpunan

ZFC

Sejek munculnya paradoks Russell pada tahun 1901, membuat para matematikawan kembali bertanya, apa kah himpunan itu? Definisi himpunan sebagai koleksi objek-objek tidak lah cukup, paradoks Russell membuat para matematikawan sadar bahwa dibutuhkan aturan main / sistem aksioma bagaimana suatu himpunan dibentuk agar teori himpunan kosisten (tidak terjadi kontradiksi). Ada beberapa sistem aksioma himpunan yang dibuat oleh para matematikawan tetapi yang sering digunakan, yang paling sering dipakai adalah sistem aksioama yang disebut dengan ZFC, diambil dari nama 2 matematikawan Zermelo dan Fraenkel sedangkan huruf “c” merujuk pada Axiom of Choice / aksioma pilihan. ZFC terdiri dari 9 aksioama + aksioma pilihan

Aksioma-aksioma tersebut adalah:

(note: disisni saya menotasikan himpunan dan elemen sama-sama mengunakan huruf kecil, karna elemen suatu himpunan bisa saja himpunan)

Continue reading →

Standard
himpunan, pembuktian

Lemma zorn dan pembuktian keberadaan tuhan

Ini masih lanjuntan dari postingan saya sebelumnya, kali ni saya mau menulis mengenai Lemma zorn

Lemma Zorn: Jika (S,\leq) adalah suatu poset dan setiap rantai didalamnya mempunyai batas atas maka (S,\leq) memepunyai elemen maksimal

Lemma Zorn berkata bagaimana suatu poset mempunyai elemen maksimal, menurut lemma zorn suatu poset akan mempunyai elemen maksimal jika setiap rantai didalamnya mempunyai batas atas. Lemma Zorn dan aksoma Pilihan adalah ekuivalen, itu artinya lemma zorn diperoleh dengan cara menurunkan aksioma pilihan begitu juga sebaliknya aksioma pilihan diperoleh dengan menurunkan lemma Zorn. Disini saya tidak akan menunjukan kedua hal tersebut ekuivalan, kenapa? Karna saya sendiri masih belum paham tentang ke-ekuivalansi-an kedua hal tersebut :mrgreen:

Continue reading →

Standard