Konstanta Euler

Saya yakin kalian sudah cukup familiar dengan bilangan euler e=2,7182818284...., nilai tersebut merupakan hasil dari e=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}. Selain bilangan euler ada yang namanya Konstanta Euler atau ada yang menyebutnya Konstanta Euler–Mascheroni dinotasikan dengan huruf yunani gamma \gamma yang nilainya mendekati

0,57721566 4901532860 6065120900 8240243104 2159335939 9235988057 6723488486 7726777664 6709369470 6329174674 9514631447 2498070824 8096050401 4486542836 2241739976 4492353625 3500333742 9373377376 7394279259 5258247094 9160087352 0394816567

Nilai tersebut merupakan hasil dari \gamma=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{i}-\ln n\right). Konstanta Euler sering muncul dibanyak integral, sebagai contoh

-\int_{0}^{\infty}e^{-x}\ln x\, dx

-\int_{0}^{1}\ln\left(\ln\frac{1}{x}\right)\, dx

\int_{0}^{\infty}\left(\frac{1}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x}\right)e^{-x}\, dx

\int_{0}^{\infty}\left(\frac{1}{1-e^{-x}}-e^{-x}\right)\frac{1}{x}\, dx

Kesemua integral diatas hasilnya adalah \gamma.

Open Problem

Sampai detik ini belum diketahui apakah \gamma rasional atau irasional. Andaikan \gamma rasional atau dengan kata lain berbentuk pecahan \frac{a}{b} maka haruslah b>10^{242080}

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

 

Paradoks Banach-Tarski

© wikipedia

Boleh dibilang Paradoks Banah-Tarski adalah hal yang paling ajaib, yang paling aneh di Matematika, membuat siapa saja yang pertama kali mengetahuinya pastilah terbengong-bengong, terheran-heran dan terkencing-kencing, Okey saya berlebihan, I know.  Paradoks Banah-Tarski berkata kita bisa memecahkan sebuah bola padat menjadi kepingan-kepingan berhingga lalu kita bisa menyusun ulang kepingan-kepingan tersebut hanya dengan mengunakan rotasi dan translasi menjadi 2 buah bola yang identik dengan bola sebelumnya. Paradoks banach-Tarski bisa kita anologikan sebagai berikut: kita bisa memotong satu buah apel menjadi beberapa potongan lalu kita bisa menyusun ulang potongan-potongan tersebut menjadi 2 buah apel yang sama persis dengan sebelumnya.

“Mustahil” pasti kamu akan berkata demikian. Ya..mungkin hal tersebut mustahil di dunia nyata tetapi tidak di dunia Matematika.

Pertama-tama saya mau menegaskan bola padat yang saya bicarakan adalah bola padat menurut pemahaman matematika. Menurut matematika bola padat adalah sebuah himpunan titik-titik yang didefinsikan sebagai berikut:

S=\left\{ \left(x,y,z\right)|x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq r^{2}\right\}

dengan r adalah jari-jari bola. Nah..sekarang ada berapa banyak titik-titik di S? Tak-hingga banyaknya. Nah..inilah yang membedakan bola di dunia matematika dengan bola di dunia nyata. Di dunia nyata bola mempunyai titik-titik (baca: atom-atom) yang berhingga. Ini juga lah yang  menjadi alasan utama mengapa paradoks Banach-Tarski hanya bisa terjadi di dunia Matematika tidak di dunia nyata.

Continue reading

Dua definsi Himpunan Terbuka

Di Matematika, ada dua pengertian Himpunan Terbuka, pengertian menurut ruang metrik dan pengertian menurut Topologi. Nah..sekarang kita lihat pengertian Himpunan terbuka menurut ruang metrik:

Definsi;:Diberikan ruang metrik X dan O himpunan bagian dari X. Himpunan O dikatakan terbuka jika untuk semua x\in0, persekitaran dari x  merupakan bagian dari O

Sedangkan menurut Topologi, himpunan terbuka didefinsikan sebagai berikut

Definisi : Untuk sebarang ruang topologi \left(X,\tau\right). Anggota-anggota dari \tau dikatakan himpunan terbuka.

Nah..sekerang pertanyaannya, mengapa ada 2 definsi himpunan terbuka? Apa hubungan 2 definsi tersebut?

Nah..untuk menjawabnya, sekarang kita perhatikan sifat-sifat himpunan terbuka pada ruang materik

Teorema: Diberikan F koleksi semua himpunan terbuka pada ruang metrik X maka berlaku pernyataan berikut:

(i) X dan himpunan kosong \emptyset termuat didalam F

(ii) Gabungan (berhingga ataupun tak hingga) dari himpunan-himpunan di F termuat di F pula

(iii) Irisan berhingga dari himpunan-himpunan di F berada di F pula

Nah sekarang bandingkan dengan definsi ruang topologi

Continue reading

Deret Harmonik

Pada postingan sebelumnya saya membahas bahwa deret  \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}} konvergen ke 2 atau dengan kata lain \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=2. Sekarang kita hilangkan kuadratnya sehingga deret tersebut menjadi

{\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots}

Deret diatas dikenal dengan nama Deret Harmonik

Apakah deret harmonik konvergen? Tidak, deret harmonik divergen

Bagaimana cara membuktikan kedivergenannya?

Ada banyak caranya tetapi saya akan memakai cara yang digunakan Honsberger (1976) Menurut saya cara yang dipakainya adalah cara yang paling sederhana dan mudah dipahami.

Diketahui \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}>\frac{2}{n+1} untuk n bilangan asli, andaikan deret harmonik konvergen ke S diperoleh

S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\ldots

S=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\ldots

S>\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)+\ldots

S>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\ldots

S>S

Jelas S>S suatu hal yang kontradiksi. Terbukti deret harmonik divergen.

QED

Untuk cara pembuktian lainnya silahkan unduh di sini

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

Masalah Basel

Deret tak hingga (Infinite series) adalah penjumlahan barisan bilangan yang tak-hingga banyaknya

a_{1}+a_{2}+\ldots=\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}

Suatu deret tak hingga dikatakan konvergen jika  barisan jumlah parsialnya konvergen dengan kata lain mempunyai limit sedangkan kebalikan dari konvergen disebut divergen

Pada tahun 1644, Pietro Mengoli melemparkan soal kepada  para Matematikawan, soal tersebut adalah

{\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\ldots}

Apakah deret tersebut konvergen? Jika ya berapa nilainya?

Inilah yang dikenal dengan Masalah Basel, di Saat itu para Matematikawan hanya bisa menjawab pertanyaan yang pertama. “Ya” deret teresebut konvergen, dari mana mereka tahu?

Continue reading

Himpunan Kompak, apanya yang kompak?

Ada yang meminta saya untuk membahas himpunan kompak. Konsep kekompakan memegang peranan pentinng dalam analisis dan Topologi. Mengingat bidang saya aljabar bukan analisis ataupun Topologi, pemahaman saya mengenai himpunan kompak tidaklah mendalam (Atau bahkan mungkin salah). Jadi disini kita sama-sama belajar mengenai himpunan kompak, okey :)

Untuk memahami apa itu himpunan kompak, terlebih dahulu kita harus paham mengenai “Liput” (Cover) Pada matematika.

Diberikan himpunan tak-kosong X, tentunya kita bisa membuat subhimpunan-subhimpunan(tak-kosong) dari X. Kemudian kita gabungkan subhimpunan-subhimpunan tersebut, sebut saja C yaitu gabungan subhimpunan-subhimpunan dari X. Nah.. C dikatakan liput (cover) jika C memuat X.

Contoh: Himpunan {a,b} mempunyai 5 liput, yaitu:

{{a},{b}}

{{a},{b},{a,b}}

{{a},{a,b}}

{{b},{a,b}}

{a,b}

Himpunan sigleton {x} liputnya adalah himpunan {x} itu sendiri

Continue reading

Dugaan Jacobian

Diberikan \mathbb{C}\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right] ring polynomial atas lapangan bilangan kompleks. Setiap n-tuple F=\left(F_{1},\ldots F_{n}\right) dengan F_{i}\in\mathbb{C}\left[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right], dedefinisikan pemetaan polynomial  F:\,\mathbb{C}^{n}\rightarrow\mathbb{C}^{n} sebagai berikut

F\left(x_{1},\ldots x_{n}\right)=\left(F_{1}\left(x_{1}\ldots x_{n}\right),\ldots F_{2}\left(x_{1},\ldots x_{n}\right)\right)

dengan \left(x_{1},\ldots x_{n}\right)\in\mathbb{C}^{n}.

Pemetaan polynomial F dikatakan invertible, jika terdapat pemetaan polynomial lain G sedemikian hingga hasil komposisi keduanya mengasilkan pemetaan identitas, F\circ G=G\circ F=I.

Bagaimana kita mengetahui F invertible?

Jika matriks  jacobiannya Invertible, atau dengan kata lain  determinan matriks Jacobiannya tidak nol

Apa yang dimaksud matriks Jacobian?

Continue reading

Bola tidak selalu bundar

Kita pasti sering mendengar kalimat “Bola itu bundar” padahal dalam matematika bola tidak selalau bundar lho. Ah.yang benar?

Jarak

Nah..pertama-tama saya akan menjelaskan apa itu jarak dalam matematika. Apa yang kita ketahui tentang jarak? Jarak itu non-negatif, jarak dua buah titik bisa saja nol tapi tidak mungkin negatif ya kan?. Kita notasikan jarak titik A ke titik B dengan  d(A,B). Jika d(A,B)=0 dengan mudah kita pahami itu artinya A=B, kedua buah titik tersebut merupakan titik yang sama. Dengan mudah kita pahami d(A,B)=d(B,A), jarak titik A ke titik B akan selalu sama denagn jarak  titik B ke titik A. Misalkan dari titik A ke titik B melalaui titik lain, titik C, maka ada 2 kemungkinan d(A,B)=d(A,C)+d(C,B) atau d(A,B)<d(A,C)+d(C,B).

Ya..dari apa yang telah kita bahas bisa kita simpulkan jarak adalah

Diberikan sebarang himpunan tak kosong X

i) Fungsi d:\; X\;\times\; X\rightarrow\mathbb{R} yang memenuhi sifat-sifat

  • d(x,y)\geq0 unntuk setiap x,y\in X
  • d(x,y)=0 jika hanya jika x=y
  • d(x,y)=d(y,x) untuk setiap x,y\in X dan
  • d(x,y)\leq d(x,z)+d(y,z) untuk setiap x,y,z\in X

disebut Metrik (metric) atau jarak (distance).

ii) Himpunan X yang dilengkapi dengan suatu metrik d, dituliskan dengan (X,d) disebut ruang metrik (metric Space).

Jadi jarak secara matematika merupakan fungsi yang memenuhi point-point diatas.

Continue reading

Himpunan kosong merupakan himpunan terbuka dan tertutup

Didalam ruang metrik (begitupula didalam topologi) kita tahu jika A merupakan himpunan terbuka maka A^c adalah himpunan tertutup. Dengan kata lain himpunan tertutup merupakan komplement dari himpunan terbuka, begitu pula sebaliknya. Nah..ajaibmya himpunan kosong (notasi: \emptyset) merupakan himpunan terbuka dan juga tertutup. Mmm..sepertinya mustahil bukan? Mari.. akan saya jelaskan.

Pertama-tama saya akan menunjukan himpunan kosong merupakan himpunan terbuka.

Definisi 1: Himpunan A dikatakan terbuka jika semua anggotanya merupakan titik dalam dari A

Itu berarti untuk mempuktikan himpunan kosong merupakan himpunan terbuka, kita harus membuktikan

\forall x\in\emptyset maka x merupakan titik dalam dari \emptyset

Jelas antisedennya salah. Seperti yang sudah saya katakan, kalimat implikasi akan bernilai benar jika antisedennya salah.

Jadi terbukti himpunan kosong adalah himpunan terbuka.

Continue reading